24.1.2垂径定理

1、2021/3/111 2021/3/112 1 1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ . 2 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 3 3、填空：、填空： （1 1）根据圆的定义，）根据圆的定义，“圆圆”指的是指的是“ ”，是，是 线，而线，而 不是不是“圆面圆面”。 （2 2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆 的的 ，半径决定圆的，半径决定圆的 ，二者缺一不可。，二者缺一不可。 （3 3）同一个圆的半径同一个圆的半径 相等。相等。 圆周圆周 位置位置 大小

2、大小 曲曲 处处处处 2021/3/113 2021/3/114 2021/3/115 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石 拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧 形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到 弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少

3、？ 2021/3/116 阅读课本阅读课本P80-82，完成以下问题：，完成以下问题： 1.圆的垂径定理是什么？圆的垂径定理是什么？ 2.垂径定理的推论是什么？你能用一句话概括这垂径定理的推论是什么？你能用一句话概括这 些推论吗？些推论吗？ 2021/3/117 2021/3/118 如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ O A B C

4、 D E 活活 动动 一一 2021/3/119 O A B C D E 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 ， 你能用数学方法来证明它吗？你能用数学方法来证明它吗？ 2021/3/1110 垂径定理的推论 O AB C D 平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于 弦弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. . 思考：思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？平分弦（不是直径）的直径有什么性质？ 你能用数学方法来证明它吗？你能用数学方法来证明它吗？ 2021/3/1111 AM=BM

5、, n由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得可推得 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：推论：平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂垂 直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. . 2021/3/1112 （1） （4） （5） （2） （3） （1） （5） （2） （3） （4） 讨论讨论 （1） （3） （2） （4） （5） （1） （4） （2）

6、（3） （5） （1）过圆心（）过圆心（2）垂直于）垂直于 弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平 分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分）平分 弦所对的劣弧弦所对的劣弧 （3） （5） （3） （4） （1） （2） （5） （2） （4） （1） （3） （5） （2） （5） （1） （3） （4） （1） （2） （4） （4） （5） （1） （2） （3） O AB C D M 每条推论如何用语言表示？ 2021/3/1113 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并

7、且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2021/3/1114 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的

8、任何两个条件都可以 推出其他三个结论推出其他三个结论 结论结论 2021/3/1115 你学会了你学会了 吗？吗？ 2021/3/1116 一、判断下列说法的正误一、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所

9、对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 O AB C D M 2021/3/1117 3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 cm32 cm32 8cm A AB B O O E E A A B B O O E E O O A AB B E E 1 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。 2 O的直径为的直径为10cm

10、，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 。 二、填空：二、填空： 2021/3/1118 O AB CD 1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧 O AB CD 2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧 4 4、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . . 2cm或或14cm 2021/3/1119 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O 到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径 O

11、AB E 在来！你行吗？在来！你行吗？ 解：解： OEAB 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半径为的半径为5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 2021/3/1120 2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于 C，D两点。两点。 求证：求证：ACBD。 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A CD B O 实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的实际上

12、，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了就可以利用垂径定理来解决有关问题了. 2021/3/1121 3、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。 求证：求证：ACBD 证明：作直径证明：作直径MNAB。 ABCD，MNCD。 则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦） AMCMBMDM ACBD . M CD AB O N 你能讲解你能讲解 吗？吗？ 夹在两条平行弦间的弧相等夹在两条平行弦间的弧相等. 你能有一句话概括一下吗？你能有一句话概括一下吗？ 2021/3/1122 小结小结: 解决有关弦的问题，经常

13、是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 . CD AB O M N E . A CD B O . AB O 2021/3/1123 B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题 7.2 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石 拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧 形形, ,

14、它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到 弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 37.4 2021/3/1124 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. . 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理: : 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为

15、为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备说。如果具备 （1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 2021/3/1125 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的 两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形 ADOE是

16、正方形是正方形 D O A B C E 证明：证明： OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， 又又AC=AB 11 22 AEAC ADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 2021/3/1126 某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ， 过过O 作作OC AB 于于D， 交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘现有一艘 宽宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱的货船要经过拱 桥，此货船能否顺利通过

17、这座拱桥？桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C NM A E H F B D O 2021/3/1127 学生练习学生练习 已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD 是弦，是弦，AECD，BFCD 求证：求证：ECDF . A O B ECDF 2021/3/1128 AB O E )( 2 650 mmOB D )( 2 600 mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm) 或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). (1) 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些 油后油后, ,油面宽油面宽AB=600

18、mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。 22 EBOBOE OE=125(mm) (2) BA O E D 解：解： 2021/3/1129 例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦 AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB 的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径的半径. 解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。 . A E B O 讲解讲解 2021/3/1130 判断判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧弧.( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦