高等数学同济大学 常数项级数的审敛法(一)

1、第二节第二节正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法( (一一) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数1nnu收敛部分和部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛,

2、 ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvunvvv 21 小发大发小发大发 大收小收大收小收机动 目录 上页 下页 返回 结束 nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 机动 目录 上页 下页

3、 返回 结束 解解, 1 p设设,11nnp .级级数数发发散散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211机动 目录 上页 下页 返回 结束 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明,11)1(1 nnn,

4、111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发发散散级级数数小发则大发小发则大发定理定理3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明lvunnnlim由, 02 l 对于对

5、于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 1nnu为为正正项项级级数数, ,如如果果0lim lnunn ( (或或 nnnulim) ), ,则则级级数数 1nnu发发散散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn

6、例例4. 判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为为有有限限数数时时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)

7、(1Nnuunn 即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnnmmNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,232)1(2nn

8、nnnvu 例例,2)1(211收收敛敛级级数数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 limn例例5. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)

9、!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn对任意给定的正数 ,limnnnu定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(1111

10、数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明级数11nnn收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较