热力学统计物理 第三章 课件

1、第三章第三章单元系的相变单元系的相变3.1 热动平衡判据热动平衡判据 熵判据熵判据熵增加原理指出，孤立系统的熵永不减少。熵增加原理指出，孤立系统的熵永不减少。熵判据：孤立系统熵判据：孤立系统处在处在稳定平衡状态稳定平衡状态的必要和充分条的必要和充分条件为件为S 0将将S作泰勒展开，准确到二级，有作泰勒展开，准确到二级，有当当S=0时，熵函数有极值；当时，熵函数有极值；当S=0，2S0时，熵函数有时，熵函数有极大值。极大值。212SSS故而，由故而，由S=0可以得到可以得到平衡条件平衡条件，由，由2S 0将将F作泰勒展开，准确到二级，有作泰勒展开，准确到二级，有由由F=0和和2F0可以确定平衡条

2、件和平衡的稳定性条件。可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。212FFF吉布斯函数判据吉布斯函数判据：等温等压系统处在稳定平衡状态的：等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为必要和充分条件为G 0将将G作泰勒展开，准确到二级，有作泰勒展开，准确到二级，有由由G=0和和2G0可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。 均匀系统的热动平衡均匀系统的热动平衡设子系统发生一设子系统发生一虚变动虚变动，其内能，其内能和体积变化分别为和体积变化分别为U和和V。212GGG 介质介质T0, p0孤立系统孤立系统子系统子系统T，p介质的介质的内能和体积相应有变化内能和体积相应

3、有变化U0和和V0。由于系统。由于系统孤立，有孤立，有U +U0 = 0，V +V0 = 0熵是广延量，虚变动引起整个系统的熵变为熵是广延量，虚变动引起整个系统的熵变为= S+S0。将将S和和S0作泰勒展开，准确到二级，有作泰勒展开，准确到二级，有在稳定的平衡状态下，整个孤立系统的熵应取在稳定的平衡状态下，整个孤立系统的熵应取极大值极大值。熵。熵函数的函数的极值极值要求要求 =S +S0 = 0根据热力学基本方程根据热力学基本方程00000,UpVUp VSSTT2200011,22SSSSSS可得可得因为在虚变动中因为在虚变动中U和和V可以独立地改变，可以独立地改变，=0 要求要求T = T

4、0, p = p0此式表明，达到平衡时子系统和介质具有相同的温度和压此式表明，达到平衡时子系统和介质具有相同的温度和压强。强。由于子系统是整个系统中任意的一个小部分，所以达由于子系统是整个系统中任意的一个小部分，所以达到到平衡时整个系统的温度和压强是均匀的平衡时整个系统的温度和压强是均匀的。如果熵函数的二级微分是负的，即如果熵函数的二级微分是负的，即2 =2S +2S0 n)，故有，故有|2S0| |2S0|。因此可以忽略。因此可以忽略2S0 ，2 2S 0根据泰勒展开公式根据泰勒展开公式选选T、V为独立变量，通过导数变换可将上式的二次型化为为独立变量，通过导数变换可将上式的二次型化为平方和，

5、而有平方和，而有如要求如要求2S对于各种可能的虚变动都小于零，应有对于各种可能的虚变动都小于零，应有此式是此式是平衡的稳定性条件平衡的稳定性条件。2222222220SSSSUU VVUU VV222210VTCpSTVTTV 0,0VTpCV 介质介质子系统子系统如果平衡稳定性条件得到满足，当系统对平衡发生某如果平衡稳定性条件得到满足，当系统对平衡发生某种偏离时，系统中将自发产生相应的过程，以恢复平衡。种偏离时，系统中将自发产生相应的过程，以恢复平衡。平衡稳定性条件既适用于均匀系统的任何部分，也适平衡稳定性条件既适用于均匀系统的任何部分，也适用于整个均匀系统。用于整个均匀系统。3.2 开系的

6、热力学基本方程开系的热力学基本方程回顾：单元系、复相系与开系回顾：单元系、复相系与开系吉布斯函数吉布斯函数的全微分的全微分dG = -SdT + Vdp适用于物质的量不发生变化的情况。适用于物质的量不发生变化的情况。吉布斯函数是一个广延量，当物质的量发生变化时，吉布斯函吉布斯函数是一个广延量，当物质的量发生变化时，吉布斯函数也将发生变化。数也将发生变化。对于开系，上式应推广为对于开系，上式应推广为dG = -SdT + Vdp +dn式中第三项代表由于物质的量改变式中第三项代表由于物质的量改变dn所引起的吉布斯函数所引起的吉布斯函数的改变，而的改变，而称为称为化学势化学势。由于吉布斯函数是广延

7、量，系统的吉布斯函数等于物由于吉布斯函数是广延量，系统的吉布斯函数等于物质的量质的量n与摩尔吉布斯函数与摩尔吉布斯函数Gm(T,p)之积之积G(T,p,n) = nGm(T,p)因此因此即是说，化学势即是说，化学势等于摩尔吉布斯函数。等于摩尔吉布斯函数。由上面开系吉布斯函数的全微分可知，由上面开系吉布斯函数的全微分可知，G是以是以T、p、n为独立变量的特性函数。为独立变量的特性函数。若已知若已知G(T,p,n) ，则，则,T pGn,mT pGGn,p nT pT nGGGSVTpn 根据吉布斯函数的全微分和内能与吉布斯函数的关系，根据吉布斯函数的全微分和内能与吉布斯函数的关系，易求得开系易求

8、得开系内能内能的全微分的全微分dU = TdS - pdV +dn此式是此式是开系的热力学基本方程开系的热力学基本方程。易知，。易知，U是以是以S、V、n为为独立变量的特性函数。独立变量的特性函数。同理可求得开系的同理可求得开系的焓焓和和自由能自由能的全微分的全微分dH = TdS + Vdp +dndF = -SdT - pdV +dnH和和F分别是以分别是以S、p、n和和T、V、n为独立变量的特性函数。为独立变量的特性函数。定义一个热力学函数定义一个热力学函数J = F -n称为称为巨热力势巨热力势。巨热力势的全微分为巨热力势的全微分为dJ = -SdT - pdV - ndJ是以是以T、

9、V、为独立变量的特性函数。若已知为独立变量的特性函数。若已知J(T,V,) ,则其它热力学量有则其它热力学量有由巨热力势定义知，其也可表为由巨热力势定义知，其也可表为J = F G = - pV,VTT VJJJSpnTV 3.3 单元系的复相平衡条件单元系的复相平衡条件考虑一个考虑一个单元两相单元两相系的系的孤立孤立系统。系统。用指标用指标和和表示两个相，用表示两个相，用U、V、n和和U、V、n分别表示分别表示相和相和相的内能、体积和物质的量。相的内能、体积和物质的量。整个系统孤立，则总内能等应是恒定的，即整个系统孤立，则总内能等应是恒定的，即U + U = 常量常量V + V = 常量常量

10、n + n = 常量常量设想系统发生一个设想系统发生一个虚变动虚变动。在虚变动中两相的内能、。在虚变动中两相的内能、体积和物质的量均有变化，但孤立条件要求体积和物质的量均有变化，但孤立条件要求U + U = 0V + V = 0n + n = 0由上节内能全微分知，两相的熵变分别为由上节内能全微分知，两相的熵变分别为根据熵的广延性，整个系统的熵变根据熵的广延性，整个系统的熵变UpVnSTUpVnST 11SSSppUVnTTTTTT整个系统达到平衡时，总熵有极大值，必有整个系统达到平衡时，总熵有极大值，必有S = 0因为因为U、V、n是可以独立改变的，这要求是可以独立改变的，这要求即即T =

11、T（热平衡条件）p = p（力学平衡条件） =（相变平衡条件）上式指出，整个上式指出，整个系统系统达到达到平衡平衡时，两相的时，两相的温度温度、压强压强和和化化学势学势必须分别必须分别相等相等。这就是这就是单元复相系单元复相系达到平衡所要满足的达到平衡所要满足的平衡条件平衡条件。110,0,0ppTTTTTT单元系气液固三相相图单元系气液固三相相图3.4 单元复相系的平衡性质单元复相系的平衡性质 单元系相图单元系相图pT水的相图水的相图 液气两相的转变液气两相的转变pT123在一定的温度和压强下，系统的平衡状态是其化学势在一定的温度和压强下，系统的平衡状态是其化学势最小的状态。最小的状态。如果

12、在某一温度和压强范围内，如果在某一温度和压强范围内，相的化学势相的化学势(T,p)较其它相的化学势低，系统将以较其它相的化学势低，系统将以相单独存在。相单独存在。这个温度和压强范围就是这个温度和压强范围就是相的单相区域。在这个区相的单相区域。在这个区域内温度和压强是独立的状态参量。域内温度和压强是独立的状态参量。单元系两相平衡共存时，必须满足热、力学和相变平单元系两相平衡共存时，必须满足热、力学和相变平衡条件衡条件T = T= T，p = p= p (T,p) =(T,p)上式给出两相平衡共存时压强与温度的关系，就是两上式给出两相平衡共存时压强与温度的关系，就是两相平相平衡曲线的方程式衡曲线的

13、方程式。在平衡曲线上两相的化学势相等，两相可以以任意比在平衡曲线上两相的化学势相等，两相可以以任意比例共存。两相平衡是一种中性平衡。例共存。两相平衡是一种中性平衡。当系统缓慢地从外界吸收或放出热量时，物质将由一当系统缓慢地从外界吸收或放出热量时，物质将由一相转变到另一相而始终保持在平衡态，称为相转变到另一相而始终保持在平衡态，称为平衡相变平衡相变。单元系三相共存时，三相的温度、压强和化学势都必须相等，即T = T = T = T，p = p = p = p (T,p) =(T,p) =(T,p)上式给出三相点的温度与压强。若已知两相化学势的表达式，由若已知两相化学势的表达式，由(T,p) =(

14、T,p)即可即可确定相图的两相平衡曲线。但实际上平衡曲线是由实验直确定相图的两相平衡曲线。但实际上平衡曲线是由实验直接测定的。接测定的。 克拉珀龙方程克拉珀龙方程设设(T,p)和和(T+dT,p+dp)是是两相平衡曲线上邻近的两点。两相平衡曲线上邻近的两点。两点上，两相的化学势相等，两点上，两相的化学势相等，(T,p) =(T,p)， (T+dT,p+dp) =(T+dT,p+dp)两式相减有两式相减有d= d将化学势的全微分将化学势的全微分d= - SmdT + Vmdp代入上式，得代入上式，得- Sm dT + Vmdp = - SmdT + VmdppT( , )T p( +d ,d )

15、TT pp或或以以L表示表示1mol物质由物质由相转变到相转变到相时所吸收的相时所吸收的相变潜热相变潜热，因为相变时物质的温度不变，得因为相变时物质的温度不变，得L = T(Sm - Sm)代入上式得代入上式得此式称为此式称为克拉珀龙方程克拉珀龙方程。克拉珀龙方程给出两相平衡曲线的斜率，与实验结果克拉珀龙方程给出两相平衡曲线的斜率，与实验结果符合得很好。符合得很好。ddmmmmSSpTVVddmmpLTT VVpT当物质当物质熔解熔解、蒸发蒸发或或升华升华时，通常比体积增大，且相时，通常比体积增大，且相变潜热是正的（混乱度增加，因而比熵增加），因此平衡变潜热是正的（混乱度增加，因而比熵增加），

16、因此平衡曲线的曲线的斜率斜率dp/dT通常是通常是正的正的。在某些情形下，熔解曲线具有在某些情形下，熔解曲线具有负的斜率负的斜率。例如冰熔解。例如冰熔解时比体积变小，因而平衡曲线的斜率时比体积变小，因而平衡曲线的斜率dp/dT是负的。是负的。由克拉珀龙方程可以推导蒸气压方程。由克拉珀龙方程可以推导蒸气压方程。与凝聚相（固相或液相）达到平衡的蒸气称为与凝聚相（固相或液相）达到平衡的蒸气称为饱和蒸气饱和蒸气。由于两相平衡时压强与温度间存在一定的关系，饱和由于两相平衡时压强与温度间存在一定的关系，饱和蒸气的压强是温度的函数。蒸气的压强是温度的函数。凝聚相的摩尔体积远小于气相的摩尔体积，如果在克凝聚相

17、的摩尔体积远小于气相的摩尔体积，如果在克拉珀龙方程中将其拉珀龙方程中将其Vm略去，并把气体看作理想气体略去，并把气体看作理想气体pVm =RT，则克拉珀龙方程可简化为，则克拉珀龙方程可简化为若进一步认为相变潜热与温度无关，则上式积分可得若进一步认为相变潜热与温度无关，则上式积分可得此式是此式是蒸气压方程蒸气压方程的近似表达式。的近似表达式。21 ddpLpTRTlnLpART 3.5 临界点和气液两相的转变临界点和气液两相的转变 实验等温线实验等温线cTppTmVmcVcpmlVmgVTcTcpTmgVmlVmmlmg(1)VxVx VmlmgVV0TpV二氧化碳等温线（安住斯二氧化碳等温线（

18、安住斯 1869） 范氏气体等温线范氏气体等温线2mmapVbRTV 麦克斯韦等面积法则麦克斯韦等面积法则化学势的全微分为化学势的全微分为 d= - SmdT + Vmdp可知，等温线上压强为可知，等温线上压强为p与与p0的两个状态的化学的两个状态的化学势之差为势之差为积分等于图中等温线与积分等于图中等温线与p轴之间由轴之间由p0到到p的面积。的面积。ppmV00=dpmpVp根据吉布斯函数判据，根据吉布斯函数判据，在给定在给定T、p下，稳定平衡态下，稳定平衡态的吉布斯函数最小。因此线的吉布斯函数最小。因此线段段OKBAMR上各点代表系统上各点代表系统的稳定平衡状态。的稳定平衡状态。物质在物质

19、在B点全部处于气态，在点全部处于气态，在A点全部处于液态。点全部处于液态。B点和点和A点的点的值相等，正是在等温线的温度和值相等，正是在等温线的温度和A、B两点的压强下气、液两相的相平衡条件。由两点的压强下气、液两相的相平衡条件。由A=B可以看出，这相当于积分可以看出，这相当于积分pd0mBNDJAVp 或或面积面积(BND) = 面积面积( DJA)此式说明，此式说明，A、B两点在图中的位置两点在图中的位置可以由此式确定，称为可以由此式确定，称为麦克斯韦等麦克斯韦等面积法则面积法则。根据等面积法则，将范氏气体等温线中的根据等面积法则，将范氏气体等温线中的BNDJA段换段换为直线为直线BA就与

20、实测等温线相符了。就与实测等温线相符了。如前，线段如前，线段JDN上的状态不满足平衡稳定性的要求，物质不可能上的状态不满足平衡稳定性的要求，物质不可能作为均匀系存在而必将发生相变。作为均匀系存在而必将发生相变。线段线段BN和和AJ上的状态满足平衡稳定性的要求。由于其化学势高上的状态满足平衡稳定性的要求。由于其化学势高于两相平衡的化学势，它们可以作为于两相平衡的化学势，它们可以作为亚稳态亚稳态单相存在，分别相应于单相存在，分别相应于过过饱和蒸气饱和蒸气和和过热液体过热液体。 临界点临界点在等温线上的极大点在等温线上的极大点N，有，有在极小点在极小点J，有，有随着温度的升高，极大点与极小点逐渐靠近

21、。达到临界温随着温度的升高，极大点与极小点逐渐靠近。达到临界温度度Tc时，两点重合而形成拐点。因此时，两点重合而形成拐点。因此临界点临界点的温度的温度Tc和压和压强强pc满足满足将范氏方程代入，可得将范氏方程代入，可得220,0mmTTppVV220,0mmTTppVV220,0mmTTppVV再加上范氏方程本身共三个方程，可将临界点的温度再加上范氏方程本身共三个方程，可将临界点的温度Tc 、压强压强pc和体积和体积Vmc定出来定出来Tc 、pc和和Vmc之间存在以下关系之间存在以下关系此无量纲的比值叫做此无量纲的比值叫做临界系数临界系数。2233242260,0mmmmTTmmpRTapRT

22、aVVVVVbVb 28,32727ccmcaaTpVbRbb82.6673ccmcRTp V 对应态定律对应态定律 引进新的变量引进新的变量分别称为分别称为对比温度对比温度、对比压强对比压强和和对比体积对比体积。可将范氏方程。可将范氏方程化为化为此式称为此式称为范氏对比方程范氏对比方程。范氏对比方程中不含与具体物质性质有关的常量。即范氏对比方程中不含与具体物质性质有关的常量。即是说，如果采用对比变量，范氏方程是普适的。这个结论是说，如果采用对比变量，范氏方程是普适的。这个结论称为称为对应态定律对应态定律。*,mccmcVTptpvTpV*231833pvtv 液气流体系统临界态的平衡条件液气

23、流体系统临界态的平衡条件液气两相平衡时，两相具有相同的温度和压强。液气两相平衡时，两相具有相同的温度和压强。在接近临界点的等温线上，两相平衡时其摩尔体积是接近的。在接近临界点的等温线上，两相平衡时其摩尔体积是接近的。以以Vm和和Vm+Vm分别表示液相和气相的摩尔体积，两分别表示液相和气相的摩尔体积，两相压强相等可表为相压强相等可表为p(Vm,T) = p(Vm+Vm,T)上式右方按上式右方按Vm作泰勒展开，准确到二级有作泰勒展开，准确到二级有代回上式，全式再除以代回上式，全式再除以Vm ，可得，可得2221(, )(, )2mmmmmmmTTppp VVTp VTVVVV2202mmmTTVp

24、pVV当当T趋于临界温度趋于临界温度Tc时，时，Vm趋于零，由此可知在临界点趋于零，由此可知在临界点此式指出，处在临界点的液气流体系统不满足第此式指出，处在临界点的液气流体系统不满足第1节平衡节平衡稳定条件的第二式。稳定条件的第二式。将上式代入第将上式代入第1节中节中可知，若系统约束在临界温度可知，若系统约束在临界温度Tc上上(T=0)，熵函数的二阶，熵函数的二阶微分将为零，即微分将为零，即2Sm =0。为了分析液气流体系统临界态的平衡稳定性，将为了分析液气流体系统临界态的平衡稳定性，将Sm的展开扩展为的展开扩展为2341112!3!4!mmmmmSSSSS0mTpV22221VTCpSTVT

25、TV 对于等式右边的第三项对于等式右边的第三项由由可知，将可知，将系统约束在临界温度系统约束在临界温度Tc上有上有如果如果 ，系统的平衡稳定性将取决于在虚变动中，系统的平衡稳定性将取决于在虚变动中体积是膨胀还是缩小，这显然是不合理的。由此可以推断体积是膨胀还是缩小，这显然是不合理的。由此可以推断22,221V mmmmTCpSTVTTV 322mmmmmSSTSVTV23321mmmTpSVTV220mTpV220mTpV在在2Sm =0和和3Sm =0的情形下，类似地的情形下，类似地约束在临界温约束在临界温度度Tc上，有上，有平衡的稳定性要求平衡的稳定性要求4Sm 0，由此可知，由此可知由此

26、我们得到液气流体系统由此我们得到液气流体系统临界态的平衡稳定条件临界态的平衡稳定条件上式中第一式是临界态的特性决定的，不满足平衡稳定条上式中第一式是临界态的特性决定的，不满足平衡稳定条件的第二式，而第二、三式则是临界态具有平衡稳定性的件的第二式，而第二、三式则是临界态具有平衡稳定性的要求。要求。34431mmmTpSVTV330mTpV23230,0,0mmmTTTpppVVV3.6 液滴的形成液滴的形成3.7 相变的分类相变的分类1933年，爱伦费斯特试图对相变进行分类。年，爱伦费斯特试图对相变进行分类。如前所述，固相、液相和气相之间的转变存在如前所述，固相、液相和气相之间的转变存在相变潜相

27、变潜热热L=T(S(2)m-S(1)m)和和体积突变体积突变Vm=V(2)m-V(1)m，而且可能出，而且可能出现现亚稳态亚稳态。由化学势的全微分由化学势的全微分d= - SmdT + Vmdp可知可知爱氏将前类相变概括为在爱氏将前类相变概括为在相变点相变点两相的两相的化学势连续化学势连续，但化，但化学势的学势的一级偏导数存在突变一级偏导数存在突变，即，即,mmSVTp 称为称为一级相变。一级相变。 121212( , )( , ),T pT pTTpp如果在相变点两相的如果在相变点两相的化学势化学势和化学势的和化学势的一级偏导数连一级偏导数连续续，但化学势的，但化学势的二级偏导数二级偏导数存在存在突变突变，称为，称为二级相变二级相变。因为因为所以二级相变没有所以二级相变没有相变潜热相变潜热和和体积突变体积突变，但是，但是定压热容定压热容、定压膨胀系数定压膨胀系数和和等温压缩系数等温压缩系数存在突变。存在突变。2,2222,11,11,mp mpmpmmmTmmTSCTTTTVVTVT pV