【数学】高考真题福建卷(理)解析版1

1、普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第i卷（选择题共50分）一.选择题1 .已知复数z的共筑复数z = l + 2i （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）a.第一象限 b.第二象限c.第三象限d.第四象限【答案】d【解析】z的共规复数）= l + 2i,则z = l 2i,对应点的坐标为（1,一2）,故答案为d.2 .已知集合9 = 1,可，8 = 1,2,3,则“ =3”是“美胃夕的（）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】a = 3 = a73, aq8 = a = 2,或3.所以是充分不必要条

2、件.v-3.双曲线-），2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）4【答案】c22【解析】 一丁2=1的顶点坐标为（2,0）,渐近线为一）3=。，即x2y = 0.带入 44点到直线距离公式d = % + &+c| =|_： 2叵7 a52jl2 + （2）254 .某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：40.50）, 50,60）, 60,70）, 70,80）, 80,90）, 90,100）加以统计,得到如图所示的频率分布直方图，已 知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩很多于60分的学生人数为（）a. 588b. 480c. 450d. 120【答

3、案】b【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道p = (0.03 + 0.025 + 0.015 + 0.01)*10 = 0.8故分数在60以上的人数为600*0. 8=480人.5 .满足。力一1,0,1,2,且关于x的方程0+2工+。= 0有实数解的有序数对(4,5)的个数为()a. 14b. 13c. 12d. 10【答案】b【解析】方程以2+2工+ = 0有实数解，分析讨论当。=0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解.此时能够取4个值.故有4种有 序数对当4w0时，需要 = 4一4人之0,即出?1.显然有3个实数对不满足题意,分别为(1,2), (2,1),

4、(2,2).(a,/?)共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13.6 .阅读如图所示的程序框图，若输入的k = 10,则该算法的功能是()a.计算数列2的前10项和 b.计算数列2i的前9项和c.计算数列21的前10项和 d.计算数列2”1的前9项和【解析】第一循环：5 = 1/= 2,，10第二条：5=3/ = 3/10第三条：5=7/ = 4/1o,输出 s.根据选项，s=一),故为数列2m的前10项和.故答案a.1-27 .在四边形abcd中，ac = (1,2),丽= (-4,2),则四边形的面积为(b. 2y/5c. 5d. 10【答案】c【解析】由题意，容易得到ac_l3

5、。.设对角线交于o点，则四边形面积等于四个三角 形面积之和即 s= ，(a0*00 + 40*80 + c0*00 + c0*bo) = 1(|aq*|80|).容易算出22ac = y/59bd = 2y/5 ,则算出 s=5.故答案 c 8,设函数/(x)的定义域为r,是/(x)的极大值点，以下结论一定准确的是( )a. vx e/?,/(x) f (x0)b. 一% 是 f (-x)的极小值点c. 一看是一/(x)的极小值点d. 一%是一/(一幻的极小值点【答案】d【解析】a. vxe/?,/ /(x0),错误.(改)0)是/*)的极大值点，并不是最大值 点.b. -%是/(_%)的极小

6、值点错误 /(-x)相当于/(x)关于y轴的对称图像，故-应是/(-幻的极大值点c. 7。是一/(幻的极小值点.错误-/(乃相当于。(x)关于x轴的对称图像,故相应是/(x)的极小值点.跟没相关系.d. 一凡是一/(一幻的极小值点.准确.一/(x)相当于/ 先关于y釉的对象，再关于x 轴的对称图像.故d准确9 .已知等比数列七的公比为q,记”=%皿川+品5.|).2+ 4-，3 =“w品1)+2 qst)+的几 w n),则以下结论一定准确的是(a.数列4为等差数列，公差为/b.数列4为等比数列，公比为c.数列c“为等比数列，公比为d.数列cj为等比数列,公比为”【答案】c【解析】等比数列”的

7、公比为q*同理可得a=2=4 %”+2, al=4=%&玛，g = %川限，q=2 归，;c22 = q q 数列mj为等比数列，.q = % 限小=%，= q2， = /故选 cq /“ /10 .设s, t,是r的两个非空子集，如果存有一个从s到t的函数y = /(x)满足:(i)t = /(x)lxes;()对任意如占es,当再 时，恒有/(司) f(x2),那么称这两个集合“保序同构以下集合对不是“保序同构”的是()a. a = n*,b = nb. a = x- x3,b = xlx = -8c0x 10c. a = x0x.b = rd. a = z,b = q【答案】d【解析】根

8、据题意可知，令/(x) = x 1,则a选项准确：令/(x) = , 2 a + 2(-10”发生的概率为2【答案】二3111一5 2(解析-3a-l0.a-刊产生01之间的均匀随机数,a (一, 1),p =、=-331312 .已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是【答案】12万【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，/? j： = - x =下s= 4/rr，= 12灯13 .如图 aabc 中，已知点 d 在 bc 边上,ad j_ ac, sin abac = tr,

9、 ab = 3企.ad = 3 3则bd的长为【答案】6r a7._ / sin abac = sin(n8a + ) = cos z.bad =二 【解析】234. a r)2 o r2根据余弦定理可得cos nba。=2abao.退二随辛里,bd=632x3/2x314 .椭圆：、+厂=1(。0)的左.右焦点分别为，a，焦距为2c,若直线 cry = /3(a +c)与椭圆f的一个交点m满足zmf1f2 =,则该椭圆的离心率等于【答案】小-1【解析】由直线方程y = jj(x + c)=直线与x轴的夹角乙町凡=二或2，且过点 - 33r(-c,0)zmff2 =2zmf2f即fm f2m.

10、在rtarm巴中，g=2c,4m=c,gm=j5c.由椭圆的第一定义可得2.=c +. =15 .当xerjrci时，有如下表达式： + x + x2 +. + x9t +. =.1 17111i1两边同时积分得：xdx+ x2dx + .+ fxndx + .= dx.jo jo jojojo l.x从而得到如下等式：lxl + lxd)2+lxd)3+. + _lx(1)u+. = ln2. 22232 + 12请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：c：x j + ；c、g)2+!c：x(；)3+.+ jc：x(；)2 =13【答案】-(-)；，+，-1 +1 2【解析】由 c；i +

11、 c + c2+. + c；r + =(1 + x)n 两边同时积分得：g&1去 + f cnxdx+c/dx+.+f c/仇+二 j： (1+x)ndx.从而得到如下等式：c，x-+-cx（-）2+-cx（-）3+.+c x（-）/,+1=上户严-1三.解答题16.（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲.乙两种抽奖方案，方22案甲的中奖率为士，中将能够获得2分；方案乙的中奖率为士，中将能够得3分：未 35中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后 凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案中抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x,y,求

12、x43的概率；（2）若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙实行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型.离散型随机变量的分布列.数学期望等基础知识，考查数据处理水平.运算求解能力.应用意识，考查必然和或然思想，满分13分.22解：（i ）由已知得：小明中奖的概率为一，小红中奖的概率为二，两人中奖与否互不影响, 35记“这2人的累计得分x k 3”的事件为a,则a事件的对立事件为“x = 5”,2 2 p(x=5) = -x- =3 5411：.p(a) = -p(x=5) = 这两人的累计得分x k3的概率为u .1(ii)设小明.小红都选择方案甲抽奖中

13、奖的次数为xi,都选择方案乙抽奖中奖的次数为x,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为e(2xj,选择方案乙抽奖累计得分 的数学期望为e(3x。22由已知：xi8(2,), x?8(2,一).e(x1) = 2x| = , e(x,) = 2x| = q1 ?/.e(2x,) = 2(x,) = -. e(3x2) = 3e(x2) = yv (2x,)e(3x2)他们都在选择方案中实行抽奖时，累计得分的数学期望最大.17.(本小题满分13分)已知函数/(x) = x lnx(ea)(1)当 =2时，求曲线y = /(x)在点a(1j)处的切线方程；(2)求函数/*)的极值.本小题主要考查

14、函数.函数的导数.不等式等基础知识，考查运算求解水平，考查函数与方 程思想.分类与整合思想，数形结合思想.化归与转化思想.满分13分.解:函数f(x)的定义域为域,+8),=x2 (【)当 =2时，f(x) = x-21nx f m = 1(x0),x. y = f(x)在点 a(l,/(1)处的切线方程为 y-l = -cv-1),即 x + y - 2 = 0 .(ii)由/(x) = l-色2,x0可知:x x当4 ko时，ffm 0 ,函数/(x)为(0,+8)上的增函数，函数/(x)无极值：当a 0时，由fx) = 0 ,解得x = a t.x(0,a)时，fm 0./*)在x =

15、a处取得极小值，且极小值为/()= 一。in。，无极大值.综上：当 0时，函数/(1)在x = a处取得极小值一in,无极大值.18.(本小题满分13分)如图，在正方形。43c中，。为坐标原点，点4的坐标为(10,0), 点。的坐标为(00).分别将线段0a和a3十等分，分点分别记为4,4和 九%.),连结。与，过a,做x轴的垂线与6交于点(屹”,1k9).(1)求证：点片。%.,14，49)都在同一条抛物线上，并求该抛物线e的方程：(2)过点c做直线/与抛物线石交于不同的两点”,n,若aocm与a0cn的面积比为 4:1,求直线/的方程.本小题主要考查抛物线的性质.直线与抛物线的位置关系等基

16、础知识，考查运算求解水平.推 理论证水平，考查化归与转化思想，数形结合思想.函数与方程思想.满分13分.解：(i )依题意，过4。.,14，49)且与乂轴垂直的直线方程为1=，5(10), .直线obj的方程为y =x = ii设c坐标为(x,y),由 i得：y = x2,即/ = ioy,y = x10l io/(ze/v;l/ 0 ,直线/与抛物线e恒有两个不同的交点m,n设:me*?,%），+ x2 = ok$ x2 = -100= 4sjv.图=4国又& v o，x=yw分别带入y = kx + 0x2 = loy3 解得k=23直线/的方程为y = 土二x+10,即3文一2），+ 2

17、0 = 0或3工+2），-20 = 0 219.（本小题满分13分）如图，在四棱柱abc。481gr中，恻棱aa，底面a3co,ab / /dc * aa1 = 1 ab = 3k. ad = 4k bc = 5k , dc = 6k （k 0）.（1）求证：cq_l平面aora；（2）若直线明与平面”。所成角的正弦值为与，求k的值；（3）现将与四棱柱a8co-4与ga形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱 柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.问： 共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为/伙），写出/伏）的表达式（直接写出

18、答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线.直线与平面的位置关系.柱体的概念及表面积等基础知识，考 查空间想象水平.推理论证水平.运算求解水平，考查数形结合思想.分类与整合思想.化 归与转化思想，满分13分.解：（i ）取中点e，连接beab iide, ab = de = 3k-四边形abed为平行四边形.be/ad 且 be = ad = 4k 在abce中，be = 4k,ce = 3k,bc = 5k4,b. be2 + ce2 = bc2./bec = 90。,即 be lcd，又：be/ad，所以 cq_laoa4，平面48cq, cqu平面a3cq，aa cd,又 aa fl

19、 ad = a ,。，平面力。24（id以。为原点，反，反，函的方向为x，fz轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 4（4攵,0,0）,。（0,6太0）, bi（4k,3k4 4（42,0,1）所以尼=（t攵,64,0）,福=（0,3%,1）,丽= （0,0,1）g “ =0 =0,1-4履 + 66 = 0,得（取 y = 2 ,得 ” =（3,2, 6攵）3竹 + z =。设a4与平面a8c所成角为。，则sinetcosaa）l=iaaji，=7=竺_： = -，解得k = l.故所求k的值为1,36+13 7（iii）共有4种不同的方案72k2 + 26k,0k 1820.（本小题满分

20、14分）已知函数/（x） = sin（的十 ）（幻0,00,得刃=2又曲线y = f(x)的一个对称中心为(c,o),夕(0,外4故/(2)= sin(2x2 + ) = 0 ,得平=土,所以/(x) = cos2x442将函数/(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y = cosx的图象，再将y = cosx的图象向右平移;个单位长度后得到函数g(x) = sinx2(ii)当工(工，工)时，- sin x - , 0 cos 2x cos 2x sin xcos 2x问题转化为方程2cos2x = sinx+sin工cos2x在(二，马 内是否有解6 4设 g(x)

21、 = sinx + sinxcos2x_2cos2x， x e (,)6 4则 g(x) = cos x + cos x cos 2x4-2 sin 2x(2 sin x)因为三)，所以g(x)0, g(x)在(，巳)内单调递增6 46 4又g(为=v0, g(-) = 06442且函数g(x)的图象连续持续，故可知函数g(x)在(二,)内存有唯一零点小,6 4即存有唯一的/ e(-,-)满足题意6 4(3)求实数a与正整数,使得尸(x) = /(x)+ag(x)在(0,%)内恰有2013个零点.(iii)依题意,f(x) = a sin x + cos 2x .令尸(x) =asinx+8s

22、 2x = 0当sinx = 0,即工=女乃(zwz)时，cos2x = l,从而x =ez)不是方程/(x) = 0的解，所以方程/(x) = 0等价于关于x的方程a=一:上，x*k冗* ez)sinx现研究x e (0,4)u (乃,24)时方程解的情况ccs 7 x令（x） = , x（0,/f）u（4,24） sinx则问题转化为研究直线y = 与曲线y = h（x）在x w （0,乃）u5,2不）的交点情况（x） = cosx（2si,nj + l）,令以刈=0,得户工或户?sin x22当x变化时，/?（x）和（x）变化情况如下表x(0,y)7t2百汗）3冗、 （）34t/3兀r（

23、f，2乃）h(x)+00+人（幻递增1递减递减-1递增当x0且x趋近于0时，万（x）趋向于8当x 乃且x趋近于tc时，hx趋向于一8当x乃且x趋近于；f时，（x）趋向于+8当x2万且x趋近于2乃时，（x）趋向于+8故当。1时，直线y = a与曲线y = （x）在（0,力内有无交点，在（乃,24）内有2个交点；当一1时，直线），= 与曲线y = /x）在（0,4）内有2个交点，在（乃,2笈）内无交点：当一 时，直线y = 与曲线），=万。）在（0,4）内有2个交点，在（4,2乃）内有2个交 点由函数h（x）的周期性，可知当a w 1时，直线y =。与曲线y = （x）在（0,乃）内总有偶数个交点

24、，从而不存有正整数，使得直线y = 与曲线），= /?）在（0,乃）内恰有2013个交点：当 =1时，直线y = a与曲线y = /?（x）在（0,4）u（/，2/r）内有3个交点，由周期性, 2013 = 3x671,所以 = 671x2 = 1342综上，当。=1, = 1342时，函数户（x） = /（x） + ag（x）在（0,%）内恰有2013个零点21.（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换-1 2已知直线/：ax+y = l在矩阵a= 0 对应的变换作用下变为直线/ ：x + y = l.（1）求实数的值:（2）若点（%,比）在直线/上，且ao,求点p的坐标.本小题主要考查矩阵.矩阵与变换等基础知识，考查运算求解水平.考查化归与转化思想.满 分7分.解：解：（i ）设直线/:a