高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)

1、2021/6/1612021/6/1622021/6/163 已知物体运动的位置函数已知物体运动的位置函数 s = s(t)，求时刻求时刻 t 的瞬时速度的瞬时速度 v = v(t)。 已知物体运动的速度函数已知物体运动的速度函数 v = v(t)求运动的位置函数求运动的位置函数 s = s(t)。 一般，已知函数一般，已知函数 f(x), 要找另一要找另一个函数个函数F(x), 使使 F (x) = f (x)。 2021/6/164已知已知 f (x)是一个定义在区间是一个定义在区间I上的函数，上的函数，,)()()()(xdxfxFdxfxF 或或则称则称 F (x) 为为 f (x)

2、在在 I 上的上的原函数原函数。如：如：,2)(2xx x 2 是是 2 x 的原函数的原函数;d sin x = cos x d x, sin x 是是 cos x 的原函数的原函数;, )()(tvts s (t) 是是 v (t) 的原函数。的原函数。如果存在函数如果存在函数F (x), 使在使在 I 内的任一点都有内的任一点都有2021/6/1651. 在什么条件下在什么条件下, f (x) 一定存在原函数一定存在原函数？ 若若 f (x) 在区间在区间I 上连续，上连续，则在则在 I 上必存在原函数。上必存在原函数。2. 如果如果 f (x) 有原函数，那么共有几个有原函数，那么共有

3、几个？设设F (x) 为为 f (x) 的原函数，则的原函数，则),()(xfxF 为为任任意意常常数数。且且CxfCxF),()( f (x) 如有原函数，就有无穷多个。如有原函数，就有无穷多个。2021/6/166F (x) + C 包含了包含了 f (x) 的所有原函数。的所有原函数。3. 如果如果 f (x) 有一个原函数有一个原函数 F (x) ,那么那么F (x) + C 是否包含了是否包含了 f (x) 的的所有原函数所有原函数？的的任任一一个个原原函函数数，是是设设)()(xfx )()(xfx 则则0)()( )()( xfxfxFx )()()(是常数是常数CCxFx Cx

4、Fx )()( 2021/6/167函数函数 f (x) 的全体原函数就称为的全体原函数就称为 f (x) 的的不定积分不定积分。 记作记作.)( xdxf其中其中 积分号积分号f (x) 被积函数被积函数f (x) d x 被积表被积表 达式达式x 积分变量积分变量例：例：,2)(2xx .22Cxxdx 若若F (x) 为为 f (x) 的一个原函数，则的一个原函数，则 .)()(CxFxdxf,sin)cos(xx .cossinCxxdx 2021/6/168 f (x) 的一个原函数的一个原函数F (x) 的图形称为的图形称为 f (x) 的一条的一条积分曲线积分曲线，方程为方程为

5、y = F (x) . CxFxdxf)()(则则就表示了一族积分曲线就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .它们相互平行，即它们相互平行，即在横坐标相同的点在横坐标相同的点处有相同的切线斜处有相同的切线斜率。率。xy0)(xFy x2021/6/169先积分后微分的作用相互抵消。先积分后微分的作用相互抵消。由不定积分的定义，由不定积分的定义， 的原函数，的原函数，是是)()(xfxdxf则有则有又又 xdxfxdxF)()(,)(CxF ,)(xdxfd xdxf)(或或 ,)(CxFd或或)(xF）（)()(xdFdxxF 先微分后积分的作用抵消后加任意常数先微分后积分的作用抵

6、消后加任意常数C。, )()(xfxdxf 2021/6/1610例：例： 求通过点求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。倍的一条曲线。解：解：设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = f (x) .由题意，曲线上点由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率的切线斜率,6xdxdy xdxy6,32Cx 为一簇积分曲线。为一簇积分曲线。. 132, 2|1 CCyx即即有有.132 xy所求曲线为：所求曲线为：2021/6/1611 注意：注意：).1(11 CxxdxCxxdxxxd ln1.)(1 xx 依基本导

7、数公式与不定积分的定义，依基本导数公式与不定积分的定义，即可得基本积分公式：即可得基本积分公式：请同学们参见教材第请同学们参见教材第186页页15个公式。个公式。2021/6/1612求下列不定积分：求下列不定积分：例例1.1.xdxx321 xdxx312 xdx 3538x 83.C 例例2.2.xdxxx 21xdxxdx 212321 x2 23x 32.C ).1(11 Cxxdx2021/6/1613 函数和的不定积分等于函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。各个函数的不定积分的和。 .)()()()( xdxgxdxfdxxgxf 被积函数中不为零的常被积函数中不为零的常数

8、因子可提到积分号外。数因子可提到积分号外。)0(.)()(为为常常数数 kxdxfkxdxfk2021/6/1614利用基本积分表和不定积分性质，可计算利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意一些简单函数的不定积分。注意3 3点：点：1 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。一个常数。2 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。看它的导数是否等于被积函数即可。3

9、 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的中的 x 可用其它变量可用其它变量 u 替代，公式仍正确。替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。的类型，然后再积分。2021/6/1615例例3.3.xdxex)sin3( xdxxdexsin3.cos3Cxex 例例4.4.xdxxx 2324xdx 234x4 .)23ln()23(Cx 掌握被积函数的恒等变形。掌握被积函数的恒等变形。.lnCaaxdaxx ,cossinCxxdx 2021/6/1616例例5.5.xdx 2co

10、txdx)1(csc2 xcot 同理，同理， xdx2tanxdx)1(sec2 .tanCxx 例例6.6.xdxx 22cossin1xdxxxx 2222cossincossin xdxx 22cscsecxtan 例例7.7.xdxx 2cos1cos12xdxx 22cos2cos1 xdx 1sec212 .tan21Cxx .cotCx .Cx 2021/6/1617例例8.8.xdxxx )1()1(22xdxxxxxx )1(2)1(1222xdxx 2121xln 例例9.9.xdxx 241( (假分式假分式= =多项式多项式+ +真分式真分式) )xdxx 24111

11、 xdxxxx2222111)1( )1(xx 331.arctanCx .arctan2Cx 2021/6/1618从理论上来讲，只需把积分结果从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至所以注重积分过程的正确性是至关重要的。关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到即每一步运算都要看能否还原到上一步。上一步。2021/6/1619习习 4 1（A）1（双）（双）习习 4 1（B）1（5，6，7，11），），2

12、2021/6/1620一、第一类换元法一、第一类换元法如如何何积积分分？ xdx2sin是是复复合合函函数数，xy2sin ( ( 凑微分法凑微分法 ) )1.1.凑常数凑常数例例1 1：)22(dxxd xdx2sin xdx2sin221(2x = u) udusin21Cu cos21.2cos21Cx 2021/6/1621例例2 2：xdex 534 )53(453 xdex3)53(xdxd udeu34)53(ux Ceu 34.3453Cex 例例3 3： 222xxxdxdx 2)1(11( +1)(x + 1 = u)udu 211Cu arctan.)1(arctanCx

13、 312021/6/1622例例4 4：)0(22 axaxd 211axxda( /a)a.arcsinCax 229xxxd如如： 2)1(10 xxd( -1)1,10( xua.101arcsinCx .arctan122Caxaxaxd 同理：同理：2021/6/1623例例5 5：)0(22 aaxxd xdaxaxa1121 axaxdaxaxda)()(21 Caxaxa lnln21.ln21Caxaxa 同理：同理：)0(.ln2122 aCxaxaaxaxd2021/6/1624.2121ln221Cxx 例例6 6：tdtt 3cos5sintdtt )2sin8(si

14、n21.2cos418cos161Ctt 122xxxd如：如： 2)1(2xxd)1,2( xua2021/6/16252. 凑函数（变量）凑函数（变量）定理定理1.1. 设设 F(u) 是是 f (u) 的一个原函数，且的一个原函数，且 的的是是则则)()()(xxfxF 原函数，且有原函数，且有换元公式换元公式： xdxxf)()( )( ufud)()(xuCuF .)(CxF u = (x)可导可导,证明：证明： )()()(xxFCxF 得得证证。 ),()(xxf )()(xuuduf 2021/6/1626 xdxxf)()( CuF )( .)(CxF 换元公式：换元公式：

15、(x) = u uduf)(前例：前例： xdx2sin.2cos21Cx xdxxxdxcossin22sinxdx)(sin (u = sin x)xdx sinsin2 Cu 2xdsin udu2 )()(xdxf )()(xdxdx .sin2Cx 2021/6/1627例例1 1：xdxx ln1xdxdxln1 xdxlnln1 udu 1.lnlnlnCxCu 例例2 2：xdxx1sin12 )1(12xdxdx xdx11sin .1cosCx 2021/6/1628例例3 3： xdxtanxdxx cossinxdxcoscos1 .coslnCx 同理：同理：.sin

16、lncotCxxdx 例例4 4：xdx sec xdxsec(sec x + tan x)(sec x + tan x)xdxxxxx tansectansecsec2 xxxxdtansec)sec(tanCxx tansecln2021/6/1629Cxxxdx tanseclnsec同理：同理：Cxxxdx cotcsclncscxdxxxdxx2cos1tan1cossin1 Cxxdx tanlntantan1例例5 5：xdxx cossin1)2(2sin1xdx )2()2csc(xdx Cxx |2cot2csc|ln或或2021/6/1630例例6 6：xdx 2sinx

17、dx 22cos1 xdxxd2cos21221.2sin4121Cxx xdx 2cos同同理理，.2sin4121Cxx 2021/6/1631例例7 7：xdx 4cosxdx 222cos1dxxx 424cos12cos21.4sin3212sin4183Cxxx dxxx 84cos2cos432021/6/1632例例8 8：xdx 3sinxdxx sinsin2.cos31cos3Cxx xdxcos)cos1(2 xxdxdcoscoscos22021/6/1633例例9 9：xdxx52sincos )cos(sincos42xdxx )cos()cos1(cos222x

18、dxx xdxxxcos)coscos2(cos642 x5cos52 x7cos71 .C x3cos312021/6/1634时时：当当0,0cossin nmxdxxnmxxxun22sin1cos,sin 令令，是奇数是奇数xxxum22cos1sin,cos 令令，是是奇奇数数22cos1cos22cos1sin,22xxxxnmnm ，利利用用的的幂幂或或则则降降低低，是是偶偶数数且且2021/6/1635例例1010：xdx 4secxdxtansec2 xdxtan)1(tan2 x3tan31 .tanCx 例例1111：xdxx 35sectanxdxxsecsectan2

19、4 Cxxx 357sec31sec52sec71xdxxsecsec)1(sec222 2021/6/1636时时：当当0,0sectan nmxdxxnmxxxun22tan1sec,tan 令令，是是偶偶数数1sectan,sec22 xxxum令令，是是奇奇数数1sectansec,22 xxxnm利用利用的幂的幂则化为则化为，是奇是奇是偶是偶2021/6/1637例例1212：xdxx 4sin12sin xxd42sin1sin例例1313：xdxxx )1(arctan)2(1xdxdx xdx arctan22)(1x dx arctan2.)arctan(2Cx xarcta

20、nCx )arctan(sin22021/6/1638习习 4 2（A）3（4，5，6，13，16，17）习习 4 2（B）2（4，7，8）2021/6/1639二、第二类换元法二、第二类换元法 ( (变量代换法变量代换法) )定理定理2.2.设设 x = (t) 是单调的可导函数，是单调的可导函数，, 0)( t 且且 的的原原函函数数，是是)()()(ttft 的原函数，且有的原函数，且有是是则则)()(xfx 换元公式：换元公式： tdttfxdxf)()()( 的反函数。的反函数。是是其中其中)()(txxt xdxf)(对对即即 令令 x = (t)，,)(tdtxd tdttf)(

21、)( tdt)( )( t Ct )( .)(Cx 2021/6/16401. 1. 三角代换三角代换例例1 1： )0(22axdxa分析：分析：目的：消去根式。目的：消去根式。利用三角恒等式：利用三角恒等式：. 1cossin22 tt若令若令 x = a sin t ,则则有有反反函函数数取取),2,2( t. 0cos,arcsin taxt且且taaxa22222sin .costa 被积函数被积函数2021/6/1641例例1 1： )0(22axdxa解：解：令令 x = a sin t , d x = a cos t d t ,tdta22cos 原式原式 tdta)2cos1

22、(22Ctta 2sin2122axtarcsin Cttta cossin22taxt sinxa22xa Cxa arcsin22axaxa22 2021/6/1642例例2 2：)0(22 aaxxd分析：分析：化化去去根根式式。利利用用公公式式tt22sec1tan 若令若令 x = a tan t ,)2,2( t取取.sec1tan222tataax 则则解：解： 令令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t .tdtata secsec2原原式式 tdtsec1tanseclnCtt axt tantxa22ax 1lnCax aax22 .ln22C

23、xax 2021/6/1643)0(22 aaxxd对对也可令也可令 x = a sh t ( t 0 )化去根式。化去根式。利用公式利用公式122 tshtch解：解：令令 x = a sh t ， d x = a ch t d t , tdtchatcha 1原式原式1222 tshaax. tcha tdCt .Caxhsra 2021/6/1644例例3 3：)0(22 aaxxd分析：分析：化化去去根根式式。利利用用公公式式tt22tan1sec 若令若令 x = a sec t ,)2, 0( t取取.tan1sec222tataax 则则解：解：令令 x = a sec t ,

24、d x = a sec t tan t d t , tdttdtattasectantansec原原式式1tanseclnCtt txa22ax xat cos122lnCaaxax .ln22Caxx 2021/6/1645或令或令 x = a ch t ( t 0 ) 22axxd则则.Caxhcra .ln2222Caxxaxxd 如：如： 12xxxd 43212xxd.121ln2Cxxx )(21 2021/6/1646当被积函数含有因子：当被积函数含有因子：,22xa ,22xa ,22ax 目的：目的： 去根号。去根号。.sintax 令令.tantax 令令.sectax 令

25、令.costax 或或.cottax 或或.csctax 或或2021/6/1647例例1 1： 222xxxd解：解：,sin2tx 令令,cos2tdtxd tttdtcos2sin2cos22原式原式tdt 2csc21Ct cot21tx22x 2.2212Cxx )2(sinxt 2021/6/1648例例2 2： 232)1(xxd解：解：令令 x = tan t , d x = sec 2 t d t .,sec)sec()1(33232ttx tdtt 32secsec原式原式 tdtcosCt sinx121x .12Cxx t2021/6/1649例例1 1：xdxx 1分

26、析：分析： 目的：化分数幂为整数幂。目的：化分数幂为整数幂。(去根号去根号), tx 若若令令.2tx 则则解：解：, tx 令令.2,2tdtxdtx 则则 原式原式tdtt 123-1+1 tdttt11122tdttt212 2021/6/1650Ctttt 1ln3121232回代回代.1ln)(312123Cxxxx tdttt11122,xt xdxx 12021/6/1651例例2 2：xdxx 3131解：解：,133tx 令令),1(313 tx.2tdtxd 原原式式tdtt)2(314 Ctt 255131.)13(31)13(1513235Cxx tdttt23311)

27、1( 2021/6/1652例例3 3： 12xxxd令令 x = sec t ,d x = a sec t tan t d t , tttdtttansectansec Cttd.1arccosCx 解二：解二：)0(,12 xtx令令,12 tx则则11122 ttdttt 12ttdCt arctan.1arctan2Cx 解一：解一： 12xxxd2021/6/1653对形如：对形如：;122xdaxx 称为倒代换。称为倒代换。可令可令,1tx tdt211原式原式 12xxdx;1222xdaxx ;12xdcbxaxx 等等xdcbxaxx 221前例前例3 3： .,012tdt

28、dxttx 令令CxCt 1arcsinarcsin2021/6/1654例例4 4： )1(24xxxd解二：解二：dttdxtx21,1 令令解一：解一：xdxxxx )1(12444原式原式xdxxdxx 242111Cxxx arctan11313 tdtt241原式原式Cttt arctan313Cxxx 1arctan113132021/6/1655教材第教材第 203 页积分公式页积分公式：(16)(24).2arcsin222222Cxaxaxaxdxa 另外补充一个积分公式：另外补充一个积分公式：2021/6/1656 xdxx624例例1 1：.2arctan613Cx xdxx4252例例2 2： .2arctan4ln252Cxx xdxx21例例3 3：.)1(31232Cx xdxxdxx