全国中学生物理竞赛辅导4

1、2021/3/271 奥赛典型例题奥赛典型例题 分析分析(牛顿定律牛顿定律) 2021/3/272 1. 如图如图1所示所示,两斜面重合的楔形块两斜面重合的楔形块ABC和和 ACD的质量都是的质量都是M,AD、BC两面成水平两面成水平,E 为质量为为质量为m的小滑块的小滑块,楔形块的倾角为楔形块的倾角为,各各 面均光滑面均光滑,整个系统放在水平台角上整个系统放在水平台角上,从静止从静止 开始释放开始释放,求两斜面分离前求两斜面分离前E的加速度的加速度. 图图1 E D C B A 2021/3/273 2. 如图如图2所示，设所示，设 ，不考，不考 虑滑轮质量，求各物体的加速度虑滑轮质量，求各

2、物体的加速度. 321 mmm 图图2 m3 m2 m1 2021/3/274 3. 如图如图3所示所示,长为长为 2 l 的刚性轻棒的刚性轻棒AB的的B端端 沿水平地面向右匀速运沿水平地面向右匀速运 动动,速度为速度为v ,A端沿墙壁端沿墙壁 竖直下滑竖直下滑,棒的中点处棒的中点处 固定一质量为固定一质量为m的小球的小球 C,试求当试求当 时时,小球的小球的 加速度和小球对棒的作加速度和小球对棒的作 用力用力. 45 A C B 图图3 v 2021/3/275 4. 如图如图4所示所示,小圆筒小圆筒A的底的底 部有一半径为部有一半径为r的圆孔的圆孔,大圆大圆 筒套于筒套于A的外面的外面,一

3、半径为一半径为r 的不透液体的球盖着圆孔的不透液体的球盖着圆孔, 里外圆筒中分别盛有里外圆筒中分别盛有 密度分别为密度分别为 1和和 2的液体的液体,两两 圆筒的液面相平圆筒的液面相平,且距小圆且距小圆 筒的底部为筒的底部为h,试求球所受的试求球所受的 浮力浮力. A A h h 1 1 图图4 4 2 2 2021/3/276 5. 三个质点三个质点A、B、C组成一个边长为组成一个边长为d 的等边三角形的等边三角形,质点间有万有引力作用质点间有万有引力作用,为为 保持这三角形形状不变保持这三角形形状不变,（1）若三个质）若三个质 点的质量都等于点的质量都等于m,那么它们应以多大的那么它们应以

4、多大的 角速度绕过质心角速度绕过质心O且垂直三角形平面的轴且垂直三角形平面的轴 转动转动?（2）若它们的质量互不相等）若它们的质量互不相等,那么那么 它们又应以多大的角速度绕过质心它们又应以多大的角速度绕过质心O且垂且垂 直三角形平面的轴转动直三角形平面的轴转动? 2021/3/277 6. 如图如图5所示所示,长为长为3m,质量为质量为4kg的小车静止在光的小车静止在光 滑水平面上滑水平面上,车两端的护栏上各装有质量不计的车两端的护栏上各装有质量不计的 钉子钉子,小车上距车右端小车上距车右端1m处放着质量分别为处放着质量分别为mA 3kg,mB2kg的小滑块的小滑块A和和B,小滑块小滑块A和

5、和B的的 宽度都可忽略宽度都可忽略.A和和B之间有质量和长度都不计的之间有质量和长度都不计的 已压缩的弹簧已压缩的弹簧.现释放这弹簧现释放这弹簧,滑块滑块A和和B相对小相对小 车沿相反方向运动车沿相反方向运动,最后都碰到车护栏上的钉子最后都碰到车护栏上的钉子 而被钉住而被钉住,试求小车在整个过程中通过的位移试求小车在整个过程中通过的位移. AB 图图5 2021/3/278 7. 质量为质量为M、厚度可以忽略的薄板静止地置于、厚度可以忽略的薄板静止地置于 长为长为L的水平桌面上的水平桌面上,其一端其一端A与桌的一边对齐与桌的一边对齐, 薄板上距薄板上距A端为端为l处处 放一质量为放一质量为m的

6、木块的木块,如图如图6 所示所示.一水平恒力一水平恒力F作用于板上作用于板上,把木板从小木把木板从小木 块下抽出块下抽出,为了使木板抽出后木块为了使木板抽出后木块m不致于从不致于从 桌上掉下地面桌上掉下地面,则则F至少为多大至少为多大?已知各接触面已知各接触面 之间的摩擦系数均为之间的摩擦系数均为. 图图6 l M L A F m 2021/3/279 8. 如图如图7所示所示,平面平面与水平面成夹角为与水平面成夹角为,两平两平 面的交线为面的交线为AB,在在平面上有一个以平面上有一个以AB为底、为底、 半径为半径为R的固定光滑半圆环的固定光滑半圆环.设环的一端设环的一端A处有处有 一个小球以

7、初速度一个小球以初速度v0沿环的内侧运动沿环的内侧运动,若小球与若小球与 环光滑接触环光滑接触,小球与平面小球与平面之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为, 试求能使小球在环的最高处继续沿环的内侧运试求能使小球在环的最高处继续沿环的内侧运 动的动的v0的取值范围的取值范围. A B 图图7 2021/3/2710 9.如图如图8所示所示,赛车在水平赛道上作赛车在水平赛道上作90转弯转弯,其其 内、外车道转弯处的半径分别为和内、外车道转弯处的半径分别为和,车和路面间车和路面间 的动摩擦系数和静摩擦系数都是的动摩擦系数和静摩擦系数都是,试问竞赛中试问竞赛中 车手应选择内道还是外道转弯车手应选择内道还是外

8、道转弯?在上在上 述的两条转弯路径中述的两条转弯路径中,车手的正确选择较错误选车手的正确选择较错误选 择赢得的时间是多少择赢得的时间是多少? 内道内道 外道外道 图图8 2021/3/2711 10. 质量分别为质量分别为m1和和m2的两个小的两个小 球球,分别系于一根细绳中的一点分别系于一根细绳中的一点 和一端和一端,细绳的另一端悬挂在固细绳的另一端悬挂在固 定处定处,已知上、下两段绳子的长已知上、下两段绳子的长 度分别为度分别为r1和和r2,如图如图9所示所示.开始开始 时两球静止时两球静止,细绳处于竖直位置细绳处于竖直位置, 现给小球现给小球m1一个打击一个打击,使它突然使它突然 在水平

9、方向上获得一个速度在水平方向上获得一个速度,试试 求小球求小球m1获得速度前后瞬间获得速度前后瞬间,上、上、 下两段绳子张力改变量的比值下两段绳子张力改变量的比值. 设小球获得速度后瞬间设小球获得速度后瞬间,绳子仍绳子仍 处于竖直位置处于竖直位置. 图图9 9 m1 m2 r1 r2 2021/3/2712 由于系统水平方向不受外由于系统水平方向不受外 力作用力作用,所以所以,系统水平方向系统水平方向 上质心加速度为零上质心加速度为零. 即有即有 0 质心 a 或或0 ExDxBx maMaMa 因为因为,0 ExBBx aaa， BDBD aaa 建立如图建立如图2 2所示坐标系，各物体所示

10、坐标系，各物体 的受力情况如图的受力情况如图2 2所示所示. .由于受到桌面的由于受到桌面的 约束，物体约束，物体ABC的加速度的加速度aB B必水平向左；必水平向左； 由于受到由于受到ACD的约束，物体的约束，物体E的加速度的加速度 aE必竖直向下必竖直向下. 图图2 aE mg N2 aB N1 C B A R Mg Mg N2 N1 aD x y AD C 图图1 E D C B A 例例1 解：解： 故故 DyDyBDDx aaaaa，cos 2021/3/2713 0 ExDxBx maMaMa 图图2 aE mg N2 aB N1 C B A R Mg Mg N2 N1 aD x

11、y AD C 于是于是0)cos( BDB aaMMa ,0 ExBBx aaa， 得得cos 2 1 DB aa 因为物体因为物体E紧贴物体紧贴物体ACD,所以所以 sin DDyDyE aaaa 对于物体对于物体ABC,在水平方向上有在水平方向上有 B MaNsin 1 DyDyBDDx aaaaa，cos 2021/3/2714 B MaNsin 1 图图2 aE mg N2 aB N1 C B A R Mg Mg N2 N1 aD x y AD C 对于物体对于物体E有有 E maNmg 2 g M mM mM aE 2 cot 2 对于物体对于物体ACD,在竖直方向上有在竖直方向上有

12、 sincos 12D aMNMgN 由以上几个方程可解得由以上几个方程可解得 2021/3/2715 图图1 1 m 2 m 3 m 例例2 解（等效法）解（等效法） M m 图图2 aa 先看图先看图2的情况的情况,设轻绳的拉力大小为设轻绳的拉力大小为T,则则 MaTMg mamgT 由上一两个方程可解得由上一两个方程可解得 g mM Mm Tg mM mM a 2 , 图图3 M 天花板所受的拉力为天花板所受的拉力为 g mM Mm TF 4 2 这表明原来系统对天花板的作用与图这表明原来系统对天花板的作用与图3物体物体M 对对 天花板的作用等效天花板的作用等效,只要只要M取值为取值为

13、2021/3/2716 g mM Mm TF 4 2 图图1 1 m 2 m 3 m 图图3 M mM Mm M 4 ，g mM Mm Tg mM mM a 2 , 图图4 m1 M a a 因此，只要令因此，只要令 就可用图就可用图4等效等效 于图于图1,此时此时m1、m2、m3的加速度分别为的加速度分别为 32 mmmM， g Mm Mm a 1 1 1 g Mm Mm g mm mm ag mm mm a 1 1 32 32 1 32 32 2 g Mm Mm g mm mm ag mm mm a 1 1 32 32 1 32 32 3 2021/3/2717 例例3 解解 图图1 v

14、B A C 图图2 v x y vC A B C O mg N an 因为因为C到到O的距离始终等于的距离始终等于l，所所 以小球以小球C作圆周运动作圆周运动.C的坐标满足的坐标满足 222 lyx小球小球C的轨迹方程的轨迹方程 又总有又总有 BC xx 2 1 故总有故总有 恒量恒量 vv xC 2 1 因而因而0 xC a 所以所以jaa yCC 当当45时，时， 45cos CxC vv 故故vvC 2 2 此时小球此时小球C的向心加速度为的向心加速度为 l v l v a C n 2 22 2021/3/2718 图图2 v x y vC A B C O mg N an 小球加速度的大

15、小为小球加速度的大小为 l v l v a C n 2 22 l va a n C 2 2 45cos 2 方向竖直向下方向竖直向下 因为小球只受重力和棒对它的作用力因为小球只受重力和棒对它的作用力N的作用的作用,且重力且重力 竖直向下竖直向下,所以棒对它的作用力所以棒对它的作用力N也必沿竖直方向也必沿竖直方向. C amNgm 因为因为 据牛顿第三定律得小球对棒的作用力大小也为据牛顿第三定律得小球对棒的作用力大小也为 l v mmgN 2 2 2 得得 l v mmgN 2 2 2 2021/3/2719 图图2 v x y vC A B C O mg N an l v mmgN 2 2 2

16、 当当N 0 时时,方向竖直向下方向竖直向下; 当当N0表示小车的位移沿表示小车的位移沿x轴正方向轴正方向. 2021/3/2726 图图1 l M L A F m 例例7 解：解： 要使板抽出后小木块不致于要使板抽出后小木块不致于 从桌上掉下，这就要求：木板相对从桌上掉下，这就要求：木板相对 小木块运动的距离为小木块运动的距离为l；木板抽出后，；木板抽出后， 小木块落在桌面上继续运动，但应至小木块落在桌面上继续运动，但应至 少在桌边停下，此时其速度为零少在桌边停下，此时其速度为零. 木板在抽出过程中木板在抽出过程中,木板与小木块之间的摩擦力为木板与小木块之间的摩擦力为 滑动摩擦力滑动摩擦力,

17、大小为大小为f1=mg ,木板还受到桌面所给的滑木板还受到桌面所给的滑 动摩擦力作用动摩擦力作用,其大小为其大小为f2=(M+m)g . 对于小木块有对于小木块有 11 mamgf 其向前运动的加速度为其向前运动的加速度为ga 1 对于木板有对于木板有 2 )(MagmMmgF 其向前运动的加速度为其向前运动的加速度为g M mM M F a 2 2 2021/3/2727 ，ga 1 g M mM M F a 2 2 图图1 l M L A F m 木板相对木块的加速度为木板相对木块的加速度为 g M mM M F aaa )(2 12 设经时间设经时间t,木板从木块下抽出木板从木块下抽出,

18、则有则有 2 2 1 tal 所以所以 a l t 2 在木板抽出过程中在木板抽出过程中,木块作初速为零的匀加速运动木块作初速为零的匀加速运动,当它当它 从木板上掉下来时从木板上掉下来时,其速度及位移分别为其速度及位移分别为 tav 1 1 2 1 2a v S 2021/3/2728 tav 1 1 2 1 2a v S 图图1 l M L A F m 木块掉到桌面后木块掉到桌面后,作初速度为作初速度为v,加速加速 度大小为度大小为a1的匀减速运动的匀减速运动,到其停下时到其停下时, 通过的距离为通过的距离为S2,应有应有 SSS 12 因为开始时因为开始时,木块到桌边的距离为木块到桌边的距

19、离为Ll,为使木块不为使木块不 致于从桌上掉下地面致于从桌上掉下地面,有有 lLS2 由以上方程可解得由以上方程可解得 )(2 lL ML mgF 2021/3/2729 例例8 解解 图图1 A B N mg 图图2 如图如图2、图、图3所示，小球在所示，小球在 平面上运动时所受平面上运动时所受面面(圆环底面圆环底面) 的支持力为的支持力为cosmgN 所受的摩擦力为所受的摩擦力为 cosmgNf 设小球在圆环顶点设小球在圆环顶点C处的运动处的运动 速度为速度为v,则有如下功能关系则有如下功能关系 2 0 2 2 1 )sin 2 1 ( 2 1 mvmgRmvRf 设设 是圆环是圆环内侧内

20、侧给小球的支持力给小球的支持力,要通过顶点要通过顶点C， 还必须有还必须有 N 由以上两式可得由以上两式可得 ) 1 (sin2cos 22 0 gRvRgv )2(sin 2 R v mNmg sinmg f N 图图3 AB C v 2021/3/2730 图图1 A B 由以上由以上(1)、(2)、(3)、(4)式可解得式可解得 RgvRg)sin3cos()sin2cos( 0 )2(sin 2 R v mNmg ) 1 (sin2cos 22 0 gRvRgv 及及)4(0N )3(0v同时必须满足同时必须满足 2021/3/2731 内道内道 外道外道 图图1 例例9 解解 赛车在

21、平直赛道上正常行驶赛车在平直赛道上正常行驶 时，其速度为它所能达到的最大值，时，其速度为它所能达到的最大值， 设为设为vm. 转弯时转弯时,车作圆周运动，其向车作圆周运动，其向 心力由地面的摩擦力提供，向心加速心力由地面的摩擦力提供，向心加速 度只能达到一定的最大值，所以车速度只能达到一定的最大值，所以车速 受到轨道半径和向心加速度的限制，受到轨道半径和向心加速度的限制， 只能达到一定的大小只能达到一定的大小. 为此，赛车在进为此，赛车在进 入弯道前必须有一段减速过程，以使入弯道前必须有一段减速过程，以使 其速度减少到在弯道行驶时所允许的其速度减少到在弯道行驶时所允许的 最大值最大值. 走完弯

22、道后，又要加速到走完弯道后，又要加速到vm. 车道的选择正是要根据车在内外道上的这些对应过车道的选择正是要根据车在内外道上的这些对应过 程所经历的时间的比较来确定程所经历的时间的比较来确定. 先讨论外车道情况先讨论外车道情况,设走弯道时允许的最大车速为设走弯道时允许的最大车速为 v2,则应有则应有 2021/3/2732 2 2 2 r v mmg 所以所以 grv 22 如图如图2所示所示,设车从设车从M点开始减速点开始减速,到到N点车点车 速从速从vm减至减至v2,此时刚好进入弯道此时刚好进入弯道. 减速过减速过 程的加速度大小为程的加速度大小为 g m mg a 此减速过程所经历的距离为

23、此减速过程所经历的距离为 222 2 22 2 2 21 r g v a vv S mm 车沿弯道到达车沿弯道到达A点后点后,由对称关系可知由对称关系可知,经过经过S23=S21的的 路程后车又加速到路程后车又加速到vm. 图图2 M N 2 r A 21 S 22 S23 S 2021/3/2733 车从减速到转弯到再加速车从减速到转弯到再加速,所用总所用总 时间时间t2为为 g r g v a vv v r a vv t mmm 22 2 22 2 ) 2 2( 2 2 同法可得车走内车道对应过程所用总时间同法可得车走内车道对应过程所用总时间t1为为 g r g v t m 1 1 ) 2

24、 2( 2 2 M 2 N 图图3 1 r 2 r 1 M 1 N A 21 S 22 S23 S 从图从图3可见可见 122211 rrNMNM 而在直车道上用于加速和减速的行程中而在直车道上用于加速和减速的行程中,车经内车道车经内车道 也多走了长度也多走了长度 12 2 2 1 2 2111 ) 22 () 22 (2)(2rr rvr g v SSS mm 图图3只是把内车道减速、加速多走的路集中在一起只是把内车道减速、加速多走的路集中在一起. 2021/3/2734 g r g v t m 2 2 ) 2 2( 2 g r g v t m 1 1 ) 2 2( 2 2 M 2 N 图图

25、3 1 r 2 r 1 M 1 N A 21 S 22 S23 S 所以所以,图图3可以用来描述车在内外车道的运动情可以用来描述车在内外车道的运动情 况况,并由此可知并由此可知,车在直道上匀速车在直道上匀速(以速度以速度vm)行驶的行驶的 路程长度对于内外两车道来说是相等的路程长度对于内外两车道来说是相等的,所以选择所以选择 车道只需比较上述的车道只需比较上述的t1和和t2即可即可. 由于由于t1t2,所以车手应该选择走外车道所以车手应该选择走外车道. 由此而赢得的时间为由此而赢得的时间为 g rr ttt 12 21 ) 2 2( 2021/3/2735 例例10 解解: 图图1 1 m1

26、m2 r1 r2 设设m1受打击后，在水方向上获得受打击后，在水方向上获得 的速度为的速度为v .在在m1获得速度前，易知上、下两获得速度前，易知上、下两 段绳子的张力分别为段绳子的张力分别为 v ) 1 ()( 2110 gmmT )2( 220 gmT 设设m1获得速度获得速度v后后,上、下两段绳子的张力分别为上、下两段绳子的张力分别为T1、 T2 ,显然有显然有 )3( 1 2 111121 r v mamgmTT 以以m1为参考系研究为参考系研究m2的运动的运动:m2作半径为作半径为r2的圆周运的圆周运 动动,速度大小为速度大小为v . 它除了受到绳子的拉力、重力作用外它除了受到绳子的拉力、重力作用外, 还受到竖直向下的惯性力的作用还受到竖直向下的惯性力的作用. 故故)4( 2 2 2 1 2 222 r v m r v mgmT 方法一方法一:以以m1为参