深圳市高三数学一模(文)试卷

1、绝密启用前试卷类型：(a)深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题 第7页共16页深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学(文科)2010 2本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和 考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不 污损.2 .选择题每小题选出答案后，用 2b铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3 .非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不

2、准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效.4 .作答选做题时，请先用 2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第i卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1,已知集合 a x| 1 x 2, b 1,2,3,则 ai b(a) 1(b) 2(c) 1,2(d) 1,2,32 .设 z 2-i,则 |z|1 i(a)拒(b) 2(c)娓(d) 33 .在平面直角坐标系 xoy中，设角的顶点与原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点p(2, 1),则sin(

3、冗2 )的值为(a)4(b)355(cy(d)0x34 .设x , y满足约束条件0y 4 ,则z 3x y的最大值为2x y 6(a) 7(b) 9(c) 13(d) 155.已知f(x)是定义在r上的偶函数，在区间(,0为增函数，且f (3) 0 ,则不等式f (1 2x) 0的解集为(a) ( 1,0)(b) ( 1,2)(c) (0,2)(d) (2,)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(a) 64(b) 68(c) 80(d) 109(a) 知圆锥的母线长为2,则该圆锥的外接球表面积为(a)25几(b)

4、16 7t(c) 25几(d) 32几8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了 “黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(1)取线段 ab 2,过点b作ab的垂线,并用圆规在垂线上截取 bc 1ab 1 ,连接ac ; (2)以c为圆心，bc为半径画弧, 2c交ac于点d； (3)以a为圆心，以ad为半径画弧，交 ab于点e .点e即为线段ab的黄金分割点.若在线段 ab上随机取一点f ,则使得be af ae的概率约为 _aeb(参考数据： 痣 2.236)第(8)题图(a) 0.236(b) 0,382(c) 0,472(d) 0.6189.已知直线x 是

5、函数f (x) sin(2x ) (| 6花| -)图象的一条对称轴，为了得到函数y f(x)的图象，可把函数 y sin 2x的图象兀、.(a)向左平行移动 一个单位长度6.,_. tt(b)向右平行移动一个单位长度6兀、.(c)向左平行移动 一个单位长度12.,_ . . 它(d)向右平行移动，个单位长度1210.在长方体 abcd a1b1c1d1 中，abbc 22，cci2j2, m为aai的中点，则异面直线ac与b1m所成角的余弦值为(a)2、. 2(d)32(b)二311.已知22f1，f2是椭圆冬与1 ( aa2 b2b 0)的左，右焦点，过 f2的直线与椭圆交于p,q两点，若

6、pq pf1且qf12pf1,则pf1f2与 qf1f2的面积之比为(a)(b).2(c).2+1(d) 2+7312.已知函数f(x)xln x, x x 1,x0,0,若x1x2且f (不)f(x2)，则| x x2 |的最大值为(a) 1(b)(c)(d) 242本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.x 113 .曲线y ex 一在点1, f(1)处的切线的斜率为 x14 .已知平面向量a,b满足|a| 2,|b| 4 , |2a b| 4石，则a与b的夹角为.15,已知

7、f1，f2是双曲线的两个焦点，以线段f1f2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于a,b,c,d四个点，若这四个点与 f1，f2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲 线的离心率为.16 .在 abc中， abc 150, d是线段ac上的点， dbc 30 ,若 abc的面积为j3,当bd取到最大值时， ac 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分12分)记sn为等差数列an的前n项和.已知ai 4 ,公差d 0, a4是a2与a8的等 比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列，1刖n项和为tn.18 .(本小题满分12分)工厂质检员从生产线上每半个小时

8、抽取一件产品并对其某个质量指标 y进行检测, 共抽取了 48件产品，并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 y有关，具体见下表.质里指标y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201(1)以每个区间的中点 值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标y的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取 2件产品，求这2件产品的指标 y都在9.8, 10.2内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100元

9、，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这 48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该 服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19 .(本小题满分12分)已知四棱锥p abcd的底面abcd为平行四边形， pd dc, ad pc.(1)求证：ac ap;(2)若平面 apd 平面abcd, adc 120 , ad dc 4,求点b到平面pac的距离.20 .(本小题满分12分)2设抛物线c ： y 4x,直线1：x my 2 0与c交于a, b两点.(1)

10、若|ab 4j6 ,求直线l的方程；(2)点m为ab的中点，过点m作直线mn与y轴垂直，垂足为n ,求证：以mn 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标.21 .(本小题满分12分)x已知函数f(x) ax 2 e x 2,其中a 2 .(1)当a 0时，求函数f (x)在 1,0上的最大值和最小值;(2)若函数f (x)为r上的单调函数，求实数 a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22 .(本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程x 2 t cos ,在直角

11、坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原y tsin ,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2cos ,直线l与曲线c交于a, b两个不同的点.(1)求曲线c的直角坐标方程；1 1(2)若点p为直线l与x轴的交点，求 -t -t的取值范围.pa pb23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设函数 f (x) x 1 x 2 , g(x) x2 mx 1 .(1)当m4时，求不等式f (x) g(x)的解集；1(2)若不等式f (x) g(x)在】2,上恒成立，求m的取值范围.2深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准深

12、圳市2019年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题 第11页共16页（1）(3)(8) a(9)12【解析】不妨设f(x1)a (4) cc (10) bf（x2），要使 | x1问题可转化为（如图所示）a（x, y1）到y x距离的最大值问题.此时需过a点的切线与(5) b(11) d(6) a(12) c当 x 0 时，f (x)ln x 1令 f (x) 1,则 x11,a(1,0), x21所以|x1 x21的最大值为2.x2|最大，即转化为求xix2 max ,二.填空题:13. e 114.6015.16. 2.716【解析】由题意可知s abc1 acsin15021一 ac4

13、4j3 .设 bd x ,则s bcd s abd - ax4,3cx4a j3c时x取到最大值，所以a 2 a c2,由余弦定理可得b三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）a 4是a 2与a 8的等记&为等差数列an的前n项和.已知a1 4 ,公差d 0 ,比中项.（1）求数列an的通项公式;（2）求数列-前n项和为tn .sn【解析】（1） a2 , a4 , a8成等比数列,2 a42 .(&3d)(a d)(a1 7d) , 2 分(4 3d)2(4 d)(4 7d),解得d 4或d 0, - d 0 , . d 4. 4 分，数列an的通项公式

14、aa1 (n 1)d 4n(n n ).n(a an)2(2)snk 12 n； 2n 2n,10分111,11 、cc 2 c( (1,sn 2n2n 2 n n 1tn1(一n1n 1)12(112分【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养.18.(本小题满分12分)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标y进行检测,共抽取了 48件产品，并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 y有关，具体见下表.质里指标y9.4,9.89.8,10.21

15、0.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标y的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取 2件产品，求这2件产品的指标y都在9.8, 10.2内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为

16、决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？132【解析】(1)指标丫的平均值=9.6+10+10.410.07. 2分666(2)由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标 y在9.8,10.2内的有3件，记为a、4、a3；指标y在10.2,10.6内的有2件，记为b、b2；指标y在9.4,9.8内的有1件，记为c. 3分从6件产品中随机抽取 2件产品，共有基本事件15个：a1, a2、a1, a3、a, b 、a,b2、a1,c、a2,a3、a2,b1、a2,b2、a2,c、a,b、禽任、a,c、b1,b2、b1,c、b2,c . 5 分其中，指标丫都在9.8,10.2内的

17、基本事件有3个： a,a2、a,a、a2,a 6分31所以由古典概型可知，2件产品的指标 y都在9.8,10.2内的概率为p -.15 57分(3)不妨设每件产品的售价为 x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元.其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为 600元/件，此时平均每件产品的1消费费用为二- 48x 16 300+8 600 =x 200 元；9 分48假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48 x 100元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8 300=2400元，平均每件产品的消费费用1 _ -=一 4

18、8 x 100 +8 300 x 150 兀. 11 分48所以该服务值得消费者购买 12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体(平均数)、古典概型、概率决策等知识 点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养.19 .(本小题满分12分)已知四棱锥p abcd的底面abcd为平行四边形，pd dc, ad pc.(1)求证：ac ap；(2)若平面 apd 平面abcd, adc 120 , ad dc 4,求点b到平面 pac的距离.【解析】(1)证明：取pc中点m ,连接am ,pddc ,且m为pc中点,dmadpcampcpc, adi平面adm平面admm为pc中点,ac p

19、a.(2)过点p作ph垂直ad延长线于点h ,连接ch ,q平面apd平面abcd ,平面apd i平面分分分分abcdph平面apd , ph ad ,ph平面abcd ,q ch平面abcd ,phchq pddcadadpadcadppd cdad4, ac ap 4/3 ,ph ch设hb为点b到平面pac的距离,由于vpabc1ph - s acps abcq acp276v426,所以hb47即点b到平面pac的距离为12深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题 第15页共16页【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、 等体积法求

20、点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻 辑推理等核心素养.20 .（本小题满分12分）2设抛物线c： y 4x,直线1：x my 2 0与c交于a, b两点.（1）若|ab 4层,求直线l的方程；（2）点m为ab的中点，过点 m作直线mn与y轴垂直，垂足为 n ,求证：以mn 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标.x my 2,9【解析】(1)由 2消去x并整理，得y2 4my 8 0, 1分y 4x,显然16m2 32 0,设 a(x1,y1)，b(x2, y2),由韦达定理可得，y1 y2 4m , y1y28 , 3分q abjm21yy2|mm1j(

21、y1+y2)24y1y2,ab| 4，m2 1 jm2 2 4 76,4 分m24 (舍去)或m2 1 ,m 1, 直线方程为xy2 0或xy20.5 分 设ab的中点m的坐标为(xm , ym ),则ym y1 2y2 2m,2又q x x2 m(y1 y2) 4 4m 4,k x2 八 2 cxm 2m 2,6 分2m (2 m2 2,2m),由题意可得 n (0,2 m),7 分设以mn为直径的圆经过点 p(x, y)uuuu 2uur则 pm (2m 2 x0,2m y0) , pn ( x,2m y0) , 8 分由题意可得，pm pn 0，即(4 2%)m2 4y0m x2 y2

22、2x 0,9 分4 2xo 0,由题意可知 4yo 0, 阳22xo y0 2x00，xo 2 , y00 , 笳定点(2,0)即为所求. 分2【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题 等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养. 21.(本小题满分12分)x已知函数f(x) ax 2 e x 2,其中a 2 .(1)当a 0时，求函数f (x)在 1,0上的最大值和最小值;(2)若函数f (x)为r上的单调函数，求实数 a的取值范围.【解析】(1)当 a 0时，f(x)=2ex x 2, f (x)=2ex 1 .由f

23、(x) 0解得xln2,由 f (x) 0解得 x ln2.故函数f (x)在区间 1, ln2上单减，在区间 ln2,0上单增.- f(x)minf ln2 ln2 1.3 分2- f( 1)=- 1 0, f (0)=0, e- f(x)max f(0) 0.4 分(2)法一： 令 g(x) f (x) ax a 2 ex 1,则 g (x) ax 2a 2 ex.(i)当a=0时，由(1)知，与题意不符；5分,22(ii)当 a 0时，由 g (x) 0 x 2 - , g (x) 0 x 2 - aa2- 八22 -.- g(x)min=g 2 一= ae a 1 0, a- g(0)

24、= a+1 0 ,- 此时函数f (x)存在异号零点，与题意不符.6 分2(iii)当 2 a 0时，由 g (x) 0 ,可得 x 2 , a2由g (x) 0可得x 2 -. a，、.2g(x)在 ，22上单调递增，在 a22 2故 g(x)max=g 2 二 ae a 1. a2由题息知， ae a 1 0恒成立.“2t令2 t,则上述不等式等价于 et a易证，当t 0时，et t 1 - 1,2，二，2 -,+ 上单调递减.a-1 ,其中t 1 . 9分2又由(1)的结论知，当t10时，et-1成立.1份22深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题 第17页共16页，,

25、一2 八一由12 0,解得2 a 1 .f(x)为r上的单调函数，且单调递减.12分0,所以函数f(x)不可能在r上单调递增.6分a综上，当 2 a 1时，函数、，2(2)法二：因为 f ( 1) 一 1 e所以，若函数f (x)为r上单调函数，则必是单调递减函数，即 f (x) 0恒成立.由f (0) a 1 0可彳导a 1,故f (x) 0恒成立的必要条件为2 a 1 .7 分令 g(x) f (x) ax a 2 ex 1 ,则 g (x) ax 2a 2 ex.当2 a 1时，由g (x) 0 ,可得x2由g (x) 0可得x 2 -, ag(x)在 ，2 2上单调递增，在a故 g(x

26、)max=g 2 一二 ae a 1.a令h(a)= ae a 1，下证：当 2 a2 212即证ea一 .令2t,其中taa2 ?,+上单调递减.a9 分2 21 时，h(a)= ae a 1 0 ,1 t1,0 ,则一一1 .a 2则原式等价于证明：当t 1,0时，e - 1. 1份2由（1）的结论知，显然成立.综上，当 2 a 1时，函数f（x）为r上的单调函数，且单调递减. 12分【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立 问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能

27、做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x 2 t cos ,在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原y tsin ,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2cos ,直线|与曲线c交于a, b两个不同的点.（1）求曲线c的直角坐标方程；11（2）若点p为直线l与x轴的交点，求 一2 一2的取值范围.pa pb【解析】(1)2cos.2 2 cos ,1 分222x y , cosx ,3分曲线c的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 .5分x 2 tcos ,(2)将代入曲线c的直角坐标方程，可得y tsin ,t2 6cos t 8 0,6 分289由题息知 =36cos 32 0 ,故 cos 一，又 cos 1,928r八cos-,1 ,7分9设这个方程的两个实数根