最小二乘法曲线拟合原理及matlab实现

1、曲线拟合( curve-fitting )： 工程实践中，用测量到的一些离散的数据( X, yj,i 0,1,2,.m求一个近似的函数(x)来拟合这组数据，要求所得的拟合曲 线能最好的反映数据的基本趋势(即使 (x)最好地逼近f x，而不必满足插值 原则。因此没必要取 (X)=yi，只要使i (Xi) yi尽可能地小)。原理：给定数据点 ( xi,yi),i0 ,1 , 2, . . . m 。求近似曲线 ( x) 。并且使得近似曲线与 f x 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差 i(xi ) yi ， i=1,2,.,m 。常见的曲线拟合方法：1. 使偏差绝对值之和最小2. 使偏差绝对值最大

2、的最小3. 使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线， 并且采取二项式方程为拟合曲线的方法 ,称为最小 二乘法。推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3问题转化为求待定系数 a0.ak对等式右边求 q偏导数，因而我们得到了：4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到 ：6. 也就是说 X*A=Y ，那么 A = (X*X)-1*X*Y ，便得到了系数矩阵 A ，同时，我们也就得 到了拟合曲线。MATLAB 实现：MATLAB 提供了 polyfit ()函数命令进行最小二乘曲

3、线拟合。调用格式： p=polyfit(x,y,n)p,s= polyfit(x,y,n)p,s,mu=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点， n 为多项式阶数，返回 p 为幂次从高到低的多项式系数向量 p。 x 必须是单调的。矩阵s包括R (对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、 normr(残差)用于生成预测值的误差估计。p,s,mu=polyfit(x,y,n) 在拟合过程中，首先对 x 进行数据标准化处理，以在拟合 中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( ) 为多项式曲线求值函数，调用格式 ： y=polyval(p,x)y

4、,DELTA=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y,DELTA=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计丫 DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。 则 丫 DELTA 将至少包含 50%的预测值。如下给定数据的拟合曲线： x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0， y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60。 解： MATLAB 程序如下： x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.

5、81,4.80,7.00,8.60;p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*r,x1,y1,-b) 运行结果如图 1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为 y=0.5614xA2+0.08287x+1.15560图1 最小二乘法曲线拟合示例 对比检验拟合的有效性： 例：在0, n区间上对正弦函数进行拟合，然后在0,2 n区间画出图形，比较拟合 区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。在 MATLAB 中输入如下代码：clearx=0:0.1:pi; y=sin(x);p,

6、mu=polyfit(x,y,9) x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);% 实际曲线y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算 0到2pi上 的函数值，%需要注意的是polyval ()返回的函数值在pi到2pi上并 没有进行拟合plot(x1,y2,k*,x1,y1,k-)运行结果：p =0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.0000 1.0000 0.0000mu =R: 10x10 doubledf: 22 normr: 1.6178e-07MATLAB 的最优化工具箱

7、还提供了 lsqcurvefit ()函数命令进行最小二乘曲线 拟合(Solve non li near curve-fitti ng (data-fitti ng) problems in least-squares sense)。调用格式：x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)x = lsqcurvefit(problem)x,resnorm = lsqcurvefit(.)x,r

8、esnorm,residual = lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag = lsqcurvefit(.)x,resnorm,residual,exitflag,output = lsqcurvefit(.) x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda = lsqcurvefit(.) x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian = x0 为初始解向量 ;xdata ， ydata 为满足关系 ydata=F(x, xdata) 的数据 ;lb、ub为

9、解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb= , ub=;options 为指定的优化参数 ;fun 为拟合函数，其定义方式为 :x = lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata) ， 其中 myfun 已定义为 function F = myfun(x,xdata)F =%计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同；resnorm=sum (fun(x,xdata)-ydataF2)，即在 x 处残差的平方和； residual=fun(x,xdata)-ydata ，即在 x 处的残差 ;exitflag 为终止迭代的条件 ;output 为输出的优化信息 ;lambd

10、a 为解 x 处的 Lagrange 乘子 ;jacobian 为解 x 处拟合函数 fun 的 jacobian 矩阵。例： lsqcurvefit() 优化程序Data = .0.00005.89550.10003.56390.20002.51730.30001.97900.40001.89900.50001.39380.60001.13590.70001.00960.80001.03430.90000.84351.00000.68561.10000.61001.20000.53921.30000.39461.40000.39031.50000.54741.60000.34591.7000

11、0.13701.80000.22111.90000.17042.00000.2636;t = Data(:,1);y = Data(:,2);% axis(0 2 -0.5 6)plot(t,y,ro)title(Data points)%We would like to fit the function y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t) to the data %The lsqcurvefit function solves this type of problem easily.%To begin, define the param

12、eters in terms of one variable x:%x(1) = c(1)%x(2) = lam(1)%x(3) = c(2)%x(4) = lam(2)%Then define the curve as a function of the parameters x and the data t:F = (x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata);x0 = 1 1 1 0;x,resnorm,exitflag,output = lsqcurvefit(F,x0,t,y)hold onplot(t,F(x,t)ho

13、ld offFsumsquares = (x)sum(F(x,t) - y).A2);opts = optimset(LargeScale,off);xunc,ressquared,eflag,outputu = .fminunc(Fsumsquares,x0,opts)fprintf(There were %d iterations using fminunc, . and %d using lsqcurvefit.n, .outputu.iterations,output.iterations)fprintf(There were %d function evaluations using

14、 fminunc, . and %d using lsqcurvefit., .outputu.funcCount,output.funcCount)type fitvectorx02 = 1 0;F2 = (x,t) fitvector(x,t,y);x2,resnorm2,exitflag2,output2 = lsqcurvefit(F2,x02,t,y)fprintf(There were %d function evaluations using the 2-d .formulation, and %d using the 4-d formulation., . output2.fu

15、ncCount,output.funcCount)x0bad = 5 1 1 0;xbad,resnormbad,exitflagbad,outputbad = .lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)hold onplot(t,F(xbad,t),g)legend(Data,Global fit,Bad local fit,Location,NE)hold offfpri ntf(The residual norm at the good ending point is %f, .and the residual norm at the bad ending point is %f., .res no rm,res no rmbad)displayE ndOfDemoMessage(mfile name)拟合效果如下：直线的最小二乘拟合：y= a+bx式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的 N组数据(xi，yi)，i = 1, 2,N, xi值被认为是准确的，所有的误差只联 系着yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。用最小二乘法估计参数时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：上式分别对a、b求偏导得：整理后得到方程组：解上述方程组便可求得直线参数a