求递推数列通项的特征根法与不动点法_第1页
求递推数列通项的特征根法与不动点法_第2页
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文档简介

1、求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如an .2= pan 1 qan（p,q是常数）的数列形如am（,am2,an .2 = pan d qaU p, q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得 通项an，其特征方程为x px q若有二异根，则可令ac：-n c/- n（c!,c2是待定常数）若有二重根：=,则可令a（ci nc2）： n（Ci,C2是待定常数）再利用ai =mi,a2 =m）2,可求得sc?，进而求得a.例1 已知数列an满足印=2,a2 =3,an .2 =3an 1 -2an（n N*），求数列a.的通项a.解：其特征方程为x2 = 3x - 2，解得Xi = 1,

2、 X2 = 2，令a*二& 1n q2n ,G =i得 i,c-2-i2n例2.已知数列an满足ai刊耳=2,4an .2 =4an i-an（ nN*），求数列a.的通项a.解：其特征方程为4x2 =4x -I，解得x, =x2令 an 二 ci -iai = (ci c2)i由2iia2 - (ci 2c2) 2a.3n-22心形如an 2二引B的数列Can DAa + R*对于数列务2=经 B , am, n，N（A,B,C,D 是常数且 C=O,AD-BC = O ）Can +DAx + b其特征方程为x二，变形为Cx2 （D - A）x -B = 0Cx + D若有二异根，则可令 並

3、二 二c 归二（其中c是待定常数），代入ai,a2的值可 an 十PanP求得c值.这样数列a 是首项为吐1，公比为c的等比数列，于是这样可求得an.13 E Jai -P若有二重根：= ,则可令一1 c （其中c是待定常数），代入ai,a2的值an书an可求得C值.这样数列是首项为，公差为c的等差数列，于是这样可求得an . _G Jan -a此方法又称不动点法.例3.已知数列an满足ai =2,an二an2 （n _ 2），求数列a.的通项a.2务/1解：其特征方程为x =x 2an -1 二 can 14由 a1 = 2,得 a?：5fa d数列亚匕是以an +1 J1可得c = -丄，3片3为首项，以1-3为公比的等比数列,an -1 an 1nJ冇，化简得2x2 -2。解得X1“X2-，令an3n (-1)n例4.已知数列an满足印=2,a著），求数列的通项an解:其特征方程为X二2，即4x2 4x 0，解得N = x2 = ，令4x 61a .-1 亠2+ ca an 2由 ai = 2,得 a23，求得 c = 1

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