二次曲面分类简介PPT学习教案

1、会计学1二次曲面分类简介二次曲面分类简介空间直角坐标变换 空间仿射坐标变换公式, zcycxczzcycxcyzcycxcx333231232221131211向量的坐标变换公式: . zyxccccccccczyx333231232221131211其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标.I 到 I 的过渡矩阵第1页/共57页, 333323122322211131211dzcycxczdzcycxcydzcycxcx点的坐标变换公式: . 32133323123

2、2221131211dddzyxccccccccczyx其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标, (d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.空间直角坐标变换 第2页/共57页过渡矩阵的性质1. 过渡矩阵是可逆矩阵. 2. 设有三个仿射坐标系 I, I, I, I 到 I 的过渡矩阵为C, I 到 I 的过渡矩阵为D, 则 I 到 I 的 过渡矩阵为CD. 3. 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C, 则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1.4. 两个

3、直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵. 空间直角坐标变换 第3页/共57页空间直角坐标 (点) 变换移轴: , 321dddzyxzyx 321dzzdyydxx或其中(d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.空间直角坐标变换 第4页/共57页转轴: 设新坐标向量e1, e2, e3 与原坐标向量 e1, e2, e3 的交角如下表所示: 原系 x轴(e1) z轴(e3)y轴(e2)新系 交角 x轴(e1) y轴(e2) z轴(e3) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 空间直角坐标变换 第5页/共57页则转轴公式为: coscoscoscoscoscoscoscoscos

4、 zyxzyx333222111 cos coscoscos coscos cos cos cos333222111zyxzzyxyzyxx或 空间直角坐标变换 第6页/共57页 ,coscoscoscoscoscoscoscoscos 321333222111dddzyxzyx cos coscos cos coscos cos cos cos 333322221111dzyxzdzyxydzyxx或 一般的空间直角坐标 (点) 变换公式: 空间直角坐标变换 第7页/共57页空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定. 设有两两互相垂直 的三个平面: 1: A1x + B1

5、y + C1z + D1 = 0, 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, 3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0, 其中 Ai Aj + Bi Bj + Ci Cj = 0, ( i, j = 1, 2, 3, i j ).空间直角坐标变换 第8页/共57页若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面, 则原系到新系的坐标变换公式为: , 232323333322222222222121211111CBADzCyBxAzCBADzCyBxAyCBADzCyBxAx其中正负号的选取要使得坐标变换为右手直角坐标变换. 空间直角坐标变换 第9页/共57页

6、二次曲面的类型 二次曲面的一般方程空间中二次曲面的一般方程为a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 ()第10页/共57页吕林根解析几何P275. 定理6. 6. 1 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列五个简化方程之一: (I) a11x2 + a22y2 + a33z2 + c = 0, a11a22a33 0; (II) a11x2 + a22y2 + 2b3z = 0, a11a22b3 0;

7、 (III) a11x2 + a22y2 + c = 0, a11a22 0; (IV) a11x2 + 2b2y = 0, a11b2 0; (V) a11x2 + c = 0, a11 0. 二次曲面的类型二次曲面的类型 第11页/共57页(一) 椭球面 1 椭球面: ; 1222222 czbyax 2 点: ; 0222222 czbyax 吕林根解析几何P278. 定理6. 6. 2 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一: 3 虚椭球面: ; 1222222 czbyax 二次曲面的类型 第12页/共57页(二) 双曲面 4 单叶双曲面: ; 122222

8、2 czbyax 5 双叶双曲面: ; 1222222 czbyax (四) 抛物面 7 椭圆抛物面: ; zbyax22222 (三) 二次锥面 6 二次锥面: ; 0222222 czbyax 二次曲面的类型 第13页/共57页(五) 二次柱面 9 椭圆柱面: ; 12222 byax 10 虚椭圆柱面: ; 12222 byax 11 一条直线: ; 02222 byax 8 双曲抛物面: ; zbyax22222 二次曲面的类型 第14页/共57页12 双曲柱面: ; 12222 byax 13 一对相交平面: ; 02222 byax 14 抛物柱面: ;pyx22 17 一张平面:

9、 . 02 x 15 一对平行平面: .,022 aax 16 一对平行平面: .,022 aax 二次曲面的类型 第15页/共57页用不变量判断二次曲面类型二次曲面的表示空间中二次曲面的一般方程为a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c(

10、)第16页/共57页则 11321333231322322121131211zyxcbbbbaaabaaabaaazyxzyx),(F 11zyxzyxA用不变量判断二次曲面类型第17页/共57页 (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 则 zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211),( zyxzyx0A用不变量判断二次曲面类型第18页/共57页记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1 F2(x, y, z) = a12x + a22y + a

11、23z + b2 F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3 F4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z + c 则 F(x, y, z) = xF1(x, y, z) + yF2(x, y, z) + zF3(x, y, z) + F4(x, y, z) 用不变量判断二次曲面类型第19页/共57页记 1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z 2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z 3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z 4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z

12、 则 (x, y, z) = x1(x, y, z) +y2(x, y, z) +z3(x, y, z) 用不变量判断二次曲面类型第20页/共57页I1 = a11 + a22 + a33, ,3323232233131311221212112aaaaaaaaaaaa I,33231333221213121103aaaaaaaaa AI二次曲面的不变量.|cbbbbaaabaaabaaa3213332313223221211312114 AI用不变量判断二次曲面类型第21页/共57页二次曲面的半不变量.cbbacbbacbba3333222211111 K.cbbbaabaacbbbaabaa

13、cbbbaabaa3233323223223133313113112122212112112 K用不变量判断二次曲面类型第22页/共57页P287. 定理6. 7. 3 给出二次曲面方程() , 则用不 变量和半不变量判别()为何种类型的充要条件是: 第(I)类曲面: I3 0; 第(II)类曲面: I3 = 0, I4 0; 第(III)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 0; 第(IV)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0; 第(V)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0. 用不变量和半不变量判断二次曲面的类型 用不

14、变量判断二次曲面类型第23页/共57页型别识别标志 类别 椭球面 一点 虚椭球面I4 0 椭 球 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0)P291. 定理6. 7. 5用不变量判断二次曲面类型第24页/共57页型别识别标志 类别 单叶双曲面 双叶双曲面 I4 0 I4 0 二次锥面 I4 = 0 双 曲 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0)二次锥面 (I3 0 I2 0 或 I1I3 0)用不变量判断二次曲面类型第25页/共57页型别识别标志 类别 椭圆抛物面 双曲抛物面 I4 0 抛 物 面 (I3 = 0 I4 0)用不变量判断二次曲面类型第26页/共57页型别二次柱面 (I3 =

15、 0 I4 = 0 I2 0)识别标志 类别 双曲柱面 一条直线 K2 0 椭圆柱面 K2 = 0 I1K2 0 I2 0, 虚椭圆柱面 I1K2 0, I2 0, I2 0, 一对相交平面 K2 = 0 I2 0 K2 = 0, K1 0 K2 0 二次柱面 (I3 = 0 I4 = 0 I2 = 0)一对虚平行平面 一对重合平面 用不变量判断二次曲面类型第28页/共57页P291. 定理6. 7. 4 设1, 2, 3 是二次曲面 () 的特征方程 |I A0| =3 I12 + I2 I3 = 0 的非零特征根, 则二次曲面 () 的简化方程如下: 第(I)类曲面: I3 0; 第(II

16、)类曲面: I3 = 0, I4 0; ; 034232221 IIzyx; 02242221 zyxII用不变量和半不变量化简二次曲面的方程 用不变量判断二次曲面类型第29页/共57页第(III)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 0; 第(IV)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0; 第(V)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0. ; 0222221 IKyx; 021221 yxIKI; 01121 IKI x用不变量判断二次曲面类型第30页/共57页例 1 设在空间直角坐标系下二次曲面有下列方 程, 判断其类型

17、, 并求其标准方程: (1) x2+y2+5z26xy2xz+2yz6x+6y6z+10 = 0; (2) 2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz4x+6y2z+3 = 0. 解: (1) 二次曲面的矩阵为 . A 10333351131133131(3) 4x2+y2+z2+4xy+4xz+2yz24x+32 = 0. 用不变量判断二次曲面类型第31页/共57页I1 = 1 + 1 + 5 = 7, , 04485111511113312 I,365111131313 I用不变量判断二次曲面类型第32页/共57页.36103333511311331314 I因为 I3 0, I2 =

18、 0, I4 0, 所以这是双叶双曲面. 解特征方程 3I12+I2I3 = 372 +36 = 0 得三个非零特征值 1 = 6, 2 = 3, 3 = 2, 用不变量判断二次曲面类型第33页/共57页因此二次曲面 (1) 的简化方程为: ; 034232221 IIzyx即 , 01236222 zyx故它的标准方程为 . 1213161222 zyx用不变量判断二次曲面类型第34页/共57页(2) 二次曲面的矩阵为 . A 3132131131222122I1 = 2 + 2 + 3 = 7, ,105503112311222222 I用不变量判断二次曲面类型第35页/共57页, 031

19、11221223 I. I12531321311312221224 因为 I3 = 0, I4 0, 则 l 和 有两个不同交点; 若 = 0, 则l 和 有两个重合交点; 若 0, 则 l 和 无交点, 但方程 () 有 两个共轭复根, 也称 l 和 有两个虚交点. 情形2 当(X, Y, Z) = 0 时, XF1(x0, y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0) 0, 则 () 为 t 的 一次方程, l 和 只有一个交点.二次曲面仿射特征度量特征第43页/共57页而F(x0, y0, z0) 0, 则 () 无解, l 和 不相交. XF1(x0,

20、 y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0)0, XF1(x0, y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0)0, 且F(x0, y0, z0) 0, 则 ()为恒等式, 于是任何实数 t 都是()的解, 从而整条直线 l 在二次曲面 上. 二次曲面仿射特征度量特征第44页/共57页二次曲面的渐近方向 定义 6. 2. 1 一个非零向量 u(X, Y, Z) 如果使得 (X, Y, Z) = 0 , 则称 u 所代表的直线方向为 的渐近方向. 否则, 称为非渐近方向.通过任意给定的点(x0, y0, z0), 且以二次曲面

21、()的任意渐近方向u (X, Y, Z)为方向的所有直线的 轨迹是一个以(x0, y0, z0)为锥顶的锥面: (x x0, y y0, z z0) 0. 二次曲面仿射特征度量特征第45页/共57页二次曲面的中心 定理 6. 2. 1 点M0(x0, y0, z0) 是二次曲面()的中心 的充要条件是M0的坐标 (x0, y0 , z0)是下面方程组 的解:.),(),(),( FFF 000333231332232212211312111bzayaxazyxbzayaxazyxbzayaxazyx称上述方程组为二次曲面()的中心方程组. 二次曲面仿射特征度量特征第46页/共57页中心方程组的

22、系数矩阵A和增广矩阵B分别为 332313232212131211aaaaaaaaaA 333231322322121131211baaabaaabaaaB二次曲面仿射特征度量特征第47页/共57页 R(A) = R(B) = 3, 中心方程组的系数行列式 , 03323132322121312113 aaaaaaaaaI方程组有唯一解, 二次曲面 () 有唯一中心; R(A) = R(B) = 2, 中心方程组有无穷多解, 这些 解可用一个参数线性表示, 因此二次曲面 () 有无穷多中心, 它们构成一条直线; R(A) = R(B) = 1, 中心方程组有无穷多解, 这些 解可用两个参数线性

23、表示, 因此二次曲面 () 有无穷多中心, 它们构成一个平面; 二次曲面仿射特征度量特征第48页/共57页 R(A) R(B) , 中心方程组无解, 因此二次曲面 () 没有中心.定义 6. 2. 3 有唯一中心的二次曲面叫中心二次 曲面; 否则称为非中心二次曲面, 其中没有中心的二次曲面叫无心二次曲面; 有无数中心且构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面; 而有无数中心且构成一个平面的二次曲面叫面心二次曲面. 推论 二次曲面()成为中心二次曲面的充要条件是 I3 0, 为非中心二次曲面的充要条件是 I3 = 0. 二次曲面仿射特征度量特征第49页/共57页二次曲面的径面和奇向 定理 6. 4.

24、 1 二次曲面 () 的一族平行于一个非渐近方向 u (X, Y, Z) 的弦的中点的轨迹是一个平面, 称为共轭于方向 u 的径面, 其方程为 XF1(x, y, z)+YF2(x, y, z)+ZF3(x, y, z)0 或 定理 6. 4. 2 二次曲面的任何径面一定通过它的 中心(假若中心存在的话). 推论1 线心二次曲面的任何径面通过它的中心线. 推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合. 1(X, Y, Z)x+2(X, Y, Z)y+3(X, Y, Z)z+4(X, Y, Z)=0. 二次曲面仿射特征度量特征第50页/共57页仍表示一个平面, 也称为共轭于方向 u 的径面.注:

25、 如果u (X, Y, Z)是二次曲面的渐近方向, 那么 平行于u 的弦不存在, 但如果1(X, Y, Z), 2(X, Y, Z), 3(X, Y, Z) 不全为零, 那么 定义6. 4. 2 满足i (X, Y, Z)=0, i =1, 2, 3 的渐近方向u(X, Y, Z)称为二次曲面的奇异方向, 简称奇向. 定理 6. 4. 3 二次曲面有奇向 I3 = 0. 推论 有且只有中心曲面没有奇向. 定理 6. 4. 4 二次曲面的奇向平行于其任意径面. 1(X, Y, Z)x+2(X, Y, Z)y+3(X, Y, Z)z+4(X, Y, Z)=0. 二次曲面仿射特征度量特征第51页/共57页二次曲面的主径面和主方向 定义6. 5. 1 如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向, 则称这个径面为二次曲面的主径面. 显然主径面就是二次曲面的对称面. 定义6. 5. 2 二次曲面的主径面的共轭方向, 或二次曲面的奇向, 称为二次曲面的主方向. 注: u (X, Y, Z) 成为二次曲面()的主方向 存在 , 使得.)(00 ZYXAI二次曲面仿射特征度量特征第52页/共57