2021年北京市中考数学试卷

1、2021年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱2（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A0.16921012B1.6921012C1.6921011D16.9210103（2分）如图，点O在直线AB上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（）A30B40C50D604（2分）

2、下列多边形中，内角和最大的是（）ABCD5（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2B|a|bCa+b0Dba06（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）ABCD7（2分）已知4321849，4421936，4522025，4622116若n为整数且nn+1，则n的值为（）A43B44C45D468（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系

3、B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 10（2分）分解因式：5x25y2 11（2分）方程的解为 12（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k0）的图象经过点A（1，2）和点B（1，m），则m的值为 13（2分）如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点若P50，则AOB 14（2分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）15（2分）有甲、乙两组数据

4、，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“”，“”或“”）16（2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料若两条生产线都能在一

5、天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5分）计算：2sin60+|5|（+）018（5分）解不等式组：19（5分）已知a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值20（5分）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根

6、杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在ABC中，BA ，D是CA的中点，CADB（ ）（填推理的依据）直线DB表示的方向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向21（6分）已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20（1）求

7、证：该方程总有两个实数根；（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值22（6分）如图，在四边形ABCD中，ACBCAD90，点E在BC上，AEDC，EFAB，垂足为F（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分BAC，BE5，cosB，求BF和AD的长23（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数yx的图象向下平移1个单位长度得到（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x2时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值范围24（6分）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，ADBC于点E（1）求证：B

8、ADCAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC若O的半径为5，OE3，求GC和OF的长25（5分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6x8，8x10，10x12，12x14，14x16）：b甲城市邮政企业4月份收入的数据在10x12这一组的是：10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8c甲、乙两座城市邮政企业4月份

9、收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）26（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线yax2+bx（a0）上（1）若m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y

10、3）在该抛物线上若mn0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由27（7分）如图，在ABC中，ABAC，BAC，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE，DE（1）比较BAE与CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明28（7分）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦BC（B，C分别是B，C的对应点），则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”（1）如图，点A，B1，C1

11、，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数在线段B1C1，B2C2，B3C3中，O的以点A为中心的“关联线段”是 ；（2）ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t0若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在ABC中，AB1，AC2若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱【解答】解：圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，展开图

12、可得此几何体为圆柱故选：B2（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A0.16921012B1.6921012C1.6921011D16.921010【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.6921011故选：C3（2分）如图，点O在直线AB上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（）A30B40C50D60【解答】解：AOC+BOC180，AOC120，BOC18012060，又OCOD，

13、COD90，BODCODBOC906030，故选：A4（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）ABCD【解答】解：A三角形的内角和为180；B四边形的内角和为360；C五边形的内角和为：（52）180540；D六边形的内角和为：（62）180720；故选：D5（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2B|a|bCa+b0Dba0【解答】解：A由图象可得点A在2左侧，a2，A选项错误，不符合题意Ba到0的距离大于b到0的距离，|a|b，B选项正确，符合题意C|a|b，a0，ab，a+b0，C选项错误，不符合题意Dba，ba0，D选项错误，不符合题意故选：B6（

14、2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）ABCD【解答】解：画树形图得：由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，故选：C7（2分）已知4321849，4421936，4522025，4622116若n为整数且nn+1，则n的值为（）A43B44C45D46【解答】解：193620212025，4445，n44，故选：B8（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化

15、，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，2（x+y）10，x+y5，y5x，Sxyx（5x）x2+5x，矩形面积满足的函数关系为Sx2+5x，即满足二次函数关系，故选：A二、填空题(共16分，每题2分)9（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x7【解答】解：由题意得：x70，解得：x7，故答案为：x710（2分）分解因式：5x25y25（x+y）（xy）【解答】解：原式5（x2y2）5（x+y）（xy），故答案为：5（x+y）（xy）11（

16、2分）方程的解为 x3【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：2xx+3，解得x3，检验：x3时，x（x+3）0，方程的解为x3故答案为：x312（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k0）的图象经过点A（1，2）和点B（1，m），则m的值为 2【解答】解：反比例函数y（k0）的图象经过点A（1，2）和点B（1，m），m12，解得m2，即m的值为2故答案为213（2分）如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点若P50，则AOB130【解答】解：PA，PB是O的切线，A，B是切点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，OAP+AOB+OBP+P360，AOB36090905013

17、0故答案为13014（2分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 AEAF（写出一个即可）【解答】解：这个条件可以是AEAF，理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，即AFCE，AFEC，四边形ABCD是平行四边形，AEAF，四边形AECF是菱形，故答案为：AEAF15（2分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“”，“”或“”）【解答】解：（11+12+13+14+15）13，s甲2（1113）2+（1213）2+

18、（1313）2+（1413）2+（1513）22，（12+12+13+14+14）13，s乙2（1213）2+（1213）2+（1313）2+（1413）2+（1413）20.8，20.8，s甲2s乙2故答案为：16（2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 2：3第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料

19、后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 【解答】解：设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5x）吨，依题意可得：4x+12（5x）+3，解得：x2，分配到B生产线的吨数为523（吨），分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2：3；第二天开工时，给 生产线分配了（2+m）吨原材料，给 生产线分配了（3+n）吨原材料，加工时间相同，4（2+m）+12（3+n）+3，解得：mn，故答案为：2：3；三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第2

20、3题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5分）计算：2sin60+|5|（+）0【解答】解：原式2+2+51+2+513+418（5分）解不等式组：【解答】解：解不等式4x5x+1，得：x2，解不等式x，得：x4，则不等式组的解集为2x419（5分）已知a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值【解答】解：原式a22ab+b2+2ab+b2a2+2b2，a2+2b210，a2+2b21，原式120（5分）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿

21、着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在ABC中，BABC，D是CA的中点，CADB（ 三线合一）（填推理的依据）直线DB表示的方

22、向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向【解答】解：（1）如图，点D即为所求（2）在ABC中，BABC，D是CA的中点，CADB（三线合一），直线DB表示的方向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向故答案为：BC，三线合一21（6分）已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值【解答】（1）证明：a1，b4m，c3m2，b24ac（4m）2413m24m2无论m取何值时，4m20，即0，原方程总有两个实数根（2）解：x24mx+3m20，即（xm）（x3m）0，x1m，x23mm0，且该方程的两个实数根的

23、差为2，3mm2，m122（6分）如图，在四边形ABCD中，ACBCAD90，点E在BC上，AEDC，EFAB，垂足为F（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分BAC，BE5，cosB，求BF和AD的长【解答】（1）证明：ACBCAD90，ADCE，AEDC，四边形AECD是平行四边形；（2）解：EFAB，BFE90，cosB，BFBE54，EF3，AE平分BAC，EFAB，ACE90，ECEF3，由（1）得：四边形AECD是平行四边形，ADEC323（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数yx的图象向下平移1个单位长度得到（1）求这个一次函数的

24、解析式；（2）当x2时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）函数yx的图象向下平移1个单位长度得到yx1，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数yx的图象向下平移1个单位长度得到，这个一次函数的表达式为yx1（2）把x2代入yx1，求得y2，函数ymx（m0）与一次函数yx1的交点为（2，2），把点（2，2）代入ymx，求得m1，当x2时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数yx1的值，m124（6分）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，ADBC于点E（1）求证：BADCAD；（2）连接BO并延长，交A

25、C于点F，交O于点G，连接GC若O的半径为5，OE3，求GC和OF的长【解答】（1）证明：AD是O的直径，ADBC，BADCAD；（2）解：在RtBOE中，OB5，OE3，BE4，AD是O的直径，ADBC，BC2BE8，BG是O的直径，BCG90，GC6，ADBC，BCG90，AEGC，AFOCFG，即，解得：OF25（5分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6x8，8x

26、10，10x12，12x14，14x16）：b甲城市邮政企业4月份收入的数据在10x12这一组的是：10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8c甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的

27、总收入（直接写出结果）【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，因此中位数是10.1，即m10.1；（2）由题意得p15+3+412（家），由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，也就是p2的值要大于12，p1p2；（3）11.02002200（百万元），答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元26（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线yax2+bx（a0）上（1）若m3，n15

28、，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上若mn0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由【解答】解：（1）m3，n15，点（1，3），（3，15）在抛物线上，将（1，3），（3，15）代入yax2+bx得：，解得，yx2+2x（x+1）21，抛物线对称轴为直线x1，（2）yax2+bx（a0），抛物线开口向上且经过原点，当b0时，抛物线顶点为原点，x0时y随x增大而增大，nm0不满足题意，当b0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，nm0不满足题意，b0，抛物线对称轴在y轴右侧，x1时m0，m3时n0，抛物线对称轴在直线x0与直线x之间，即0，2（），（1），y1y2y327（7分）如图，在ABC中，ABAC，BAC，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE，DE（1）比较BAE与CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明【解答】解：（1）DAEBAC，DAEBADBACBAD，即BAECAD，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），BECD，M为BC的中点，BMCM，BE+MDBM；（2）如图，作EHAB交BC于H，由（1）ABEACD得：ABEACD，ACDABC，ABEABD，