概率论何书元编著答案习题一解答

1、习题一解答习题一解答 , 2 , 1 jAj , 2 , 1 jBj 1.1.设设是事件列，求互不相容事件是事件列，求互不相容事件 ，使得，使得 11j j j j BA，且，且. jj AB , 0 A, 1 0 j i jjj AAB 11j j j j BA 解解 令令即有即有 , 2 , 1, jAB jj 且且 2 .1002 .100件产品中有件产品中有3 3件次品，从中任取两件，件次品，从中任取两件， A “至少有一件次品至少有一件次品”， A “两件都是合格品两件都是合格品” 求至少有一件次品的概率。求至少有一件次品的概率。 解解 令令 0594. 01)(1)( 2 100

2、2 97 C C APAP 425 22 )( 3 52 3 13 1 4 C CC AP 425 16913 )( 3 52 33 4 C C BP 解解 令令 A “3“3张牌同花色张牌同花色” ” B“3“3张牌相互不同花色张牌相互不同花色” 3.3.从一副扑克牌的从一副扑克牌的5252张中无放回地任取张中无放回地任取3 3张，张， 求这求这3 3张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。 解解 令令 A “3“3张牌互不同号张牌互不同号” ” B“3“3张牌同号张牌同号” 4.4.从一副扑克牌的从一副扑克牌的5252张中有放回地任取张中有放回地任取3

3、3张，张， 求这求这3 3张牌互不同号的概率和同号的概率。张牌互不同号的概率和同号的概率。 169 132 52 )( 3 1 852 1 452 1 52 CCC AP 169 1 52 )( 3 1 4 1 4 1 52 CCC BP 现在无放回地试开房门，计算现在无放回地试开房门，计算 5.5.钥匙串上的钥匙串上的5 5把钥匙中只有一把可以开房门，把钥匙中只有一把可以开房门， （1 1）第三次打开房门的概率。）第三次打开房门的概率。 （2 2）三次内打开房门的概率。）三次内打开房门的概率。 （3 3）如果）如果5 5把中有把中有2 2把可以打开房门，求三次内把可以打开房门，求三次内 打开

4、房门的概率。打开房门的概率。 解解 （1 1） 5 1 345 134 p i Ai , 3 , 2 , 1 i 5 1 )( i AP （2 2）令）令“第第次打开房门次打开房门”， 则则，且，且 321 ,AAA互斥，则互斥，则 5 3 5 1 5 1 5 1 p （3 3）因为）因为 , 5 2 )( 1 AP, 10 3 45 23 )( 2 AP , 5 1 10 2 345 223 )( 3 AP 10 9 5 1 10 3 5 2 p 6. 6. 有有1515名新研究生随机选择名新研究生随机选择3 3个专业，每个专业个专业，每个专业5 5人，人， 计算如果这计算如果这1515名学

5、生中有名学生中有3 3名女生，名女生， （1 1）每个专业各得一名女生的概率）每个专业各得一名女生的概率 （2 2）3 3名女生分在同一专业的概率名女生分在同一专业的概率 解解 (1)(1) 91 25 ! 5 ! 5 ! 5 !15 / ! 4 ! 4 ! 4 !12 p (2)(2) 91 6 ! 5 ! 5 ! 5 !15 / ! 5 ! 5 ! 2 !12 p 7.7.直径为直径为1 1的硬币随机地落在打有方格的平面上，的硬币随机地落在打有方格的平面上， 问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的 概率小于概率小于0.01.0.01. 解解 假

6、设方格的边长为假设方格的边长为, x硬币的圆心落在方格内硬币的圆心落在方格内 是等可能的，则圆心落在如图小方格是等可能的，则圆心落在如图小方格 A中时，硬币中时，硬币 不与网格相交不与网格相交,01. 0 )1( )( 2 2 x x AP , 10 1 x x 9 10 x 1 , 0 ,ZYX,ZYX8.8.在在中任取三点中任取三点求线段求线段 能构成三角形的概率。能构成三角形的概率。 解法一（三维）解法一（三维） 两边和大于第三边。两边和大于第三边。 构成三角形的充要条件是：构成三角形的充要条件是： 1,0),( zyxzyx1)( m ,),(xzyyzxzyxzyxA 如图相当于立方

7、体如图相当于立方体 切去三个角，切去三个角， 每个角的体积为每个角的体积为 , 6 1 1 2 1 3 1 2 1 6 1 31)( Am 2 1 )( AP 解法二解法二 不妨假设不妨假设 , 10 zyx 则则 10),( zyxyx ,),( ),(zyxyxyxA 2 1 2 1 4 1 )( 2 2 z z AP zyx yx z z 9. 9. 已知已知2424小时内有两条船相互独立且随机的到达小时内有两条船相互独立且随机的到达 码头，它们的停靠时间分别是码头，它们的停靠时间分别是3 3和和4 4小时，如果小时，如果码头码头 只能容纳一只船，求后到的船需要等待的概率。只能容纳一只船

8、，求后到的船需要等待的概率。 解解 设设 yx,分别是两只船到达码头的时间，则分别是两只船到达码头的时间，则 24,0),( yxyx 34),( xyyxyxA或或 1152 311 24 )2021( 2 1 24 )( )( 2 222 m Am p 也是也是上事件域。上事件域。 F, F 10. 10. 设对每个实数设对每个实数是是上事件域，证上事件域，证 证明证明 令令 , FF 只需证只需证 F满足事件域 满足事件域 的三个性质的三个性质 （1 1） F ,FF （2 2） FFA 对对 FA , FA ,FFA （3 3） FFAj FAj , FA j j 1 ,FFA j j

9、 1 所以所以 FF 也是也是 上事件域。上事件域。 11.11.电梯中的两个人等可能地要去电梯中的两个人等可能地要去 n, 3 , 2 层层 ),(PF F#,# （1 1）写出相应的概率空间）写出相应的概率空间 ，给出，给出 A )(AP（2 2）用）用表示这两个人到达不同的楼层，计算表示这两个人到达不同的楼层，计算 解解 （1 1）用）用 ., 3 , 2,njiba ji 2 ) 1(#n F 是是子集的全体，则子集的全体，则 jib a层第二人去层第二人去 i j第一人去第一人去层，则层，则 2 )1( 2# n F ,FB # # )( B BP对对定义定义 （2 2）表示两个人到

10、达不同楼层，表示两个人到达不同楼层， A , 1 1 )1( 1 )( 2 nn n AP 1 2 1 1 1)( n n n AP A表示两个人到达相同楼层表示两个人到达相同楼层 12. 12. 两个人下棋，每局获胜者得一分，累计多于两个人下棋，每局获胜者得一分，累计多于 对手两分者获胜，设甲每局获胜的概率为对手两分者获胜，设甲每局获胜的概率为 , p求甲求甲 最终获胜的概率。最终获胜的概率。 解（解（1 1）乙胜）乙胜a2 a局，甲要胜局，甲要胜局才算最终获胜，局才算最终获胜， 所以下棋的总盘数是所以下棋的总盘数是 , 22 a为偶数。为偶数。 （2 2）甲要最终获胜，最后要两局连胜）甲要

11、最终获胜，最后要两局连胜 设下棋的盘数设下棋的盘数 , 22 kn最后两局甲胜，前最后两局甲胜，前 k2局局 甲乙各胜甲乙各胜 k局。局。 前前 k 2 局两盘两盘看成一个盒子，每个盒子中放入局两盘两盘看成一个盒子，每个盒子中放入 和和 V,X 表示甲先赢后输，表示甲先赢后输，VX表示甲先输后赢，表示甲先输后赢， 种，所以种，所以 k 2 共有共有则每个盒子有则每个盒子有2 2种种, , 0 2 )2( k kkk qppp 22 2 qp p pq p 21 1 2 0 2 )2( k k pqp )1( qp 13. 13. 甲、乙二人比赛，如果甲胜的概率甲、乙二人比赛，如果甲胜的概率 ,

12、 2 1 p 三局两胜的比赛规则对甲有利，还是五局三胜的三局两胜的比赛规则对甲有利，还是五局三胜的 规则对甲有利？规则对甲有利？ 解解 设三局两胜下甲取胜的概率为设三局两胜下甲取胜的概率为 , 1 p则则 322222 1 23)1(22pppppqppp 设五局三胜下甲取胜的概率为设五局三胜下甲取胜的概率为 , 2 p则则 3452333 2 1015663pppqpqppp 所以所以 0)12()1(3 22 12 ppppp 即五局三胜对甲有利即五局三胜对甲有利 14. 14. 一副眼镜第一次落地摔坏的概率是一副眼镜第一次落地摔坏的概率是0.50.5，若，若 第一次没摔坏，第二次摔坏的概

13、率是第一次没摔坏，第二次摔坏的概率是0.70.7，若第二次，若第二次 没摔坏第三次落地摔坏的概率是没摔坏第三次落地摔坏的概率是0.90.9，求该眼镜落地，求该眼镜落地 三次没有摔坏的概率。三次没有摔坏的概率。 i A眼镜第眼镜第 次落地没有摔坏，次落地没有摔坏，解解 令令 i 3 , 2 , 1 i )()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP 015. 01 . 07 . 05 . 0 15.15.甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用 其中的一根火柴，设每盒火柴中有其中的一根火柴，设每盒火柴中有 n根火柴，求遇到根火柴，求遇

14、到 一盒空而另外一盒剩下一盒空而另外一盒剩下 r根火柴的概率。根火柴的概率。 解解 吸烟一次看做一次试验，重复了吸烟一次看做一次试验，重复了 rn 2 次，次， 两盒火柴有差别，则两盒火柴有差别，则 rnnn rn Cp ) 2 1 () 2 1 (2 2 注注 此题改为两盒火柴无差别，此题改为两盒火柴无差别， rnnn rn Cp ) 2 1 () 2 1 ( 2 16.16.一枚深水炸弹击沉、击伤和不能击中一艘潜水艇一枚深水炸弹击沉、击伤和不能击中一艘潜水艇 的概率。的概率。 2 1 , 3 1 , 6 1 的概率分别是的概率分别是和和设击伤该艘潜水艇两次也设击伤该艘潜水艇两次也 使该潜水

15、艇沉没，求用使该潜水艇沉没，求用4 4枚深水炸弹击沉该艘潜水艇枚深水炸弹击沉该艘潜水艇 解解 令令 A 潜水艇未被击中潜水艇未被击中 （四枚全不中或三枚不中且一枚击伤）（四枚全不中或三枚不中且一枚击伤） 1296 13 36 13 ) 2 1 () 6 1 () 6 1 ()( 2 33 4 4 CAP 1296 1283 1296 13 1)( AP k17. 17. 设一辆出租车一天内穿过设一辆出租车一天内穿过个路口的概率是个路口的概率是 , p m 为为求这辆出租车一天内遇到求这辆出租车一天内遇到个红灯的概率。个红灯的概率。 ),2 , 1 , 0( , ! k k e p k k 是正

16、常数，如果各个路口是正常数，如果各个路口 的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率 解解 设设 k B k )2 , 1 , 0( k出租车一天穿过出租车一天穿过个路口，个路口， m Am)2 , 1 , 0( m出租车一天内遇到出租车一天内遇到个红灯，个红灯， )( m AP 则则 （mk 时概率为时概率为0 0） mk kmk BAPBP)()( mk k k e ! mk mkm k pp mkm k k e )1( )!( ! ! ! mkmm k ppC )1( mk mkmk mm p mkm ep )1( )!( 1 ! 0!

17、)1( !l l l mm l p m ep )1( ! p mm e m ep p m e m p ! )( )2 , 1 , 0( m 18. 18. 瓮瓮I I中有中有2 2个白球个白球3 3个黑球，瓮个黑球，瓮IIII中有中有4 4个白球个白球 和和1 1个黑球，瓮个黑球，瓮IIIIII有有3 3个白球和个白球和4 4个黑球，随机选一个个黑球，随机选一个 瓮并从中随机地抽取一个球，发现是白球，求瓮瓮并从中随机地抽取一个球，发现是白球，求瓮I I被被 选到的概率。选到的概率。 , i解解 设设 i A 3 , 2 , 1 i选中瓮选中瓮 B取白球取白球 3 1 11 1 )()( )()

18、( )( i ii ABPAP ABPAP BAP 57 14 7 3 3 1 5 4 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 19. 19. 甲乘汽车、火车的概率分别为甲乘汽车、火车的概率分别为0.60.6、0.40.4，汽车，汽车 和和火车正点到达的概率分别为火车正点到达的概率分别为0.80.8、0.90.9，现在甲已经，现在甲已经 正点到达，求甲乘火车的概率。正点到达，求甲乘火车的概率。 解解 设设 A 甲乘汽车，甲乘汽车， B甲正点到，则甲正点到，则 )()()()( )()( )( ABPAPABPAP ABPAP BAP 7 3 8 . 06 . 09 . 04 . 0 9 . 0

19、4 . 0 1 n )0(nii i 20.20.设有设有个口袋，第个口袋，第个口袋中有个口袋中有 in 个白球，个白球，个红球，个红球， 先在这先在这 1 n个口袋中任意个口袋中任意 选定一个，然后在这袋中有放回地抽取选定一个，然后在这袋中有放回地抽取 r个球，个球， 如果这如果这r个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。 i A ni, 2 , 1 , 0 解解 设设选中第选中第个口袋，个口袋， i j Bj rj, 2 , 1 第第次抽红球，次抽红球， n i ii ABPAPBP 1 11 )|()()( n in in n11 1 n i ii

20、 ABBPAPBBP 1 2121 )|()()( 2 1 )( 1 1 n in in n n i irir ABBBPAPBBBP 1 2121 )|()()( r n in in n )( 1 1 1 )( )( )( 1 11 11 r rr rr BBP BBBP BBBP n i r r n i r r rn nn rn nn 0 0 1 1 )( )1( 1 )( )1( 1 n i r n i r rnn rn 0 0 1 )( )( A 解解 设设机器良好机器良好 21.21.一台机床工作状态良好时，产品的合格率是一台机床工作状态良好时，产品的合格率是 %,99 机床发生故障

21、时产品的合格率是机床发生故障时产品的合格率是 %,50设每次新开设每次新开 机器时机床处于良好状态的概率是机器时机床处于良好状态的概率是 %,95如果新开如果新开 机器后生产的第一件产品是合格品，求机床处于良好机器后生产的第一件产品是合格品，求机床处于良好 状态的概率。状态的概率。 B产品合格产品合格 则则 %,99)( ABP%,50)( ABP %,95)( AP %5)( AP )()()()( )()( )( ABPAPABPAP ABPAP BAP 50. 005. 099. 095. 0 99. 095. 0 974. 0 9655 9405 nn n k A nk 22.22.口

22、袋中有质地相同的口袋中有质地相同的 个白球和个白球和 一次取一次取个，用个，用表示这表示这个球中恰有个球中恰有个红球个红球 个红球，从中个红球，从中 )( k AP（1 1）计算）计算 n n n k k n CC 2 0 2 )( （2 2）证明）证明 ,m n mn n k kn m k n CCC 0 （3 3）对正整数）对正整数证明证明 解（解（1 1） n n k n n n kn n k n k C C C CC AP 2 2 2 )( )( （2 2）因为）因为 n AAA, 10 组成完备事件组，则组成完备事件组，则 n k k AP 0 )(1 n k k n n n C C0 2 2 )( 1 n n n k k n CC 2 0 2 )( m （3 3）假设口袋中有）假设口袋中有个白球，个白球， n个红球，从中一次取 个红球，从中一次取 n个，令个，令 k Bn取到的取到的 个球中有个球中有个红球，则个红球，则 k n BBB, 10 组成完备事件组组成完备事件组 n k k BP 0 )(1 n k n mn kn m k n C CC 0 n mn n k kn m k n C CC 0 n mn n k kn m k n CCC 0 b 个（个（1 1）求恰有）求恰有个白球的概率（个白球的概率（2 2）证明）证明地任取地任取 k k ra