离散性随机变量的方差PPT学习教案

1、会计学1 离散性随机变量的方差离散性随机变量的方差 温故而知新温故而知新 1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的的均值均值（数学期望（数学期望 ） 1 n ii i EXx p 2、均值的性质、均值的性质 ()E aXbaEXb 3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值 （1）若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EXp （2）若若 ，则，则( , )XB n pEXnp 反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平. 第1页/共40页 复习复习 第2页/共40页 如果其他对手的射击成如果其他对手的射击成 绩都在绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

2、环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x x1 、x x2的分布列如下：的分布列如下： 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平. 18910 P0.20.60.2 28910 P0.40.20.4 如果其他对手的如果其他对手的 射击成绩都在射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？ 显然两名选手显然两名选手 的水平是不同的的水平是不同的, 这里要进一步去这里要进一步去 分析他们的成绩分析他们的成绩 的稳定性的稳定性. 探究探究 第3页/共40页 我的想法是，看谁命中的环数我的想

3、法是，看谁命中的环数 与其平均环数与其平均环数 偏差的绝对值偏差的绝对值 最小最小. . i x EXEXxi EX EXXE 愈小，愈小，X的值就愈集中于的值就愈集中于 附近，附近， 表明此射手发挥愈稳定表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射反之就愈分散，表明此射 手发挥愈不稳定手发挥愈不稳定 出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？也是一大堆的数，不好确定，怎么办？ EXXE有了新思路：把这一大堆数有了新思路：把这一大堆数再取平均值再取平均值 就可以了就可以了. 为什么这样可以？为什么这样可以？ 第4页/共

4、40页 然而在实际中然而在实际中 带有绝对值，在数学运带有绝对值，在数学运 算上不方便，因而，通常用算上不方便，因而，通常用 来表达随机来表达随机 变量变量 X 取值的分散程度或集中程度取值的分散程度或集中程度 2 E XEX EXXE 4 . 02 . 0) 910(6 . 0) 99 (2 . 0) 98 ()( 2222 EXXE 2 . 01 . 0) 910(8 . 0) 99 (1 . 0) 98 ()( 2222 EYYE 2 2 EYYEEXXE 据此分析，我可以算得：据此分析，我可以算得： 由于由于 ,因此乙射击水平因此乙射击水平 更稳定一些，看来甲无话可说了更稳定一些，看来

5、甲无话可说了 现在我可以确定派谁去了现在我可以确定派谁去了. 第5页/共40页 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差: : 222 11 ()()() iinn DxEpxEpxEpx xx xx xx x 则称则称 为随机变量为随机变量x x的方差的方差. . 2 1 () n ii i xEpx x 一般地一般地, ,若离散型随机变量若离散型随机变量x x的概率分布列为：的概率分布列为： P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p x x 称称D x xx x 为随机变量为随机变量x x的标准差的标准差 . . 定义定义 第6页/共40页

6、 它们都是反映离散型随机变量偏离于均它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量，它们的值越小，则随值的平均程度的量，它们的值越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小，即越机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值集中于均值. . 第7页/共40页 ( ) () Exx xxx 义计 变形计 n n 2 2 iiii i 1i 1 2222 1).利1).利用用定定算算: : D(D( (2).利(2).利用用公公式式算算: : DE()EDE()E xp 第8页/共40页 1. 已知随机变量已知随机变量 的分布列的分布列 01234 P0.10.20.40.20.1 求求Dx

7、 x和和x x. 0 0.1 1 0.22 0.43 0.2 4 0.12Ex x 解：解： 222 22 (02)0.1 (12)0.2(22)0.4 (32)0.2(42)0.11.2 Dx x 1.21.095Dxxxx 2. 若随机变量若随机变量X 满足满足P（Xc）1，其中，其中c为常数为常数 ，求，求EX 和和 DX. EXc1cDX（cc）210 练习练习 第9页/共40页 练习一练习一 下下 结论结论1： 则则 ; ;,abxx若若 EaEbxx 结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E= np. 可以证明可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质： 2

8、 ()D aba Dxxxx ( ,) (1) B n pDnpq qp x xx x 若若， 其其中中 则则 结论结论 第10页/共40页 1.已知随机变量已知随机变量的分布列为则的分布列为则E与与D的值为的值为( ) (A) 0.6和和0.7 (B)1.7和和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.21 2.已知已知xB(100,0.5),则则Ex=_,Dx=_,x=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, (2x-1)=_ x x12 P0.30.7 D 5 0 255 99 10010 3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1， 现

9、从中任意地连续取出现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数件商品，设其次品数 为为X，求，求EX和和DX. 2，1.98 练习练习 第11页/共40页 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩如果其他对手的射击成绩 都在都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击 成绩都在成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2 的分布列如下：的分布列如下： 18910 P0.20.60.2 2891

10、0 P0.4 0.2 0.4 如果对手在如果对手在 8环左右环左右,派甲派甲. 如果对手在如果对手在9 9 环左右环左右, ,派乙派乙. . 思考思考 第12页/共40页 例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数 分别为分别为x x ，其分布列为，其分布列为 x x 0 1 2 3 P0.30.30.20.2 0 1 2 P0.10.50.4 判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？ 解答解答 例题例题 第13页/共40页 Ex x=00.3+10.320.230.2=1.3 E =00.1+10.520.4=1.3 Dx x=(01

11、.3)20.3+(11.3)20.3（ 21.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21 结论：甲乙两人次品个数的平均值结论：甲乙两人次品个数的平均值 相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产 水平高水平高. 期望值高，平均值大，水平高期望值高，平均值大，水平高 方差值小，稳定性高，水平高方差值小，稳定性高，水平高 第14页/共40页 例例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息而你能获得如下信息 ： 甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元 1200140016001800 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10

12、.40.30.20.1 乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元 1000140018002200 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：解： 1400,1400 21 EXEX112000,40000 21 DXDX 在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为如果认为 自己能力很强自己能力很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果认如果认 为自己能力不强为自己能力不强,就应选择工资方差小的单

13、位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位. 例题例题 第15页/共40页 （2）若若 ，则，则 （1）若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 (1)DXpp (1)DXnpp EXp ( , )XB n p EXnp 第16页/共40页 方差的性质方差的性质 2 ()D aXba DX 平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差. 推论：常数的方差为推论：常数的方差为_. 0 第17页/共40页 机动练习机动练习 117 100.8 p pnBX ,n 1.6,DX8,EX),(1 则则 ，、已知、已知 x xx x DD则则，且，且、已知、已知,

14、13 8 1 32 第18页/共40页 3.若随机变量若随机变量x x服从二项分布，且服从二项分布，且Ex x=6 ， D x x=4,则此二项分布是则此二项分布是 。 设设二项分布为二项分布为x x B(n,p) ,则则 Ex x=np=6 Dx x=np(1-p)=4 n=18 p=1/3 第19页/共40页 4. 4.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，有场赌博，规则如下：如掷一个骰子， 出现出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；元； 出现出现5 5或或6 6，不输不赢这场赌博对你是否有，不输不赢这场赌博对你是否有 利利? ? 1111

15、 830 . 6236 Ex x 对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. . 第20页/共40页 5随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，c成等差数列若成等差数列若E(X) ，则，则D(X)的值是的值是 _ X101 Pabc 第21页/共40页 解析：解析：abc1. 又又2bac， 故故b 由由E(X) 故故a D(X) 答案：答案： 11 , 33 ac , ,得得 第22页/共40页 对随机变量对随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解： (1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均

16、； (2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是不变的，它描述的 是是 X取值的平均状态；取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法 第23页/共40页 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共 10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否 接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检

17、查(取出的产取出的产 品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这 箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且 用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品 (1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值； (2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列和的分布列和 数学期望数学期望 第24页/共40页 （1）利用古典概型易求）利用古典概型易求. （2）X的取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望

18、，求出分布列代入期望 公式公式. 第25页/共40页 【解解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A， n2. (2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3. P(A)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 第26页/共40页 X的概率分布列为：的概率分布列为： X123 P 1828109 ()123. 5454545 E X 第27页/共40页 1(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司甲、乙、丙、丁四人参加一家公司 的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁

19、面试都合格则一同签约，否则两人都不签就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试是否合格互不 影响求：影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望 第28页/共40页 解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A， 则则P(A) (2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B， “甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件

20、B1； “甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2； 则：则：BB1B2 P(B)P(B1)P(B2) 第29页/共40页 (3)设设X为签约人数为签约人数 X的分布列如下：的分布列如下： P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= 第30页/共40页 X01234 P 52024161620 ()01234. 81848181819 E X 第31页/共40页 举一反三举一反三 1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问 题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可 赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只

21、有一 个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答 题.假设你答对问题A、B的概率依次为1/2、1/3. 若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数 额的分布列及期望值E. 039 p 1 2 1 3 1 6 E（）= 2.5 第32页/共40页 题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差 【例2】编号1，2，3的三位学生随 意入座编号1，2，3的三个座位，每 位学生坐一个座位，设与座位编号 相同的学生人数是X. （1）求随机变量X的概率分布列； （2）求随机变量X的期望与方差. 第33页/共40页 分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取 值为0,1,3.若有两人对号入座

22、，则第三人必对号入座.由排列与 等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用数学期望与方差公式求解. X013 P 解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= , P（X=3）= , 故X的概率分布列为 (2)E(X)= D(X)= 3 3 21 3A 1 3 3 3 1 2 C A 3 3 11 6A 1 3 1 2 1 6 111 0131 326 222111 0 11 13 11 326 第34页/共40页 举一反三、举一反三、 设在15个同类型的零件中有2个次品 ，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再 放回.若用X表示取出次品的个数. （1）求X的分布列； （2）求X的均值E(X

23、)和方差D(X). 学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤： （1）写出X的所有取值； （2）计算P（X=xi）; （3）写出分布列，并求出期望E(X)； （4）由方差的定义求出D(X). 第35页/共40页 解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为 E(X)= ; D(X)= 3 13 3 15 22 35 C C 12 213 3 15 12 35 C C C 21 213 3 15 1 35 C C C X012 P 1 35 12 35 22 35 221212 012 3535355 222 2222122152