【原创】几类不同增长的函数模型

1、3.2.1 几类不同增长几类不同增长的函数模型的函数模型讲讲 授授 新新 课课例例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回元，以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？方案一:每天回报40元， 方案二:第一天回报10元

2、,以后每天比前一天多回报10元， 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍，解解:设第x天所得回报是y元*40()yxN*10 ()yx xN)(24 . 0*1 -xNxy方案方案 一一方案方案 二二方案方案 三三y/元元增加量增加量y/元元增加量增加量y/元元增加量增加量140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4304

3、0030010214748364.8107374182.4每 天 的 回 报 数20406080100120246810Oyxy40y10 xy0.42x1 函数图象是分析问题的好帮函数图象是分析问题的好帮手手.为了便于观察，我们用虚线为了便于观察，我们用虚线连接离散的点连接离散的点. 我们看到，底我们看到，底为为2的指数函数模的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要快型增长速度要快得多得多.从中你对从中你对“指数爆炸指数爆炸”的的含义有什么新的含义有什么新的理解？理解？ 第一天到第x天的累计的回报数:结论: 投资16天,应选择方案一; 投资7天，应选择方案一或二应选择方案一或二；

4、 投资810天,应选择方案二； 投资11天(含11天)以上,选择方案三.例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到在销售利润达到10万元时，按销售利润进万元时，按销售利润进行奖励，且奖金行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，但奖金总数的增加而增加，但奖金总数不超过不超过5万元，同时奖金总数不超过利润万元，同时奖金总数不超过利润的的25%，现有三个奖励模型：，现有三个奖励模型： y0.25x， ylog7x1， y1

5、.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？分析：分析：奖励模型应符合公司要求：奖励模型应符合公司要求： （1）奖金总数不超过）奖金总数不超过5万元，万元， （2）奖金不超过利润的）奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为1000万元，所以万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个上，检验三个模型是否符合公司要求即可模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体

6、计算，的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果确认结果.81234567200400600800 1000y0.25xylog7x1y1.002xOyxy5图象图象满足奖金总满足奖金总数不超过数不超过5万万 首先计算哪个模型的奖金总数不超过首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万万. 对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10, 1000上递上递增，而且当增，而且当x20时，时，y5，因此，当，因此，当x20时，时，y5，所以该模型不符合要求，所以该模型不符合要求； 对于模型对于模型y1.002x，由函数图象，利用计算，由函数图象，利用计算器，可知在区间器，可知在区间(805, 8

7、06) 内有一个点内有一个点x0满足满足1.002x5，由于它在区间，由于它在区间10,1000递增，因此当递增，因此当xx0时，时，y5，所以该模型也不符合要求，所以该模型也不符合要求； 对于模型对于模型ylog7x1,它在区间它在区间10,1000 递递增，且当增，且当x1000时，时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求万元的要求. 解：解： 再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有 25. 01log7 xxxy令令f(x

8、)log7x10.25x，x10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的，因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x.所以当所以当x10,1000时，时， 25. 01log7 xx成立成立.模型模型ylog7x1奖励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%. 说明按说明按 综上所述，模型综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司确实能符合公司要求要求. 比较函数：比较函数：的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyOxy22xy xy2logxy22xy xy2log302

9、8262422201816141210864224xyO更大范围内更大范围内的图象的图象xy22xy 你能分别求出使你能分别求出使log2x2xx2,log2xx20)指数函数指数函数y=ax(a1)对数函数对数函数y=logax (a1)幂函数幂函数y=xn (n0)在在(0,+)上都是增函数上都是增函数.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异(1) 理解问题理解问题 (2) 假设变量假设变量(3) 建立函数模型建立函数模型 (4) 求解模型求解模型(5) 检验模型检验模型 (6) 评价与应用评价与应用2.中学数学建模的主要步骤中学数学建

10、模的主要步骤1.1.数学模型数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学问题时，所得出的关于实际问题的数学描述描述. 1. 下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( ) A. 函数函数y2x在在(0，)上是增函数上是增函数 B. 函数函数yx2在在(0，)上是增函数上是增函数C. 存在存在x0，当，当xx0时，时，x22x恒成立恒成立 D. 存在存在x0，当，当xx0时，时，2xx2恒成立恒成立练习练习1. 下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( C ) A

11、. 函数函数y2x在在(0，)上是增函数上是增函数 B. 函数函数yx2在在(0，)上是增函数上是增函数C. 存在存在x0，当，当xx0时，时，x22x恒成立恒成立 D. 存在存在x0，当，当xx0时，时，2xx2恒成立恒成立练习练习2.比较函数比较函数yxn(n0)和和yax(a0)，下列说法正确的是下列说法正确的是 ( ) A. 函数函数yxn比比yax的增长速度快的增长速度快 B. 函数函数yxn比比yax的增长速度慢的增长速度慢C. 因因a, n没有大小确定没有大小确定, 故无法比较函数故无法比较函数 yxn与与yax的增长速度的增长速度D. 以上都不正确以上都不正确 练习练习2.比较

12、函数比较函数yxn(n0)和和yax(a0)，下列说法正确的是下列说法正确的是 ( B ) A. 函数函数yxn比比yax的增长速度快的增长速度快 B. 函数函数yxn比比yax的增长速度慢的增长速度慢C. 因因a, n没有大小确定没有大小确定, 故无法比较函数故无法比较函数 yxn与与yax的增长速度的增长速度D. 以上都不正确以上都不正确 练习练习3. 函数函数ylogax(a1)、ybx(b1)和和yxc(c0)中增长速度最快的是中增长速度最快的是( )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定无法确定练习练习3. 函数函数ylogax(a1)、

13、ybx(b1)和和yxc(c0)中增长速度最快的是中增长速度最快的是( B )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定无法确定练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.5432124xyOABC练习练习y2x5432124xyOABC练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图

14、象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.5432124xyOABC练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数 的图象的图象.y2xyx1.4y2xyx1.45432124xyOABCylnx练习练习4已知幂函数已知幂函数yx1.4、指数、指数y2x和对数和对数函数函数ylnx的图象的图象.如图，则如图，则A表示函数表示函数 的图象，的图象，B表示函数表示函数 .的图象，的图象，C表示函表示函数数