矩形菱形正方形解答题专练详细答案

1、2如图，四边形 ABCD是菱形,94矩形、菱形、正方形(解答题)1 如图，在平行四边形 ABCD中，BC=2AB=4点E、F分别是BC AD的中点.(1) 求证： ABEA CDF；(2) 当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.的延长线于点F,求证：DF=BE3.如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到 ACD, 再将 ACD沿DB方向平移到 A C的位置，若平移开始后点 D未到达点B时, A交CD于E, D交CB于点F,连接EF,当四边形EDD为菱形时，试探究厶A D的形状，并判断厶A 与 EFC是否全等？请说明理由.4已知：如图，在菱形 ABCD中，点E、F分

2、别为边CD AD的中点，连接AE,CF,求证： ADEA CDF5如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD相交于点0,过点D作对角线BD的JIK垂线交BA的延长线于点E.(1) 证明：四边形ACDE是平行四边形;(2) 若AC=8, BD=6,求厶ADE的周长.6如图，把 EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E, F, P分别在线段AB, AD,AC上，已知 EP=FP=6 EF=6$，/ BAD=60 ,且 AB 6*乓.(1) 求/ EPF的大小；(2) 若 AP=10,求 AE+AF 的值；(3) 若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB AD、AC上运动，请直接写 出AP长的最大值

3、和最小值.7.如图，在 ABC中，/ ACB=90, D, E分别为AC, AB的中点，BF/ CE交DE 的延长线于点F.(1) 求证：四边形ECBF是平行四边形；(2) 当/ A=30时，求证：四边形ECBF是菱形.8.如图，AE/ BF, AC平分/ BAE, 且交 BF于点 C, BD 平分/ ABF, 且交 AE于 点D, AC与BD相交于点0,连接CD(1) 求/ A0D的度数；(2) 求证：四边形ABCD是菱形.(1)Z CEBW CBE10.如图，在RtAABC中，/ B=90,点E是AC的中点，AC=2AB / BAC的平分线AD交BC于点D,作AF/ BC,连接DE并延长交

4、AF于点F,连接FC.11 如图，在四边形 ABCF中，/ ACB=90，点E是AB边的中点，点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点.(1) 证明：四边形CFAE为菱形；(2) 连接EF交AC于点0,若BC=10求线段0F的长.9.如图， ABCAABD,点 E在边 AB上, CE/ BD,连接 DE.求证:(2)四边形BCED是菱形.求证：四边形ADCF是菱形.12如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点 F,再分别以点B、F为圆心，大于L长为半径画弧，两弧交于一点 P,连 接AP并延长交BC于点E,连接EF.（1）四边形ABEF是_ ；（选填矩形、菱形、正方形

5、、无法确定）（直接填写 结果）（2）AE, BF相交于点0,若四边形ABEF勺周长为40, BF=1Q则AE的长为_，/ ABC= （直接填写结果）13如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF丄AC,交BC于点E, 交AD于点F,连接AE, CF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，/ DCF=30,求四边形AECF勺面积（结果保留根号）14. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.（1） 用直尺和圆规作线段 BD的垂直平分线，分别交 AD、BC于E、F （保留作 图痕迹，不写作法和证明）.（2）连结BE, DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.15. 如

6、图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的 点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB=6, AC=10,求四边形AECF勺面积.16. 如图，矩形ABCD中，延长AB至E,延长CD至F, BE=DF,连接EF,与BCAD分别相交于P、Q两点.(1)求证：CP=AQ(2)若 BP=1, PQ=2 7，/ AEF=45,求矩形 ABCD的面积.17. 如图，矩形 ABCD的对角线AC, BD相交于点0,若AB=A0,求/ ABD的度数.18. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上,

7、且BE=CFEF丄 DF,求证：BF=CD19.如图，矩形 ABCD中，AB=4, AD=3, M是边CD上AM对折，得到 ANM.(1)当AN平分/ MAB时，求DM的长；(2)连接BN,当DM=1时，求 ABN的面积;(2)连接BD CE,若/ BFD=2/ A,求证：四边形在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E, F, G, H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题是，有如下思路：连接 AC.=E, F分别皇 AB、BC芬年点三角形IEFHACEF=AC中位线題点G、H分别县三角形GH AClCD.申呻GH 弓 Ac|EF

8、 EF=GH(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.20如图，菱形 ABCD的对角线 AC, BD相交于点O,且DE/ AC, AE/ BD求 证：四边形AODE是矩形.21 如图，将平行四边形 ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB连接DE,交边BC于点F.(1)求证： BEFA CDF;22.阅读下面材料:结合小敏的思路作答(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),贝U四边形EFGH还是平行是三行四边形EFGH是菱形，写出结论并证明;EFGH是矩形，直接写出结论.四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题:(2)如图2,在(1 )的条件下，若连接 AC,

9、BD. 当AC与BD满足什么条件时，四边形 当AC与BD满足什么条件时，四边形23 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别 作边AB，AD的平行线，交两组对边于点 E，F和G, H.(1) 求证： PHCA CFP(2) 证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关 系.24已知，如图，正方形 ABCD中, E为BC边上一点，F为BA延长线上一点,且 CE=AF 连接 DE、DF.求证：DE=DF25如图，在正方形ABCD中，点E (与点B、C不重合)是BC边上一点，将线 段EA绕点E顺时针旋转90到EF,过点F作BC的垂线交BC的延长

10、线于点G, 连接CF.(1)求证： ABEA EGF(2)若 AB=2, SAABE=2SECF,求 BE副CS 1)(3 2：26. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ丄BE于点Q, DPIAQ 于点P.(1)求证：AP=BQ(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长 线段与较短线段长度的差等于 PQ的长.27. 在平面直角坐标系中，点0为原点，点A的坐标为(-6, 0).如图1,正 方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限.现将正方形 OBCD绕 点0顺时针旋转角a得到正方形OEFG(1) 如图2,若a =60； OE=OA求直线E

11、F的函数表达式.(2) 若a为锐角，tan a=，当AE取得最小值时，求正方形 OEFG的面积.(3) 当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，28. 如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA 连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接E0.(1) 已知E0=】，求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.29. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，/ AEF=90, EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE=EF30. 如图，在正方形 ABCD中

12、，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CEDF.求证：CE=DF答案与解析1.（2016?安顺）如图，在平行四边形 ABCD中，BC=2AB=4点E、F分别是BCAD的中点.（1）求证： ABEA CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.备用图【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等.第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道 ABE为等边三角形.这 样菱形的高就可求了，用面积公式可求得.【解答】（1）证明：在?ABCD中，AB=CD BC=AD / ABC=/ CDA又 BE=EC=BC, AF=DF= AD，2 2:.BE

13、=DF ABEA CDF（2）解：四边形AECF为菱形， AE=EC又点E是边BC的中点， BE=EC 即卩 BE=AE又 BC=2AB=4 AB=：BC=BE AB=BE=AE即厶ABE为等边三角形，?ABCD的 BC边上的高为 2x sin60 = 一，菱形AECF的面积为2 .(1)用SAS证全等；(2) 若四边形AECF为菱形，贝U AE=EC=BE=AB所以 ABE为等边三角形.2.( 2016?广安)如图，四边形 ABCD是菱形，CE!AB交AB的延长线于点E,CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：DF=BE/Ir.【分析】连接AC,根据菱形的性质可得 AC平分/ DAE, CD=

14、BC再根据角平分 线的性质可得CE=FC然后利用HL证明RtA CDFRtA CBE即可得出DF=BE【解答】证明：连接AC,四边形ABCD是菱形， AC平分/ DAE, CD=BCv CEL AB, CF! AD, CE=FCZ CFDW CEB=90.在 RtA CDF与 RtA CBE中,fCD=CB:CF二CE RtA CDF RtA CBE( HL),【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上 的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.3.（ 2016?荆州）如图，将一

15、张直角三角形 ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪 开，得到 ACD,再将 ACD沿DB方向平移到 A C的位置，若平移开始后点 D未到达点B时，A 交 CD于E, D 交 CB于点F,连接EF,当四边形EDD为 菱形时，试探究厶A D的形状，并判断厶A DET EFC是否全等？请说明理由.A Ar D D B【分析】当四边形EDD F为菱形时， A D是等腰三角形， A DE EFC.先 证明CD=DA=DB得至U/ DAC=Z DCA,由AC/ A 即可得到/ DA E/DEA由此即 可判断 DA E的形状.由 EF/ AB 推出/CEF/ EA D / EFC/ A D /A DE 再根据

16、A D=DE=ffiF可证明.【解答】解：当四边形EDD F为菱形时， A D是等腰三角形， A DE EFC. 理由： BCA是直角三角形，/ ACB=90, AD=DB, CD=DA=DB/ DAC=Z DCA A C AC,/ DA E/A,/ DEA = DCA,/ DA E/DEA, DA =D, A. D是等腰三角形.四边形DEFD是菱形， EF=DEDA , EF/ DD ,/ C EF=DA E / EFC / C D ,ACD/ C D/ A DE/A D / E=C,在 A DB EFC中,rZEA? D=ZCV EFAy D二EF厶DE=ZEFC7 A DE EFC.A

17、Ar D Dr B【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜 边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题 型.4.（2016?淮安）已知：如图，在菱形 ABCD中，点E、F分别为边CD AD的中 点，连接 AE, CF,求证： ADEACDF【分析】由菱形的性质得出AD=CD由中点的定义证出DE=DF由SAS证明厶ADE CDF即可.【解答】证明：四边形ABCD是菱形， AD=CD点E、F分别为边CD AD的中点， AD=2DF，CD=2DE DE=DFrAD=CD在AADE和ACDF中，ZQE二ZCDF ，,DE=DF ADEA CDF

18、（ SAS .【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键.5.（ 2016?苏州）如图，在菱形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC=8, BD=6,求厶ADE的周长.【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可；(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.【解答】(1)证明：四边形ABCD是菱形， AB/ CD, AC丄BD, AE/ CD,/ AOB=90 ,DE丄BD,即/ EDB=90,/ AOB=/ EDB DE/

19、 AC,四边形ACDE是平行四边形；(2)解：四边形 ABCD是菱形,AC=8, BD=6,/. A0=4, D0=3, AD=CD=5四边形ACDE是平行四边形, AE=CD=5 DE=AC=8 ADE的周长为 AD+AE+DE=55+8=18.【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题， 关键是根据平行四边形的判定 解答即可.6.( 2016?枣庄)如图，把 EFP放置在菱形ABCD中 ,使得顶点E , F , P分别 在线段 AB, AD , AC上,已知 EP=FP=6 EF=6 二,/ BAD=60 ,且 AB 6 二.(1) 求/ EPF的大小；(2) 若 AP=10,求 AE+A

20、F 的值；(3) 若厶EFP的三个顶点& F、P分别在线段AB AD、AC上运动，请直接写 出AP长的最大值和最小值. AC为菱形ABCD的对角线,如图2所示.【分析】(1)根据锐角三角函数求出/ FPG最后求出/ EPF(2)先判断出RtA PMERtA PNF,再根据锐角三角函数求解即可,(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出 AP最大和最小值.【解答】解：(1)过点P作PG丄EF于点G,如图1所示.图1 PE=PF=6 EF=6 一, FG=EG=3，/ FPG=/ EPG= / EPF在 RtAFPG中，sin/FPG二兰二=,5PF 62 5/./ FPG=60,/./ EPF=12

21、0./ DAC=Z BAC AM=AN, PM=PN.在 RtAPME和 RtPNF中, PM=PN, PE=PF Rt PME 望 RtA PNF, ME=NF.又 AP=10, / PAM=. / DAB=30,AM=AN=APCOS30=10X =5 二, CB=CEC AE+AF= (AM+ME) + (AN-NF) =AM+AN=10 三.(3)如图,当厶EFP的三个顶点分别在 AB, AD, AC上运动，点P在P，P之间运动， P O=PO=3AO=9, AP的最大值为12, AP的最小值为6,【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角 的三角函数，解本

22、题的关键是作出辅助线.7.（2016?三明）如图，在 ABC中，/ ACB=90, D, E分别为AC, AB的中点,BF/ CE交DE的延长线于点F.（1）求证：四边形ECBF是平行四边形;【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可;（2）禾I用菱形的判定证明即可.【解答】证明：（1）v D, E分别为边AC, AB的中点, DE/ BC,即 EF/ BC.又 BF/ CE四边形ECBF是平行四边形.(2)vZ ACB=90,Z A=30 , E为 AB 的中点, CB= AB, CE= AB.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，四边形ECBF是菱形. AC BD分别是Z BAD、Z

23、ABC的平分线,【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键.8.(2016?抚顺)如图，AE/ BF, AC平分/ BAE且交BF于点C, BD平分/ ABF, 且交AE于点D，AC与BD相交于点O,连接CD(1)求/ AOD的度数；(2)求证：四边形ABCD是菱形.【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到/ DAC=Z BAC, / ABD=Z DBC,然 后根据平行线的性质得到/ DA由/ CBA=180,从而得到/ BAG / ABD= (/DAB+Z ABC) =- X 180=90 得到答案/ AOD=90 ；(2)根据平

24、行线的性质得出Z ADB=Z DBC,Z DAC=Z BCA根据角平分线定义 得出 Z DAC=Z BAC, Z ABD=Z DBC,求出 Z BAC=Z ACB, Z ABD=Z ADB,根据等 腰三角形的判定得出AB=BC=AD根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD是平 行四边形，即可得出答案.【解答】解：(1)v AC BD分别是Z BAD Z ABC的平分线,Z DAC=Z BAC, Z ABD=Z DBC, AE/ BF ,Z DABZ CBA =180 ,Z BAGZABD# (Z DABZABC)二*X 180=90 ,Z AOD=90;(2)证明：AE/ BF,Z ADB=Z

25、 DBC, Z DAC=Z BCA CEB CBE CE=CB/ DACN BAC, / ABD二/ DBC,/ BACK ACB, / ABD=Z ADB, AB=BC AB=AD AD=BC AD/ BC,四边形ABCD是平行四边形,/ AD=AB四边形ABCD是菱形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用， 能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键.9.(2016?沈阳)如图, AB3AABD,点E在边AB上,CE/ BD,连接DE 求 证：(1)Z CEB=/ CBE(2) 四边形BCED是菱形.【分析】(1)欲证明/ CEB玄CBE只要证明/ C

26、EB=/ ABD, / CBE ABD即可.(2)先证明四边形CEDB是平行四边形,再根据BC二BD即可判定.【解答】 证明；(1)v ABCAABD,/ ABC=/ ABD, CE/ BD ,/ CEB DBE/ CEB CBE(2)v ABCAABD , BC=BD CE=BD CE/ BD,四边形CEDB是平行四边形, AEFA CED BC=BD四边形CEDB是菱形.【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识， 熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法， 属于中考常考题型.10.（2016?聊城）如图，在 RtAABC中，/ B=9

27、0,点 E是 AC的中点，AC=2AB / BAC的平分线AD交BC于点D,作AF/ BC,连接DE并延长交AF于点F,连 接FC.求证：四边形ADCF是菱形.C【分析】先证明 AEFA CED,推出四边形ADCF是平行四边形，再证明厶AEDABD,推出DF丄AC,由此即可证明.【解答】证明：AF/ CD,/ AFE=/ CDE在人卩丘和厶CDE中,rZAFB=ZCDE ZAEF=ZCED,bAE=CEAF=CD AF/ CD,四边形ADCF是平行四边形.由题意知，AE=AB / EAD=Z BAD, AD=AD, AEDA ABD./ AED=/ B=90,即 DF丄 AC.四边形ADCF是

28、菱形.【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和 性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 属于基础题，中考常考 题型.11. (2016?德阳)如图，在四边形 ABCF中,/ ACB=90,点E是AB边的中点, 点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.(1) 证明：四边形CFAE为菱形；(2) 连接EF交AC于点O,若BC=10求线段OF的长.【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 CE= AB=EA根据轴对称的性质得到AE=AF CE=CF得到CE=EA=AF=CF根据菱形的判定定理证明结论；(2)根据菱形的性质得到OA=OC OE=OF根据三角形中位线

29、定理求出 OE,得 到答案.【解答】(1)证明：ACB=90，点E是AB边的中点,CE= AB=EA点F是点E关于AC所在直线的对称点,AE=AF CE=CFCE=EA=AF=CF四边形CFAE为菱形；（2）解：四边形CFAE为菱形；OA=OC OE=OF OE= BC=5OF=5【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、 轴对称的性质，掌握四条边相等的四 边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键.12. （2016?梅州）如图，在平行四边形 ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径 画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于 一点P，连接AP并延长交BC于点E,

30、连接EF.（1） 四边形ABEF是菱形;（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接 填写结果）（2）AE, BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40, BF=10,则AE的长为10，/ ABC= 120 （直接填写结果）【分析】（1）先证明 AEBA AEF,推出/ EAB=/ EAF,由AD/ BC,推出/ EAF= / AEB=/ EAB 得到BE=AB=AF由此即可证明.（2）根据菱形的性质首先证明 AOB是含有30的直角三角形,由此即可解决 问题.【解答】解：（1）在AAEB和AAEF中， ZEAB=ZEAF, AEBA AEF,/ EAB=/ EAF, AD/ BC,/ EAF=

31、/ AEB=Z EAB BE=AB=AF AF/ BE,四边形ABEF是平行四边形 AB=AF四边形ABEF是菱形.故答案为菱形.(2)v四边形ABEF是菱形， AE丄 BF, BO=OF=5 / ABO=Z EBQ AB=10, AB=2BQ vZ AQB=90/ BA0=30 , Z ABQ=60 , AQ=二B0=5 二,Z ABC=2/ ABO=120.故答案为打八:,120.【点评】本题考查菱形的判定和性质、 平行四边形的性质、作图-基本作图等知 识，解题的关键是全等三角形的证明， 想到利用特殊三角形解决问题，属于中考 常考题型.13.（2016?贺州）如图,AC是矩形ABCD的对角

32、线,过AC的中点O作EF丄AC, 交BC于点E,交AD于点F ,连接AE, CF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=二,Z DCF=30 ,求四边形AECF的面积.（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF丄AC,根据线段垂直平分线的性质,可得AF=CF AE=CE OA=OC然后由四边形 ABCD是矩形,易证得 AOFA COE 则可得AF=CE继而证得结论；(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得 CF的长, 继而求得答案.【解答】(1)证明：O是AC的中点，且EF丄AC, AF=CF AE=CE OA=OC四边形ABCD是矩形， AD/

33、BC,/ AFO=/ CEO在人0尸和厶COE中，fZAE0=ZCE0、ZA0F=ZC0E,OAOC AOFA COE( AAS)， AF=CE AF=CF=CE=AE四边形AECF是菱形；(2)解：四边形ABCD是矩形, CD=AB=，rn在 RtA CDF中，cos/ DCF=，/ DCF=30， CF= =2，四边形AECF是菱形, CE=CF=2四边形AECF是的面积为：EC?AB=2 .【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识.注意 证得 AOFA COE是关键.14. (2016?衢州)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.(1) 用直尺和圆规作线段 BD的

34、垂直平分线，分别交 AD、BC于E、F (保留作 图痕迹，不写作法和证明).(2) 连结BE, DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确 定出垂直平分线即可；（2）连接BE DF,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE / DEF玄BEF再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等 边得到BE=BF再由BF=DF等量代换得到四条边相等，即可得证.【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明： EF垂直平分BD, BE=DE / DEF玄

35、 BEF， AD/ BC,/ DEF=/ BFE/ BEF BFE BE=BF BF=DF BE=ED=DF=BF【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图-基本作图，熟练掌握 性质及判定是解本题的关键.15. （2016?扬州）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点 B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB=6, AC=10,求四边形AECF勺面积.C【分析】(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得 AB=CD AD/ BC, / ANF=90 , / CME=9，易得AN=CM，可得

36、ANFA CME (ASA)，由平行四边形的判定 定理可得结论；(2)由 AB=6, AC=10,可得 BC=8,设 CE=x 贝U EM=8- x , CM=10- 6=4 ,在 Rt CEM中，利用勾股定理可解得x,由平行四边形的面积公式可得结果.【解答】(1)证明：折叠， AM=AB, CN=CD / FNC=Z D=90 , / AME=Z B=90 ,/ ANF=90 , / CME=9 ,四边形ABCD为矩形, AB=CD AD / BC, AM=CN, AM - MN=CN- MN ,即 AN=CM,在人“卩和厶CME中,ZFAN=ZECM、AN二CM,ZANFZCME ANFA

37、 CME (ASA), AF=CE又 AF/ CE,四边形AECF是平行四边形；(2)解：AB=6, AC=1Q 二 BC=8D设 CE=x 贝U EM=8 -x , CM=10- 6=4 , 在 RtA CEM 中,(8 - x) 2+42=X2 ,解得：x=5,四边形AECF勺面积的面积为：EC?AB=5 6=30.【点评】本题主要考查了折叠的性质、 矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾 股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键.16. (2016?遵义)如图，矩形 ABCD中，延长AB至E,延长CD至F, BE=DF, 连接EF,与BC AD分别相交于P、Q两点.(1) 求证：CP=AQ

38、(2) 若 BP=1, PQ=2，/ AEF=45,求矩形 ABCD的面积.【分析】(1)由矩形的性质得出/ A=Z ABC=/ C=Z ADC=90 , AB=CD AD=BC AB/ CD, AD/ BC,证出/ E=/ F, AE=CF 由 ASA证明厶 CFPA AEQ,即可得出 结论；(2)证明 BEP AEQ是等腰直角三角形,得出BE=BP=1 AQ=AE求出PE= _ BP= 7，得出EQ=PEPQ=3 7 ,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出 AQ=AE=3 求出 AB=AE- BE=2, DQ=BP=1 得出 AD=AC+DQ=4,即可求出矩形 ABCD 的面积.【解答】(

39、1)证明：四边形ABCD是矩形,/ A=/ ABC=/ C=/ ADC=90 , AB=CD AD=BC AB/ CD, AD/ BC,/ E=/ F , BE=DF AE=CFNC二厶在厶CFPPAEQ中,二AE, CFPA AEQ (ASA), CP=AQ(2)解：AD/ BC,/ PBEW A=90 ,vZ AEF=45, BEP AEQ是等腰直角三角形， BE=BP=1 AQ=AEPEBP二一， EQ二PEPQ+2 占=3, AQ=AE=3 AB=AE- BE=2v CP=AQ AD=BC DQ=BP=1 AD=AC+DQ=31=4 ,矩形 ABCD的面积二AB?AD=2 4=8.【点

40、评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的 判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问 题的关键.17. （2016?广州）如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,若AB=AO, 求Z ABD的度数.【分析】首先证明OA=OB再证明 ABO是等边三角形即可解决问题.【解答】解：v四边形ABCD是矩形，OA=OC OB=OD, AC=BDAO=OBv AB=AQAB=AO=BO ABO是等边三角形,Z ABD=60.【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形 的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型.1

41、8.（2016?岳阳）已知：如图，在矩形 ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且 BE=CF EF丄 DF,求证：BF=CDA-DEB【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用 平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证.【解答】证明：四边形ABCD是矩形，/ B=Z C=90， EF DF，/ EFD=90,/ EFBV CFD=90，vZ EFBV BEF=90，/ BEFZ CFD在厶 BEFP CFD中， BE二CF，ZB=ZC BEFA CFD （AS

42、A）， BF=CDD【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形 的性质是解本题的关键.19.（2016?福州）如图，矩形 ABCD中，AB=4, AD=3, M是边CD上一点，将四边形ABCD是矩形，.AB/ DC, ADM沿直线AM对折，得到 ANM.(1) 当AN平分/ MAB时，求DM的长；(2) 连接BN,当DM=1时，求 ABN的面积；(3) 当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.【分析】(1)由折叠性质得/ MAN=Z DAM，证出/DAM=Z MAN=Z NAB，由三 角函数得出DM=AD?tan/ DAM=即可；(2)延长MN交AB延长线于点

43、Q,由矩形的性质得出/ DMA=/ MAQ，由折叠性质得出/ DMA=/ AMQ，AN=AD=3, MN=MD=1，得出/ MAQ=/ AMQ，证出MQ=AQ，设 NQ=x,贝U AQ=MQ=1+x，证出/ ANQ=90，在 RgANQ 中，由勾股 定理得出方程，解方程求出 NQ=4, AQ=5,即可求出厶ABN的面积；(3)过点A作AH丄BF于点H,证明 ABHA BFC得出对应边成比例皂=,An DV 得出当点N、H重合(即AH=AN)时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大， 此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH,由AAS证明 ABHA BFC得出CF=BH由

44、勾股定理求出BH,得出CF,即可得出结果.【解答】解：(1)由折叠性质得： ANMAADM,/ MAN=/ DAM, AN 平分/ MAB,/ MAN=/ NAB,/ DAM=/ MAN=/NAB,四边形ABCD是矩形,/ DAB=90,/ DAM=3 ,DM=AD?tan/ DAM=3x tan30 =3x四边形ABCD是矩形，.AB/ DC,(2)延长MN交AB延长线于点Q,如图1所示:/ DMA=Z MAQ,由折叠性质得： ANMA ADM,/ DMA=Z AMQ, AN=AD=3 MN=MD=1,/ MAQ=Z AMQ,-MQ=AQ,设 NQ=x,贝U AQ=MQ=1+x,/ ANM=

45、9 ,:丄 ANQ=90,在RtAANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2,.( x+1) 2=32+x2,解得：x=4,.NQ=4, AQ=5,T AB=4, AQ=5,4414i.SANAEFSNAQ= X AN?NQ= X X 3X 4=；bbLbZ5(3)过点A作AH丄BF于点H,如图2所示：四边形ABCD是矩形，.AB/ DC,/ HBA=Z BFCvZ AHB=Z BCF=90 ,. ABHA BFC型=.-：=，v AH AN=3, AB=4,当点N、H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性

46、质得：AD=AH,vAD=BC AH=BCNHBAMBFC在厶 ABH和厶 BFC中，ZAHB=ZBCF ,AH=BC/ AOD=90, ABHA BFC(AAS), CF=BH由勾股定理得：BH=l玷 丄三-=:；=匚, CF= = DF 的最大值=DC CF=4二.A 團IE Q【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等 三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩 形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.20. （2016?吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,且DE/ AC, AE/ BD.求证

47、：四边形AODE是矩形.【分析】根据菱形的性质得出AC丄BD,再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形 AODE是矩形.【解答】证明：四边形ABCD为菱形， AC 丄 BD,D -V_C BEFA CDF (ASA)；DE/ AC, AE/ BD,四边形AODE为平行四边形，四边形AODE是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定， 掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.21. (2016?南通)如图，将?ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB连接DE, 交边BC于点F.(1) 求证： BEFA CDF；(2) 连

48、接BD、CE,若/ BFD=2/ A,求证：四边形BECD是矩形.【分析】(1)先根据平行四边形的性质得出 AB=CD AB/ CD,再由BE=AB得出 BE=CD根据平行线的性质得出/ BEF/ CDF, / EBF/ DCF进而可得出结论；(2)根据平行四边形的性质可得 AB/ CD, AB=CD / A=/ DCB再由AB=BE 可得CD=EB进而可判定四边形BECD是平行四边形,然后再证明BC=DE即可得 到四边形BECD是矩形【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形,AB=CD AB/ CD.BE=AB BE=CDAB/ CD,/ BEF/ CDF, / EBF/ DCF,在厶

49、BEF与 CDF中,BEND, BEFA CDF (ASA)；ZEBP=ZDCF坯 H分别黒 CD. AD的中嚅,则四边形EFGH还是平行(2)证明：四边形ABCD是平行四边形, AB/ CD, AB=CD / A=Z DCB AB=BE CD=EB四边形BECD是平行四边形, BF=CF EF=DF/ BFD=2/ A,/ BFD=2/ DCF,/ DCF=/ FDC DF=CF DE=BC四边形BECD是矩形.【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四 边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分.22. （ 2016?兰州）阅读下面材料：在数学课上,老师请同学思考

50、如下问题：如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E, F, G , H依次连接起来得到的四边形 EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题是，有如下思路：连接 AC.结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2）四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2 ,在（1 ）的条件下,若连接AC, BD. 当AC与BD满足什么条件时,四边形 EFGH是菱形,写出结论并证明; 当AC与BD满足什么条件时,四边形 EFGH是矩形,直接写出结论.礁边形EFGH 昙匚行四边形三角形中位钱定雇三角形中位线走蠱 AC丄 BD, GH / AC,（2）由（1）知，四边形

51、EFGH是平行四边形，且【分析】（1）如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质得到 EF/ AC, EF= AC, 然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；到当AC二BD时，FG=HQ即可得到结论;（3）根据平行线的性质得到GH丄BD, GH丄GF,于是得到/ HGF=90,根据矩形 的判定定理即可得到结论.【解答】解：（1）是平行四边形， 证明：如图2,连接AC, E是AB的中点，F是BC的中点, EF/ AC, EF= AC,同理 HG/ AC, HG=：AC,综上可得：EF/ HG, EF=HG故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形

52、，且 FG二.BD, HG= AC,当 AC二BD时，FG=HQ平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC丄BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形， GH丄 BD,/ CPF玄 PCH GF/ BD, GH 丄 GF,:丄 HGF=90,四边形EFGH为矩形.【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理， 三角形的 中位线平行于第三边且等于第三边的一半.23. (2016?台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A, C重 合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.(1) 求证： PH3A CFP(2)

53、 证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关 系.【分析】(1)由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角， 结合全等三角形的判定定理 AAS即可得出厶PHGACFP(2)由矩形的性质找出/ D=Z B=90 再结合对边互相平行即可证出四边形 PEDH 和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关 系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等.【解答】证明：(1)v四边形ABGD为矩形， AB/ CD, AD / BC PF/ AB, PF/ CD,D_H. PH/ AD, PH/ BC,/ PCF= CPH 在厶 PHC

54、CFP中,rZCPF=ZPCH FOCP ,ZPCZCPH PHCA CFP(ASA（2）v四边形ABCD为矩形，:丄 D=Z B=90.又tEF/ AB/ CD, GH/ AD/ BC,四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.t EF/ AB,/ CPF玄 CAB在 RtAAGP中，/ AGP=90,PG=AG?tar CAB.在 RtACFP中，/ CFP=90,CF=PF?taiZ CPFS矩形 DEPFFDE?EP二CF?EP二PF?EP?taCPFS矩形 PGB=PG?PF二AG?PF?ta6 CAB=EP?PF?tah CAB.t tan / CPF=tan CAB,S矩形DEP卡

55、S矩形PGBF.【点评】本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的 性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理 来证明四边形为矩形.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结 合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键.24 . （2016?无锡）已知，如图，正方形 ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF连接DE、DF.求证：DE=DF【分析】根据正方形的性质可得 AD=CD / C=Z DAF=90 ,然后利用 边角边”证 明厶DCEft DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可.【解答】证明：

56、四边形ABCD是正方形， AD=CD / DAB=Z C=90,/ FAD=180-Z DAB=90 .在厶DCEft DAF中，fCD=AD ZCZDAF，CE=AF DCEA DAF (SAS， DE=DF【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形 对应边相等证明线段相等是常用的方法之一，一定要熟练掌握并灵活运用.25. （ 2016?来宾）如图，在正方形 ABCD中，点E （与点B、C不重合）是BC 边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90,到EF,过点F作BC的垂线交BC的 延长线于点G,连接CF.(1)求证： ABEA EGF(2)若 AB=2, SAAB

57、E=2SECF,求 BE【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF 利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；（2）利用全等三角形的性质得出 AB=EG=2 SABE=SEGF，求出SEG=2&ECF,根据-(ZABZR=ZEGFAE-EF三角形面积得出EC=CG=1根据正方形的性质得出BC=AB=2即可求出答案.【解答】(1)证明：EP丄AE,/ AEBFZ GEF=90,又/ AEBFZ BAE=90, / GEFW BAE,又 FG丄 BC,(2)解： ABEA EGF AB=2,AB=EG=2 SABE=SEGF,T SABE=2S ECF SE

58、GF=2S ECF EC=CG=1四边形ABCD是正方形,/ BC=AB=2 BE=2- 1=1.【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正 方形的性质，三角形的面积，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.26. (2016?哈尔滨)已知：如图，在正方形 ABCD中，点E在边CD上, AQ丄 BE于点Q, DPIAQ于点P.(1) 求证：AP=BQ(2) 在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长 线段与较短线段长度的差等于 PQ的长./ ABE=/ EGF=90,G ABEA EGF( AAS ；【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA /

59、BAQ=Z ADP,再根据已知条件 得到/ AQB=Z DPA判定 AQBA DPA并得出结论；（2）根据AQ- AP=PQ和 全等三角形的对应边相等进行判断分析.【解答】解：（1）v正方形ABCD AD=BA / BAD=90，即/ BAC+Z DAP=90v DPI AQZ ADPFZ DAP=90Z BAQ=Z ADPv AQ丄BE于点Q, DP丄AQ于点PZ AQB=Z DPA=90 AQBA DPA （AAS）AP=BQ（2） AQ- AP=PQ AQ- BQ=PQ DP- AP=PQ DP- BQ=PQ【点评】本题主要考查了正方形以及全等三角形， 解决问题的关键是掌握：正方 形的四

60、条边相等，四个角都是直角.解题时需要运用：有两角和其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等.27. （2016?金华）在平面直角坐标系中，点0为原点，点A的坐标为（-6,0）.如 图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角a得到正方形OEFG(1) 如图2,若a =60； OE=OA求直线EF的函数表达式.(2) 若a为锐角，tan a =，当AE取得最小值时，求正方形 OEFG的面积.2(3) 当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P, OEP的其中两边之比能否为 二：1?若能，求点