数列题型及解题方法归纳总结

1、 an+1-a n=4 3an+1=3an+2? - 3an+2-a n=4 3 即 a n=2 3 -1an 1(-L-(2n 1)(2n 1)2 2n 1解:掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、 求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1) 观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等 差数列或等比数列问题。递推式为an+g+d及an+i=qa (d，q为常数) 例 1、?已知a n满3n+1 =3n+2，而且 3l =

2、1。求 3no例1、解？ t an+1-an=2为常数 an是首项为1，公差为2的等差数列/ an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11例2、已知an满足an 1 -an，而內 2，求务=?(2)递推式为跖an+f(n)；弧2 1例 3、已知a*中 a1， an 1 an2 ，求 an.由已知可知令n=1，2，,(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+ +( an-a n-1 ) 说明？只要和f( 1)+f(2)+ +f (n-1 )是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以n=1，2，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。递推式为

3、an+1=pan+q (p, q为常数解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a2=43，2n-2a4-a 3=4 3，, an-a n-1 =4 3，把n-1个等式累加得 an=2 3n-1-1(4)递推式为 an+1=p an+q n(p，q为常数)3 2(2)bn 1bn(bn g31)由上题的解法，得：bnbnan2“3(|)n 2(5)递推式为an 2 pan 1qa,n思路：设an2pan1qan ,可以变形为：an 2an 1(an 1an)，CL -I- B = p仃R 解得JQ * p = -q想于是a n+1- a an是公比

4、为B的等比数列，就转化为前面的类型。【例63己知数列诅J中，引二1,引=2,也=耳也+詐.求an。(6)递推式为S与an的关系式关系;例 4、a*中，a1 1，对于 n 1 (n N 有 an 3an 1 2，求 an .(2) 试用n表示an。解法一: 由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3 (an-an-1) 因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1= (3X 1+2) -1=4SnSn(anan 1 )(尹1、若等差数列an的首项a10 ,公差d则前n项和Sn有最大值。an12an上式两边同乘以数列求和的常用方法

5、:an a n(i)若已知通项an，则Sn最大anan 12n+1得2n+1an+1=2nan+2则2 3是公差为2的等差数列。 2nan= 2+ (n-1 ) 2=2nh.=2(ii)若已知Sn2pn qn，则当n取最靠近q2p的非零自然数时Sn最IL-1大;1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、若等差数列a的首项a10，公差d则前n项和Sn有最小值2、错项相减法：适用于差比数列(如果 an等差，bn等比，那么 anbn(i)若已知通项an ,则Sn最小anan 1叫做差比数列)即把每一项都乘以0的公比q，向后错一项，再对应同次(ii)若已知Sn2p

6、n qn，则当n取最靠近q2p的非零自然数时Sn最项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。适用于数列an an 1可裂项为：an an 1(其中an等差)an已知Sn (S，(n 1)Si Sn 1,( n即 a1 a2 Lanf (n)求an用作差)，an 1已知 aig02g_ gan等差数列前n项和的最值问题：已知条件中既有 若an 1an (an an1) (aa1 (n 2)。o2)f(n)求an,用作商法:Sn还有an，有时先求an f(n) 求n 1

7、 an 2 ) L (a2anSn ,an印)f (1),(nf( n)f(n 1)an .有时也可直接求I 累 加 法1),(n 2)。an 。已知苑 f（n）求an ,用累乘法：an 旦也 l 生印（n 2）。 anan 1 an 2ai已知递推关系求 an ,用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an kan i b、an kan i bn （ k, b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an kan i kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后，再求an。（2） 形如an乩的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1 bk（

8、3）形如an 1 an的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。a（8） 当遇到an 1 an 1 d或 4 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an 1能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2） 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是 等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的

9、 通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n和公式的推导方 法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂 后相关联，那么常选用裂项相消法求和J .1-n 11丄 n(n 1)(kn(n 1)( n 2)2（,百打）11)k4n(n k)1k211(k.常用裂项形式有:n k）；1k12k 112 n(n 1)2n 一 n 1、解题方法:1)k k 11(n 1)(n 2)1 2(n 1)!2 n求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an3、求差（商）法1解：n 1 时，一 a1215,二 a1142练习4、叠乘法解：亚电旦 2 .丄J旦n

10、a1a2 an 1 23na1 n5、等差型递推公式 练习6、等比型递推公式n! (n 1)!、n 1)(式多项)差的形式，然后前后相消。13?7丄L5?9(2n 1)(2n3)手哪些项可还剩下哪些项，一般地剩下的正项与想在解决数列问题当1+k为偶数时,下一时比最大。”S3+S6=2S9,求数列的公比q。识及推理能力。1练习7、倒数法2 .数列求和问题的方法(1) 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。21 + 3 + 5+ (2n-1)=n【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19)

11、,前 n 项的和。一 1解？本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n= n(n 1)2个奇数，1 2最后一个奇数为：1+ n(n +1)-1 x 2=n+n-12因此所求数列的前 n项的和为(2) 、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 ( n2-1 ) + 2 ( n2-22) +3 ( n2-32) + +n (n2-n 2) 解？ S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)(3) 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和

12、：Sn 3C： 6C2 L 3nC：例 10、解 Sh 0?C 3c： 6c2 L3nC：又备詡哼-汁3 Cn-1) C严十+0理(4) 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数列1，3x，5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.解？设 S：=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 . ?x=0 时，S=1.(3) 当xz 0且xz 1时，在式两边同乘以x得xS ：=x+3x2+5x3+(2n-1)x ：,-，得 (1-x)S：=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2 n-1)x裂项

13、法：把通项公式整理成两项常见裂项方法：1例12、求和1?5注：在负项一样多。在掌握常 见题型的解法的同时,时的应用。(2n-l)0,前n项的和为S，若S=S 0? Si=S (l丰k), dv 0故此二 次函数的图像开口向下：一 f (I ) =f (k),.2 .方程思想.【例14】设等比数列a：前n项和为S,若 分析？本题考查等比数列的基础知： 解 依题意可知1。如果q=1，则Ss=3a1, S6=6a1, $=9a1。由此应推出 a1=0与等比数列不符。整理得？ q 3 (2q6-q 3-1 ) =0? / q 0此题还可以作如下思考：S6=SB + qS3= ( 1+q3) S3o S

14、9=SB + qS6=S8 ( 1+ + ),由 S3+S=2S可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=03 遨元思想“. J【例 15】? 已知 a： b, c 不为 1 的正数，x, y, z R+,且 求证：a: b: c顺次成等比数列。证明？依题意令ax=by=cz=k x=1ogak: y=log bk, z=log ck b2=ac a: b: c成等比数列(a, b: c均不为0)数学5 (必修)第二章：数列、选择题1.数列an的通项公式A.98 B 992.在等差数列an中,A.123.在等比数列an中,anC. :则该数列的前()项之和等于9。、n 、n 196 D 97若 S41, S8C. 16 Da18a19a20的值为().17若 a26，且 a5 2a4a3 120 ,则an为( )A. 6 B . 6( 1)n 2 C . 6 2n 2 D . 6 或 6 ( 1)n 2 或 6 2n 2二、填空题1 .已知数列an中，a11 :a.1a.a.1a“:则数列通项2.已知数列的Snn2 n1，贝V a8 a9a103 .三个不同的实数a,b,c成等差数列