方程的根与函数的零点选用

1、方程的根与函数的零点零点概念:对于函数yf (x),我们把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.零点等价性：方程f (x)=0有实数根o函数y=f (x)的图象与x轴有交点u函数y=f (x)有 零点零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a), f (b)0,那么函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在cw (a, b),使得f (c)=0,这 个c也就是方程f(x)=o的根.“方程/*) = 0有实根o函数y =的图象与x轴有交点o函数y = /)有零点”1 .函数f (x)=x+lgx-3的零点所在的大致区间

2、是()a.(错误！未找到引用源。，2)b. (2,错误！未找到引用源。)c.(错误!未找到引用源。，3) d. (3,错误！未找到引用源.)2 .(10天津理)函数/(x)=2 +3x的零点所在的一个区间是()a. (-2,-1) b. (-1,0) c.(0,1) d. (1,2)3 .函数f (x) = 3x - 7 + in x的零点位于区间(n, n+ 1) (nc n)内,则n =4 .已知凡是函数= 2,+ 的一个零点.若汨(1,照)，用(照，+8),则( ) 1 xa. azt) 0, f() 0 b. fu) 0c. fm 0, am) 0, f(x2) 05 .关于x的方程3

3、(4a-1)-怛。-3) = 1有解，则a的取值范围是。6 .已知/*(4)是r上的奇函数，函数g(*) /xr+2),若右3)有二个零点，则g(*)的所有零 点之和为7 . (08湖北文)方程2-+/=3的实数解的个数为.8 .已知函数 y = /(x) (ag r)满足 /(x+ 3)= f (x+ 1 ,且 x - 1,1时，/(x) = lx i,则y = /(x)与y = logsx的图象交点的个数是()a. 3b. 4c. 5d. 69 .已知偶函数f(x)(xwr)满足f(x+2)=/(x),且xe0,l时,f(x) = x ,则方程/(x) = logs i xl根的个数是.1

4、0 . (10分)已知二次函数r(x) =av+必+ c.若ac,且r(i)=o,试证明rj)必有两个零点；设汨，xi r, m 0,若函数g( =八0一勿有3个零点，则实数加的取值范围是答案：解析 函数八才)的图象如图所示，函数八%)=-父-2*(40)的最大值是1, 故只要0加212. (11北京)已知函数/(x) =x 一若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是13. 试判断方程1/-91=4 + 2实根的个数.【解析】本题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做，但步骤较繁 复，而且容易出错，不如利用函数的图象简单明了.令ytf-91, y = a

5、+ 2,如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象： 由图可知：当。+ 29,即。7时，函数有两个交点，即方程有2个实根；当a + 2 = 9,即。=7时，函数有3个交点，即方程有3个实根；当0 + 29,即-2a7时，函数有4个交总，即方程有4个实根；当。+ 2 = 0,即。=-2时，函数有2个交点，即方程有2个实根；当。+ 20,即-2时，函数没有交点，即方程没有实数根；综上所述：当-2a7时，方程有4个实根；当 =7时，方程有3个实根；当或。=-2时，方程有2个实根；当-2时，方程没有实根.【答案】当-27时，方程有4个实根；当时，方程有3个实根；当或。=-2 时，方程有2个实根；当a

6、 b.-1)*(x-1),且关于*的方程/tr) =m加r)恰有三个互不相等的实数根加，而，木，则*2*3的取值范围是解析 f(*) = (2*- 1)*(1)lx- 1 2 - lx- 1 x- 1 , x0,i - x + x, x 0.如图所示，关于的方程，(*)=加恰有三个互不相等的实根m,生，m,即函数八%)的 图象与直线y=加有三个不同的交点，则0/0 时，-大 + x= m、即*-+加=0, /. xi + x = 1,2y - * = j，当x0时，由4x 0,0 xixy得%=口/1 匕亚- 0 7小- 11 哥 x 4 ， 4 4 击 & u, u x 4 .，.0 - x

7、xix、x3 l /1 xxix、0 x2-2x-3 = o,解得x = t或 x = 3即方程f(x) = o只有两个实数根19 .关于x的方程，给出下列四个命题：当左0时，方程恰有2个不同的实根； 当&=0时，方程恰有5个不同的实根； 当时，方程恰有4个不同的实根；当ova!时，方程恰有8个不同的实根.4其中错误的个数是()a. 0b. 1c. 2d. 3【解析】记则方程变为?7 + =0, = 1-必*=0时，乙=0,，2=1,原方程有5个解；及0时，。1,原方程有2个解；()&0 一网50/?-10/九一 1，解得0加1综上，m的取值范围是（0,1.15 .若关于片的方程2+2z +

8、a + l = （）有实根，求实数a的取值范围.【解析】设，=2。（，0）,则原方程可变为+4+。+ 1 = 0 原方程有实根，即方程有正根.令/=b+at + a + 方程有两个正实根小g，则a = 6r2-4(a + l)0/i + j =-。 解得:4 , % =。+ 1 0-1 a w 2 - 2/2 ；（2）方程有一个正实根和一个负实根，则八0） =。+ 1。,解得：at.综上：/216 .关于k的方程w _（2l8）x +16 = 0的两个实根月、x2满足m的取值范围39【解析】设/3） = /一（25一8卜 +，2-16,则/（二）=二一3（二一4） + 川一160, 216即：

9、4/-12m一70,解得:17 .已知关于丁的二次方程x2 + 2mx + 2m + 1=（）。（1）若方程有两根，其中一根在区间（-1, 0）内，另一根在区间（1, 2）内，求力的 范围.（2）若方程两根均在区间（0, 1）内，求力的范围.【解析】条件说明抛物线/（力=/+2a+ 2? + 1与（1, 2）内,画出示意图,/.() = 2根 + 10,= /(1) = 4w + 20j轴的交点分别在区间(-1, 0)和i p1 m 2m e r,1 m 651 m 0, / 0, a0, 0 一？ w 1 +-1 m 0.(这里0 -ml是因为对称轴x = 应在区间(0, 1)内通过)得到一

10、! 2 1 - j52【答案】(1) -/-!-(2) -1/w0口即x2 + 20x = 8x - 6a 3x 0 0x2+12x + 6a + 3 = 0原方程等价于22(2)若抛物线y = /(x)与x轴相交，注意到其对称轴为1=-6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式。的充要条件是： /(-20) 0/()()解得一蚂62.当一。一_1时原方程有唯一解.62法二原方程等价于x2 +20x = 8x-6a-3(x0)问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y = 8x-6a-3与抛物线)，=/+20工(“0)有且只有一个公共点. 虽然两个函数图象都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却

11、不明显， 可将变形为r+12x+3=-6a (x 0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线y = x?+12x+3和直线y = - 6 a , 如图，显然当3 -64163, 一度。一,时，62直线y = - 6a与抛物线有且只有一个公共点.【答案】3 6219 .已知函数f(x) =/+ (1-左)*-左的一个零点在(2, 3)内，则实数k的取值范围是20 .已知二次函数/(幻=公2(，为常数，且awo)满足条件：/(x-l) = f(3-x),且 方程/(x) = 2x有等根.(1)求八幻的解析式；(2 )是否存在实数小、(?)，使/(x)定义域和值域分别为勿，和4/77, 4,如果存在，求出m. 的值；如果不存在，说明理由.【解析】(1) .方程2+法=2有等根，a = s-2)2=o,得b=2 .由r - l) = /(3 x)知此函数图象的对称轴方程为.一二=1,得 =-1,2a故