最全圆锥曲线知识点总结,推荐文档

1、PF1PF22a F1F2 ),这PFi |PF2FiF2，则PF2F1F2， 则动点P的轨迹为线段F1F2 ；(1)椭圆：焦点在x轴上时为参数)，焦点在y轴上时a2y2 ab2 c2)acos(参数方程，其中0 )。a b 0)为例):范围:x a, b y b :焦点:两条对称轴 x0,y 0，一个对称中心(0,0 )，四个顶点a2b21中，以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=-聖 a y。高中数学椭圆的知识总结1. 椭圆的定义：平面内一个动点 P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(个动点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距注意：若PF1动点P的轨

2、迹无图形.2当 1( a2b2x22 = 1 ( a b b22. 椭圆的几何性质：2 2(1) 椭圆(以笃与a b两个焦点(c,0);对称性:(a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b ；离心率：e -，椭圆 0 e 1 , e a越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。2 2(2) .点与椭圆的位置关系：点P(x0, y0)在椭圆外第罄 1 ;a b2222点P(x,y)在椭圆上笃 乌=1;点P(x,y)在椭圆内卑卑1a ba b3 直线与圆锥曲线的位置关系 ：(1) 相交：0直线与椭圆相交；(2)相切： 0直线与椭圆相切；(3) 相离：0直线与椭圆相离；2 2如：直线y kx 仁

3、0与椭圆 匚 1恒有公共点，贝U m的取值范围是 ；5 m4. 焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)5. 弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB = J1 k2 |x X2，若y1, y分别为A、B的纵坐标，则|AB = J 厶血 y?，若弦 kAB所在直线方程设为 x ky b，则AB =1 k2 % y。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆22如(1)如果椭圆-1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；3692 2x y(2) 已知直线y= x+1与椭圆

4、21(a b 0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在a b直线L : x 2y=0上，则此椭圆的离心率为 ；2 2(3) 试确定m的取值范围，使得椭圆 A 二 1上有不同的两点关于直线 y 4x m对称;43特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 !椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a, b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形

5、式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:2 2 2(a b 0), (a c 0)，且(a b c )。可借助右图理解记忆：a, b, c恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a是斜边，b、c为两条直角边。3 如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程Ax2 By2 C(A, B,C均不为零

6、)是表示椭圆的条件2方程Ax2 By2 C可化为AxCBy2C21，即xCBCx所以只有A、B、C同号，ABC cc c且a b时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在yA BA B轴上。5 求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异1题型6:三角代换的应用2 2共焦点，则c相同。与椭圆笃a2占1(a b 0)共焦点的椭圆方程可设为a

7、2 m2y2b m1 (m2b )，此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成 x、 y，方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 ( P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦1定理(或勾股定理)、三角形面积公式S pf1f2 - PFi PF2 sin F1PF2相结合的1 2 2方法进行计算解题。x2y222例3已知P为

8、椭圆1上的一点，M , N分别为圆(x 3)2 y2 1和圆25167(x 3)2 y2 4上的点，贝U PM PN的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)经过两点 AG 3, 2),B( 2. 3,1);22经过点(2，- 3)且与椭圆9x 4y36具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4、2 - 4.题型3:求椭圆的离心率例1、ABC中， A 30, AB 2, Svabc3,若以A,B为焦点的椭圆经过点 C，则椭圆的离心率为例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 F1PF2为等

9、腰直角三角形，则椭将有关线段 PF1、PF2、卩店2，有关角 F1PF2 ( F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF1 |PF2、|PF1 PF2 之间的关系9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?c长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e -(0 e 1)，因为ac2 r b2，* c o,用a、b 表示为e 1(a)2(oe 1)例1.已知实数x, y满足2x2y1，则 x22yx的范围为42例2.已知点代B是椭圆2x2 my2n1 ( m0,nuuu0)上两点，且AOuurBO ,则=题型5:焦点三角形问题例1.已知F1,F2为椭圆-2 x21的两个焦点，p为椭圆上的一点，已

10、知P, F1, F2为个直角三94圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)角形的三个顶点，且 PF1PF,求啤的值.显然：当b越小时，e(0a椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用e 1)越大，椭圆形状越扁；当-越大,ae(0 e 1)越小,PF2例1已知F1,F为椭圆2x252 2例2.已知F1, F2为椭圆C： 匚841的两个焦点，在C上满足PF1PF2的点的个数为F2A FB 12,则 AB 1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B两点若1例3.已知椭圆的焦点是 斤(0, 1),F2(0,1),且离心率e - 求椭圆的方程； 设点P在椭圆2上，且 PF1PF

11、21,求 cos F1PF2.例2如果方程x2 ky22表示焦点在x轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 7X2 V2例1.椭圆-七1上的点到直线l:x V 90的距离的最小值为3.椭圆36七1的一条弦被A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是 4.若F1, F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 若 PF1F2PF2F1F1PF21： 2 : 3，则此椭例2椭圆2X161的内接矩形的面积的最大值为 圆的离心率为题型7:直线与椭圆的位置关系的判断5.在平面直角坐标系中，椭圆2 x -2 a2爲 1（a b 0）的焦距为2c,以O为圆心，a为半径的圆, b例1当m为何值时，直线 yx m与椭圆16

12、1相交？相切？相离?2过点（皂,0）作圆的两切线互相垂直，则离心率e= c 例2若直线v kx 1（k2R）与椭圆21恒有公共点，求实数 m的取值范围;m双曲线题型8:弦长问题基本知识点例1求直线V2x4被椭圆4x-91所截得的弦长2例2已知椭圆v2 1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（ 0, -2）及F1的直线交椭圆于 A,B2两点，求ABF2的面积； 题型9:中点弦问题2 2例1.求以椭圆 1内的点A （2, -1 ）为中点的弦所在的直线方程。85例2中心在原点，一个焦点为F,（0,、50）的椭圆截直线V 3x 2所得弦的中点横坐标为 1 ,求椭圆的方程.例3.椭圆mx2 ny2 1与

13、直线x y 1相交于A、B两点，点C是AB的中点.若AB 22（O为原点），求椭圆的方程.巩固训练1如图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且则椭圆的离心率为 双曲线定义范围对称轴标准方程（焦点在x轴）2 2x2 V21（a 0,b 0）a b标准方程（焦点在 y轴）22V2 x2 1（a 0,b 0） a b定义：平面内与两个定点 F1 , F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MFj |MF22a 2a F1F2xNr yyF2/Px / 、F1xx轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b2x 2

14、、2.设F1, F2为椭圆y 1的两焦点，P在椭圆上，当4uur uuuF1PF2面积为1时，PF1 PF2的值为对称中心原点0（0,0）焦点坐标F1（ c,0） F2（c,0）F1（0, c）F2（0,c）焦点在实轴上，cJa2 b2焦距：|F1F22c顶点坐标（a,0)( a,0)(0,a,)(0 ，a)离心率e1)a V a渐近线bayxyxab方程共渐近线2222x厶 k（ k 0）y_x2 k ( k 0)的双曲线2 ab厶2 ab2系方程2 2双曲线x2y21与直线ykxb的位置关系：ab2 2直线和双利用X12 . 2 a b转化为一元二1次方程用判别式确定。曲线的位y kx b

15、置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长AB山k2 J(XX2)24x(x2A.x工1B.x工191692 222C.xy、1(y 3)D.xy1(y 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点； =0，直线I与抛物线相切，一个切点； v 0，直线I与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 I : y kx b 抛物线 c：y22px，(p o)联立方程法：y kx b 2 222k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为 A(xi,yj, B(X2,y2)，则有 0,以及Xi X2M1X2，还可进一步求出y y2 kx1 b kx2 b k(x1 x2) 2byi y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x-i x2) b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如(1)相交弦AB的弦长AB V1 kx1 x2 寸 1 k.1 (x1 x2)2 4x1x2 J1 k21或 AB|屮討力y2y2)24%y2.1(2).中点 M(x0,y0), X。y。点差法:设交点坐标为A(Xi，yJ , BXy)，代入抛物线方程，得2 2y 2pxiy2 2px2将两式相减，可得(