数学美在生活中 (1)

1、 舞台上，少女随着音乐翩翩起舞，那是向你展示音乐 艺术美；青城天下幽，峨嵋天下秀，那是展示自然风光美； “雨停了，太阳堆起笑脸，将温暖尽情地泻在原野上”那 是给你的动人语言美。而数学美在何方？我的回答是，哪 里有数学，哪里就有美！或者说，数学美在生活中。 一、一、什么是数学美什么是数学美 美是人类创造性实践活动的产物，是人类文明进步 的产物。一般地说，美是人类直觉的感性形式，是人类 本质力量的感性表现。通常所说的美包括自然美、社会 美和艺术美，而我们这里是谈数学美。什么是数学美？ 历史上许多文学家、艺术家、数学家、学者对数学美从 不同侧面作过生动的阐述。 亚里士多德说：“虽然数学没有明显地提到

2、善和美， 但善和美不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是 秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原 则。” 达芬奇认为：“美感完全建立在各部分之间神圣 的比例关系上。” 彭加勒说：“数学家把重大意义与他们的方法和他们的 结果的美联系起来。给我们以美感的是什么呢？是各部分的 和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引 入秩序，给出统一，容许我们同时清楚地观察和理解整体与 细节的东西”。 维纳认为：“数学实质上是艺术的一种。” 认真研究上述看法，从美学与数学角度进行总结，可以 这么说，数学美是科学本质力量的感性与理性的显现，是一 种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。它是一种

3、真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。 数学美不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美；不仅 有具体的公式、定理美，而且有结构美与整体美；不仅有语 言精巧美，而且有方法美与思路美；不仅有逻辑抽象美，而 且有创造美与应用美。 剪纸图片剪纸图片 京剧脸谱京剧脸谱 生活中的轴对称生活中的轴对称 建筑中的对称美建筑中的对称美 二、对正整数的美学审视二、对正整数的美学审视 每个人最初接触的是正整数。那么，我们每个人就 可以首先问自己：对正整数的感觉如何？很多的人可能 说“没有什么感觉。”然而，正整数曾引起过无数人的 兴趣和喜好，而且是一个长盛不衰的论题。 （一）完美数（一）完美数 我们不

4、妨要问：你喜欢哪个数？许多人未曾思索过， 一时答不上。稍加思考，也觉得1，2，3，4，好像 没有什么差别。当然，根据我们汉语的发音，有人喜欢 8，因为那似乎意味着“发”；也有人喜欢6，因为那意 味着顺利。但这并不是出自对数本身性质的原因而产生 的喜好。我们还是再看一看1、2、3、4、5、6、7这几 个数字，它们本身就具有一种和谐美，代表不同的七个 音阶，就能谱出优美动人和谐的乐曲，让世人在音乐中 陶醉。 数有许多不同的性质，人们可能不会因其有某种性 质而一定喜欢它，但是一些奇妙的性质则很可能引起人 们的兴趣。奇妙的性质也不少，人们对数的兴趣也可能 各不相同，也可能有多方面的兴趣。 6这个数的因

5、数有1，2，3，6（暂约定1和6自身亦 算其因数），其和恰为12，6的两倍；如果不计6自身， 则其因数之和恰是它自己。 28也具有这样的性质，其因数是1，2，4，7，14 之和恰好等于28，这是第二个具有这种性质的正整数。 496，仔细看看，1，2，4，8，16，31，62，124， 248是它的因数，它们的和也正等于496。 第四个具有这种性质的数稍难找一些，它是8128。 可是，一千八百多年之前就知道8128具有其各因数之和 恰为它自己（不计它自己）的性质。 人们把这种数称之为完美数完美数，即各因数之和为它的 两倍或不计它自己时恰等于它的那种数叫完美数完美数。6， 28，496，8128便

6、是很久以前知道的4个最小的完美数。 看来，完美数不多，已可初步看到，前八千多个正整数 中才4个！物以稀为贵，完美数稀罕。 完美数，人们用美来形容数。顺便看一下汉语里以 “美”字组词的情况。美好，把美与善联系在一起；美 妙，把美与奇异联系在一起；美满，把美与情感联系在 一起；美言、美谈、美味、用美来形容一些行为和感 觉。又有壮美、俊美、秀美、完美、对不同性质的 美的区分。汉语有关美的丰富词汇本身反映了在我们文 化中对美的多方面的准确理解。 用完美来形容6、28、496、这一类数也很恰当。 这种数的完美，一方面表现在它稀罕、奇妙，一方面表 现在它的完满，各因数和不多不少等于它自己。 第五个完美数在

7、哪里？很不容易寻找。在距离发现 第四个完美数之后一千多年，于公元1538年才发现第五 个完美数33 550 336。又过了50年才发现第六个是： 8 589 869 056。 寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为 止也还只发现二十多个。为什么去寻找呢？是因为这种 数在现实生活中有什么特别的用途吗？目前确实还没有 发现，是它的奇导和美丽吸引了许多的人。 （二）数的谐声借意（二）数的谐声借意 人的智商是有差异的，其中最重要的表现在记忆力 的强弱上。有人过目不忘，但有人苦于无法记住，我们 可以借用数的谐声来强化对数的记忆。 6267848977452614159. 3、 上海市出租汽车公司的

8、电话号码为25800000，该公司的 宣传广告语“让我拨五个零”。就是借助上海方言对数的谐 声让能牢记住这个号码。 又如众所周知的火警电话号码为“119”，数的谐声就是 “要要救”。美国纽约的火警电话号码为“911”，恐怖分子 制造了“9.11事件“，就是利用这个号码来统一行动。 祖冲之算出了精确的圆周率，造福于后人。我曾经编了 一个顺口溜，让我的学生记住了小数点后19位的圆周率。 山巅一寺一壶酒，尔乐，气死我，把酒吃，吃不死，乐 而乐。 6267848977452614159. 3、 三、对非有理数的美学品味三、对非有理数的美学品味 古希腊的数学十分繁荣，那时的自然科学与艺术、 哲学紧密联系

9、的。古希腊哲学（例如毕达哥拉斯流派） 对数与对世界的思考几乎是不可分割的。他们的哲学观 或世界观是：万物皆数。而1是最神圣的，一切盖源于1， 并且天下只有数（即正整数）及其比（又称可比数，即 今称之为有理数）。数生成万物，数的规律支配着万物。 中国古代有一生二、二生三、三生万物的说法，与万物 皆数的观点相似。 古希腊时数学观与哲学观的和谐被数学自身的发展 打破了。一种无法用两整数之比来表达的数就被信奉那 种哲学观的流派中的成员自己发现了，这就是非有理数 的发现。这种发现甚至导致了一场数学危机。然而，与 其说是数学危机，不如说是数学与哲学的共同危机。危 机何在？原有和谐被打破了，原有美感被动摇了

10、，原有 的理论被震撼了。 2 2 51 正方形的对角线与其边长之比就无法用两整数之比 来表示，这个今日之任何一名中学生都知道的事实竟是 当年发生震撼作用的源头。同时发现的是：正五边形对 角线长与其边长之比也无法由一个可比数（即有理数） 来表示（正六边形对角线长与其边长之比是2，引起麻 烦的是正方形、正五边形）。现在，我们大家都知道了 这两个数分别是 这两个数都是无理数。说它们是无理数，不是说它们没 有道理，是因为这类数的发现是在有理数之后。 无理数之美，我们来仔细品味。 是正五边形对角线 长与边长之比，而边长与对角线长之比则为 。这两个 数之积为1，这两个数之差也为1。因此它们是方程 2 51

11、 2 15 因此称它们为代数无理数。比值 特别被人注意，它 人是自然界长期发展的产物，人体美在自然中具有最强的完整 性。大诗人莎士比亚曾经赞颂道：“人类是一件多么了不得的杰作！ 宇宙的精华、万物的灵长。”其实，莎士比亚也许不知道，人体相 关各部分之间是符合黄金分割率的，肚脐是黄金分割的黄金点。在 躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝 盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数0.618的近似数。如果 人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。古希腊断 臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全 符合黄金律，美妙绝伦。 2 15 x (1+x) = 1

12、 或 x2 + x 1 = 0 的 解， 的近似值是0.618（即 ），这是一个有理数，人们称其为 黄金黄金 分割比值分割比值。它被认为是最美的数值，具有很高的美学价值。 10 18.6 这几副国旗图案中的五角星是黄金分割的这几副国旗图案中的五角星是黄金分割的 中国中国美国美国 委内瑞拉委内瑞拉越南越南 耐人寻味的0.618 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于 北纬北纬3030度左右。特别是红茶中的极品度左右。特别是红茶中的极品“祁红祁红” ，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这 不免让人联想起许多与不免让

13、人联想起许多与北纬北纬3030度度有关的地方。有关的地方。 奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等 等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在在这黄金分割的纬度这黄金分割的纬度上。上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, , 普通树叶普通树叶 的宽与长之比也接近的宽与长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央， 而总是站在舞台的而总是站在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于 0.6180

14、.618的位置才是最佳的位置的位置才是最佳的位置; ; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人 看起来舒服顺眼，看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张正规裁法得到的纸张，不管，不管 其大小，如对于、其大小，如对于、8 8开、开、1616开、开、3232开等，都仍然开等，都仍然 是近似的是近似的黄金矩形黄金矩形。 数学美的魅力 1 古埃及胡夫金字塔古埃及胡夫金字塔古希腊巴特农神庙古希腊巴特农神庙 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些小各异。但这些金字塔底面的边长与高金字塔底面的边长与高 这比都接近于这比都接近于

15、0.618.0.618. 古希腊的一些神庙，在建筑时古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也高和宽也 是按黄金比是按黄金比0.6180.618来建立来建立，他们认为这样，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其的长方形看来是较美观；其大理石柱廓大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的，就是根据黄金分割律分割整个神庙的. . 数学美的魅力 2 雕塑断臂女神维纳斯的雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符体型完全与黄金比相符, ,即以人的肚脐即以人的肚脐 为分界点为分界点, ,上身与下身之比上身与下身之比, ,或者说下身与全身之比约是或者说下身与全身之比约是0.6180.618 这样的身体给人的感觉

16、就是非常的匀称，充满着美感这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感. . 著名画家达著名画家达 芬奇的芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在 油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎蒙娜丽莎 的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得，使得 这幅油画看起来是那么的和谐和完美这幅油画看起来是那么的和谐和完美. . 科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵 循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建 楼阁或设计平台，便能

17、使平直单调的塔身变得丰富多彩； 而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整 个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的巴特农神殿，当今世界 最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴 黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。 在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字 台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为0.618， 你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长 宽比例设计，都恪守0.618之处；二胡要获得最佳音色，其 “千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消 费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得 不少植物叶，相邻的两片在与茎垂直的平面上

18、的投 影夹角为13728，自然，圆周角的另一部分是360 13728=22232。然而，又恰有 “物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品 种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以 0.618，即为挑选商品的首选价格。 正因为黄金比体现了美与适用，沟通了人与自然， 所以在某些名曲中，乐章的高潮出现在全曲的0.618处。 并且，这个角度对于植物叶子的通风、采光而言，都是 最佳的，从而最有利于植物的生长。 32222 28137 = 0.618 当植物的枝干的夹角当植物的枝干的夹角 1371372828时时, ,通风和采光通风和采光 能达到最好效果能达到最好效果, , 你知道你知道

19、 这是为什么吗这是为什么吗? ? 137 28 360137 28 0.6180.618 大自然的魅力 1、人们为何留恋春天？、人们为何留恋春天？ 因为人在春季感到舒畅，因为这时的环境温度正好因为人在春季感到舒畅，因为这时的环境温度正好 在在22至至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄摄 氏度正呈现微妙之处：人的正常体温氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与摄氏度与0.618的的 乘积为乘积为22.8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈 代谢、生理动均处于最佳状态。代谢、生理动均处于最佳状态。 2、一天要喝、一天要喝5杯水。杯水。 人体内的水分占体重的人体内的水分占体重的61.8，不计出汗，每天失，不计出汗，每天失 去和需要补充的水达去和需要补充的水达2500毫升。其中半固体食物供给的毫升。其中半固体食物供给的 水和人体内部合成的水约水和人体内部合成的水约1500毫升，大约占毫升，大约占61.8。其。其 余余1000毫升需要补充，才能保持水平衡。因此，每人一毫升需要补充，才能保持水平衡。