高考数学直线与圆

1、第七章:直线与圆高 二(上)期末复习本章内容的地位： 本章内容是学生在初中掌握了平面直角坐标系，一次函数的图象及掌握了三角函数的基础上学习的，直线是简单的几何图形，是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，直线方程和圆的方程是学习圆锥曲线方程和其他知识的基础，在解决许多实际问题中有广泛的应用。学习重点：直线是解析几何的基础，直线的基本概念和公式都必须熟练掌握，如直线的倾斜角和斜率，直线方程的五种形式，两直线的位置关系，点线距离公式，交点与交角，求线性目标函数的最值问题，圆的方程都是本章的重点。数学思想：数形结合、化归思想、方程思想是本章解题的重要方法。复习要求：1、直线的倾斜角和斜率、直线方程各

2、形式、直线间的位置关系、两直线间所成的角、及点到直线的距离是高考命题的重点之一。2、了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。3、掌握平面直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的平面直角坐标系求曲线的方程，并化出方程所表示的曲线。知识要点：1、直线的倾斜角和斜率 当倾斜角 时当倾斜角为 时，直线的斜率不存在。（不是直线不存在）090tank090211212222111,),(),(xxxxyykyxPyxP其中斜率公式是的直线的经过点2、直线方程的几种形式（1）点斜式00 xxkyy)(1byax（2）斜截式（3）两点式（4）截距

3、式（5）一般式0CByAx121121xxxxyyyybkxy 0000CByAxCByAxP上在直线点(1)0(0000BCByAxCByAxP其中的上方在直线点(2)0(0000BCByAxCByAxP其中的下方在直线点(3)(4)2200000),(BACByAxdPCByAxyxP到直线的距离则外，在直线点3、点与直线的位置关系 （设 ）),(00yxP4、两直线的位置关系（1）、两直线交点的坐标是联立两直线方程组成的方程组的解。（2）、两条直线所成的角（到角与夹角的区别与联系 ）)2(1tan2112211221时都存在且到角公式：kkkkkk2112211tankkkk夹角公式：（

4、3）、两条直线 平行与垂直的条件:21, ll1,;,212121212121kkllkkllkklla垂直平行或重合都存在时：的斜率）当（)0(00,0:0:1221122112212122221111CBCBCACABABAllCyBxAlCyBxAlb或且平行则，）若（0,212121BBAAll垂直（4）、直线系：;00MByAxCByAxa直线系是平行的）与（;00MAyBxCByAxb直线系是垂直的）与（)(00:, 0:)222211122221111lRCyBxACyBxACyBxAlCyBxAlc注：此直线系不包含，）（直线系是交点的过（5、简单的线性规划（1）二元一次不等式

5、表示平面区域：任何一个二元一次不等式在平面直角坐标系内都表示一个半平面，其边界是直线Ax+By+C=0。(2)线性规划的图解法的步骤：A、求可行解-即可行域。B、作出目标函数的等值线。C、求出最终结果。6、曲线和方程（1）、曲线和方程的定义。 （2）、求曲线的方程，一般有以下几个步骤： a、建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；b 写出适合条件P的点M的集合P=M P(M);c 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0；d 化方程为最简形式；e 证明以上化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。7、圆（1）圆的方程：;)()(222rbxax标准形式：) 04( 0

6、2222FEDFEyDxyx一般形式：220202222200)()(:)0()()(),(rbyaxPFEyDxyxrbyaxyxP在圆内点的位置关系或与圆判断点（2）0002020FEyDxyx22020)()(rbyaxP在圆上点0002020FEyDxyx22020)()(rbyaxP在圆外点0002020FEyDxyx（3）、圆与直线位置关系的判定：:0)()(22020种的位置关系的方法有两与直线判定圆cbyaxRyyxx02CBxAx(2)、代数法： 从方程组： 中消去变量y(或x)得关于x(或y)的二次方程 (或 )考察根的判别式的情况，容易得到以下结论：22020)()(Ry

7、yxx0cbyax02CByAy(1)、几何法： 比较圆心 到直线 的距离d和圆半径R的大小;),(00yxC0cbyax0相交Rd0相离Rd0相切Rd（4）、圆与圆的位置关系与圆系方程：(1)、圆与圆的位置关系一般可利用几何法即： 两圆的圆心距与两圆的半径之差的大小来判断。0)()(21221221FFyEExDD0:222222FYEXDYXC0:111221FYEXDYXC（2）、若两圆 和圆 相交与两点A、B,则直线AB所在直线方程为 )(11122FYEXDYX) 1(0)(22222FYEXDYX过A,B的圆系方程为： （此圆系方程不包含 ,含 ）2C1C典型例题解析与 规律、方法

8、、技巧总结l例1、直线 过相异两点 和 则 倾角范围l)cos,(sin2A)1 ,0(B例2、直线 的倾角是2tanxy),2(sinsincos12K11K,434, 0(解：）不同（0sin ,BA解：设倾角为： 又 tantan),2()tan(tantan解： 11ba11ba或111baa200)32(或aaaa 解：答案：D例4、两直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0互相垂直则a=？例5、已知直线 ,直线 则直线 与 ( )(A)通过平移可以重和 (B)不可能垂直 (C)可能与X轴围成等腰直角三角形 (D)通过 绕上某一点可以重合1lsin:1xylcxyl 2

9、:21l2l例3、两直线ax+y+b=0与x+ay-1=0互相平行的条件是例6、某企业生产A,B两种产品，生产一吨产品所需要的煤、电和利润如下表： 产 品 所需能源 利润（万元） 煤（吨） 电（千瓦） A 6 6 9 B 4 9 12又知两种产品的生产量均不少于10吨，该企业每天用电不超过360千瓦，用煤不超过240吨，问生产这两种产品各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润是多少？解：设每天生产A产品x吨,B产品y吨,总利润Z万元。则36096240461010yxyxyx(1)目标函数为yxZ129 （2）作出不等式组（1）表示的可行域如图，（2）表示斜率为 纵截距为 的平行直线系。由图知当

10、（2）经过点P时直线的纵截距最大。12Z43yOx20204040P由 6x+4y=240 得P(24,24).即当x=24,y=24时,Zmax=504 6x+9y=360答：每天生产A,B两种产品各24吨时总利润最大为504万元.例7、设圆满足（1）截Y轴所得弦长为2，(2)被X轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 的距离最小的圆的方程。（97理高考）02:yxl方法一：三角换元。解：设动圆圆心为（a,b），半径为r，则由题意： 消去r得 。下面考虑圆心(a,b)到直线 的距离 的最小值，分三种方法求最值均可：rbar2122且1222ab02:

11、yxl52bad方法二：判别式法。方法三：利用几何性质求得圆方程为：21-1-2) 1() 1(2222）（）或（yxyx8、9两题表面上看是代数问题，但若用代数思想求很麻烦，通过对方程的仔细观察不难联想到用几何方法解决问题，数形结合解之简单明了。例8、使方程 有实数解则m取值范围？0162mxx例9、如果实数x,y满足 求 的最大值; 的最大值 ?01422yxx22yx xy解:方程有实数解等价于两曲线有交点,由图可知M取值范围为：mxyxy,162)244(m解:实数x,y满足的方程即为圆心(2,0)半径 的圆,所求即为圆上一点到坐标原点的距离的最大值及圆上一点与坐标原点所在直线的斜率的

12、最大值.分别为33, 32DPABOCxy例10、如图已知点A(-1,0)与点B(1,0)，C是圆 上 的动点，连接BC并延长至D，使 CD = BC ，试求 直线AC与OD的交点P的轨迹方程。122yx解法1：设动点P(x,y) C(cos ,sin ),sin 0,cos +1,-1由于C是DB的中点，则D的坐标为（2cos -1,2sin ）可得直线AC方程为： （1）， 直线OD方程为： （2）,而P(x,y)是两直线的交点，均满足两式，联立方程组（1）（2）可求得：消去 ，即得 （3）注意到当 时,直线AC为 或 与直线OD(即y轴）的交点都适合方程（3），并注意到 ，故方程（3）中

13、 轨迹方程为：)1(1cossinxyxy1cos2sin2)21(cos23sin,231cosyx94)31(22yx21cos)1(33xy)1(33xy0sin0y94)31(22yx0y说明：（1）求轨迹的方法有参数法、坐标转移法、交轨法、几何法等。（2）解法1为交轨法，在求直线与直线的交点轨迹时，通过设参数连立直线方程组达到削去参数的目的，具有一般性。（3）解析几何的轨迹问题有的本身就是几何问题，利用几何特征解题是较快捷的方法，如解法2，并且解法2同时利用了坐标转移法。（4）求轨迹时必须说明它的适用范围或限制，这是完备性的体现。解法2：可观察到点P是三角形ABD的重心，故连接AD，

14、设动点C( )则得D( )，由重心坐标公式有 即： 代入圆的方程即得轨迹方程。 002, 12yx 00, yx3231200yyxx)0(23213000yyyxx巩 固 练 习(A)(B)(C)(D)练习1、方程 表示的曲线图形是 11-1xyo1-1xy1xyoo11-1xy0122xxy答案C解：过圆内点P所做三条弦中过圆心的弦最长，点P成为中点的弦最短,则可求公比的最大值，最小值从而确定公比的取值范围为D.练习2、过圆内一点做三条互不重合的弦，若三条弦长度成等比数列则其公比的取值范围（A） (B) (C) (D)52, 11 ,5225, 11 ,5252,54325,52分析与解：由于不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。因此应选B练习3、在直角坐标平面内，满足不等式 的点（x,y）的集合是（ ）的阴影部分。(A)(B)(C)(D)022 yx练习4、如图已知圆 和直线 交于P,Q两点，若OP OQ (O是原点)，求m的值。xOyPQ0622myxyx032 yx解：由方程组：消x得 ，并设直线与圆的交点坐标为P(X1,Y1),Q(X2,Y2),则有：Y1 + Y2 =4， Y1 Y2 = ,且 0即m3时，可得a=4,b=0,r=2所以圆的方程为： （2）当a3时，