风险价值(VaR)和条件风险价值(CVaR)

1、金融计算与编程上河财经人学金融学院四志广风险价值(VaR)和条件风险价值(CVaR)VaR和CVaR的定文VaR是一定置信水平a卜(比如：99%),投资组合面临的最人损失，几体地，我们用收益 率分布的1 一 a白分位数來定义VaR：Va/?(a) = -7；-,(l-a)其屮：你()为组合收益率的累积分布函数上血的定义足从收益分布的左尾定义VaR。仃时候，我们需要从收益分布的右用定义WR：VaR(a) = F；a)III T VaR不几有次町加性，即组合的VaR可能超过组合中齐资产的加权平均VaR因此， 貝冇次町加件待点的CVaR常常被用來衡鼠组合的风险。CVaR衡鼠了 -定賞信水平Q卜发 生

2、损火超过VaR时的平均损火。具体地，其定义如卜：CVaR(a) = -E(rr / = 1,2,3：几)为标准止态分布的概率密度函数a J _2基于正衣分布的VaR和CVaRVaR(l - a) = S + apc(a)CVaR(-a)=-fip -/(c(q)a基于历史模拟的VaR和CVaR用纽合收益率的刃史观测值的经验分布來计算VaR和CVaR卜血给出基丁历史模拟、止态分布和Comish-Hsher展开式计算VaR和CVaR的Matlab函数。function VaRtCVaR=var_cvar(r,alpha,method)n=length(r);mu=mean(r);sigma=std

3、(r);switch methodcase bsVaR=-prctile(r,alpha* 100);CVaR=-(mean(r(r)hold onplot(ndatc,VaR2,*b*)plot(ndatetVaR37m-*)datetick(x,23)lcgcnd(99%VaRHS,99%VaRNORM,99%VaRCF,2) h=figure(2);set(h,colorTw)plot(ndate,CVaRr；r-#,)hold onplot(ndatc,CVaR2b*)plot(ndate,CVaR3*m- *f)datetick(乂 23)legend(,99%CVaR-HS,；99

4、%CVaR.NORM,99%CVaR.CF2)#金融计算U编程上河财经人学金融学院四志广极值理论与风险价值(VaR)和条件风险价值CVaR)极值理论考堪随机变最X,其概率密度函数和累积分布函数分别为/(x)和F(x),X.为其独工同分布的随机变量序列定义XngUmaxaiK.rX”)X4 =min(X,X2，,X”)则称，和X血”为序列XpX2,.,Xn的极值，显然我们有= 一 max(-X, - X2,，一 X”)因此，以下讨论屮极值单指则：X”的分布函数为：F(x)”概率密度函数为nF(x)r7X血“的分布函数为：1 一1-F(0,概率密度函数为n-F(x)n-if(x)如果随机变最X的分

5、布未知，则可以用Xg”的渐进分布，广义极值(GEV)分布來近似农示X.的分布(Jenkinson, 1955)几体地，Xj亠HJX)其中，/_()为广义极值分布映数X“;爲，仏.”，沧.”)=exp-1 + 爲”,7一卩7)1其也 l + Emax(XmaJMI-“inax./bmax./1)NO相应地其概率密度函数力max ( Xmax /j Cmaxn 9 max.n *X1 + (一max “max/)(l+uui)/#金融计算U编程上河财经人学金融学院四志广max./imax.nxexp-1 + (X一Xms的渐进分布还町以用广义帕累托分布(GPD) Gmax(x)来衣示(Pickan

6、ds. 1975)GMUl + lnWM)G唤(x“; jj) = 1 一 1+(Xj-jfJmax,n相应地.其概率密度函数为:g max ( max,n，max.n，/max,nmax/ )=X1 + Cmax.n (一max/max./i)/7金融计算U编程上河财经人学金融学院四志广max.nmax.n渐进分布的畚数估计方法(1)ir线性冋归方法Gumbel (1958)提出了使用非线性冋归方法估计广义极俏分布和广义帕累托分布中的参奴(CmaxE，max.n 9 max.n ) 己知XIM“的N个观测值：x二化，其顺序统计戢序列为紅2疋小乂二且滿足-显然乂=12,n为随机变量.其概率密度

7、函数为:其中：B()为贝塔函数。相应地，文j均值必靂=尸命同样，)也为川区间上的随机变如 其均俏为:文卩 LI耳丹丄来二)=Eexp-1 +jmax.n脈心+宀A询，N则我们町以建立以卜|叫归方程估计广义极值分布的参数(爲冲“唤冲血斗)y = _ J- ln(l + J (心 _ j) + c Crusmax.n其中：y = ln(-ln(-)0给定观测值(ln(In(右),无驚) = 1,2,.,N,广义极值分布中的参数佔计川以通过垠小化冋山方程中残并平方和得到。#金融i十算9编R上沏财经人学金融学院四志广类似地，令9唤(来二)=E(1 1 + j(X)=,厂=1,2,NN + 1则我们町以

8、建立以卜冋归方程佔计广义帕累托分布中的参数(Ew/Anjdns，)y = -y ln(l + 爲,(心_ 心)+ eSmax.nhmulh其中：y = ln(l-/)o给定观测值(111(1一二_7),无驚)=1,2,.,“，广义帕累托分N+1N + 1布中的参数估计可以通过垠小化冋归方程中残差平方和得到。(2)极人似然估计方法给定X,的N个观测假，如果X”服从广义极值分布，则相应 其対数似然函数为：1 I cNX、 一 UUmax i=lmax.nmax.max.nN-1+D i-l呆人化匕面似然函数得到广义极值分布的参数估计。类似地，如果服从广义帕累托分布，则相应其对数似然函数为： 厶 =

9、 NIn叽“ 一丈lnl +Smax.n ilmax.n垠人化上血似然函数得到广义帕累托分布的参数佔计。极值理论在风险价值(VaR)和条件风险价值(CVaR)的计算中的应用给怎组合收益率的N个观测序列：介巧,，久，我们赵义超过临界值K的收益率为极 ffiXmax比如町以定义超过均值2个标准井的收益率为的观测值。我们记超过临界值 K的收益率序列为必*2,，儿,即N总观测值中有个超过临界值K。进一步,我们定 义新的序列Z,，为极值序列,这里zi = yi-K,z2 = y2-K，,“=儿一K,应用 该庁列我们可以估讣出广义极值分布的参数或者广义帕累托分布的参数。在估计出这些参数 后，可以计算出组合

10、的VaR和CVaR。其原理如下：定义弘 S K) = F(K)卩匕S K +石)=F(K +石)F (7= F(K + zJ-F(K)小 “一l-F(K)则当临界值K较雋时，化远(石)应当接近广义极值分布或广义帕累托分布。先考虑臨xU )足够接近广义极值分布的情形。用n/N作为l-F(K)的估计，我们得到L(Z,) = expTl + ()严 = F(K + z,)jl-n/N)an/N因此，1 F(K + )=善exp1 + 冬召二土)勺Na令exp1 + (互二)勺=0,得到 NaVaR(a) = “+# ln(l-(1-a)N/n)f? -1畑3 = K+WR；%)其中：VaRg)校示纽

11、合收益分布a置信水平下的aR, VaR(a) 示极值分布a置信水平卜的VaR。相应地，我们得到CVa/?r(a)为：fV讥(c)=K+! CVaRxdx1 aJoz考堪臨x (乙)足够接近广义帕累托分布的情形。类似地町以得到VaRPD(a) = “ + ；(1- a)N/zi)严 一 1)Va&(a) = K+WR：%)CVaR(a) = K + -广 VaRPDxdx1 a Jo注意：以上我们得到的和CVa&(a)是基丁右尾的人)和CVa(a)。如果要得到左尼的VaRrMCVaRrM，则只需将收益率的N个观测序列：斤,巧，,q改成一斤,一巧,，一乙，其余步骤不变即得到基丁左尾的VaRrMCV

12、aRrM o9金融it SJ编程上河财经人学金融学院四志广卜面我们给出基J： GPD的非线性冋山方法估计纽合收益VaR和CVaR的Matlab函数。function var,cvar=var_cvar_extreme_GPD(r,alpha)%calculate VaR and CVaR based on extreme theory in which generalized Parato%distribution is employed.%In detail, see Bali, T. G, 2003, An extreme value approach to estimating vola

13、tility and value at risk, Journal of Business 76, 83-10&r=-r;N=length(r);K=mean(r)+2 *std(r);rr=r(find(rK);rr=rr-K;n=length(rr);x=sort(rr);y=log(l0均值VaR前沿组合(不允许卖空)minVaRs.t. WTe = E(rp)WT1 = 1W0均值-CVaR前沿组合(不允许卖空)min CVaRsd. WTe = E(rp)WT = 1W0下面我们从上海股票市场任意取了 5只般票2000-1-28到2009-3-28期间的月度 数据，分别计算基丁最小化

14、方差、99%VaR和CbR的前沿组合。具体数据如下表 所示，文件名为 monthly_data_stock. xlsABCDEF|12000-01-28 I19.153.471.055.055.6122000-02-299.193.551.095. 96.3432000-03-319.213.631.125.985.8542000-04-289.133.811.196.17652000-05-318.574.151.336.795.9362000-06-308. 63.951.377.196.0772000-07-318.844.411.528.486.4282000-08-318.553.9

15、71.647.62692000-09-297.943.651.436.875.72102000-10-317.833.681.437.09569112000-11-308.083. 91.487.425.82122000-12-297. 633.811.457.265.72132001-01-197.644.021.588.155.92142001-02-2S7.33.961.568.116.03152001-03-307.714.131.613.436.25162001-04-307.393.941.578.3596172001-05-317.353.891.628.55.97 八 基于正态

16、分布的酋沿组合clearx=xlsreadC monthly_data_slock*);r-price2ret (x (：, 2:end);n=size(r, 2);IW=ones(n, l)/n:%set initial value for weightmethod=, norm(y(y(Qf(v(y(y(v(v(y(v(vq-(v(v(v(v(v(y(v(v(v(V(v(v(v(v(y(v(v(v(v(v(v(v(v(v(v(v(y(v(v(v(v(v(v q(y(v(v(v (vq/%expected returns, std, VaR and CVdR for individual s

17、tocks e=mean(r):stdev=std(r):for i=l:nvar(i), cvar(i) =var_cvar(r(:, i), 0. 01, method);endp兄p丸旳巾為弋為為可旳旬飞风)r九賈巾KiE刊為RK)寿刑九丸九賈fXi天m九为巾刑丸為为旳托旳Aeq=ones(l, n) ;e;options=optimset (? largescale，, off*):ER=1inspace(min(e), max(e), 20):V=cov(r);%minimize VaR or CVaRfor i=l:length(ER)Beq=l;ER(i);W (:, i)=fm

18、i neon (Qvarcvarminf un, IW, , Aeq, Beq, zeros (n, 1) ones(n, 1), opt io ns, r, 0. 01, method, 1) :%min VaRnW(:, i)=fmincon(6var_cvar_min_fun, IW, , , Aeq, Bcq, zeros(n, 1), ones(n, 1), , opt i ons,r,0. 01, method, 2) ;nin CVaR sigma(i)=sqrt (W(:, i) *V*W(:, i): nsigma(i) =sqrt (nW(:, i) *V*nW(:, i)

19、;VaR(i), CyaR(i)=var_cvar(weight_portfolio(W(: i),r),0. 01, method) ;%VaR and CVaR based on minimizing VaRnVaR(i), nCVaR(i) =var_cvar(weight_portfolio(nl(:, i), r), 0. 01,method) ;%VaR and CVaR based on minimizing CVaRendinimize Variancefor i=l:length(ER)Beq=l;ER(i);W1 (:, i), fv(i)=quadprog(V, , ,

20、, Aeq, Beq, zeros(n, 1), ones(n, 1), IW, options); fv(i)=sqrt(fv(i)*2);%standard deviationVaRl (i), CVaRl (i) =valcvar (we i ght_port fol io (W1 (:, i), r), 0. 01, method): end(VjyfVttQjft-fycvjycvtVQf(y(y(y(y(y(y(y(v(y(y(v(y(y(y(y(y(y(y(y(v(v(y (y*il Al 4 *l xi A)Al v，3)A)*aI Xl Alh=figure(l);set (

21、h,1 color, w)plot (sigma, ER, -o )%ER-VaR frontierhold onplot (fv, I:R, r-* )%F:R-sigma frontierplot (nsigma, ER, k-square* )%ER-C,aR frontierxlabel ( Sigma)ylabel ( ER)plot (stdev, e kpentagram1)legend(* ER-VaR Frontier, ER-sigma Frontier , ER-CVaR Frontier*, individualstocks, 2) h=figure(2): set (

22、h, color ,、)plot(VaR, ER, -o)%ER-VaR frontierhold onplot (VaRl, ER, r-* )%ER-sigma frontierplot (nVaR, ER,1 k-square* )%ER-CzaR frontierxlabel ( VaR)ylabel ( ER)pl ot (var, e, kpentagram1)legendER-VaR Frontier , ” ER-sigma Frontier , ER-CVdR Frontier,9 individual stocks1,2)h=figure(3);set (h, color*

23、v/ )plot (CVaR, ER, -o1 )%ER-VaR frontierhold onplot (CVaRl, ER, r-*1 )%ER-sigma frontierplot (nCVaR, ER,9 k-square,)%ER-CVaR frontierxlabel (CVaR)ylabel C ER)plot (cvar, e, kpentagram,)legend( ER-VaR Frontier , ER-sigma Frontier , ER-CVaR Frontier , individual stocks，, 2)运行上而的程序，我们得到基丁匸态分布计算VaR和CVa

24、R的前沿组合.卜.面的程序用到了以卜辅助函数weight_portfol io fl I var_c va r_m i n_f u n ：function f=weight_portfolio(W, r)W=W(:);i f length (W)=size (r, 2)error (* W does not match r);endN=size(r, 1);/=repmat (W, N, 1):f=A. *r;f=sum (f, 2);finction f=var_cvar_min_fun(w, r, alpha, method, num)for i=l:length(w)a(:, i)=w(

25、i)*r(:, i);endr=sum(a, 2):n=length(r);mu=rcean(r):sigira=std(r);switch methodcase hsVaR=-prctile(r, alpha*100);13金融计算U编程上河财经人学金融学院四志广CVaR=-(mean (r (r=-VaR):case normq_alpha=norminv(alpha,mu, sigma);VaR=-(q_alpha);CVaR=-(mu-sigma*noimpelf (q_a 1 pha-mu)/sigma, 0, 1)； alpha);case cCnr=(r-mu)/sigma;s=skewTiess(nr):k=kurtosis(nr)-3;q二norminv(alpha):VaR=- (m