定积分在物理上的应用最新课件

1、定积分在物理上的应用最新 第六章第六章 二、液体的侧压力二、液体的侧压力三、引力三、引力一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功第三节第三节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用最新 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW . . 如果物体

2、在运动的过程中所受的力是变化如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“的，就不能直接使用此公式，而采用“微元微元法法”思想”思想. . 一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新 xdxx 分割分割 ba,，取代表，取代表性的一份性的一份 dxxx , 在这一小区间上，变力所作的功可以在这一小区间上，变力所作的功可以 近似地看成恒力近似地看成恒力)(xF所作的功，则所作的功，则 dxxFdW)( badxxFW)(则则所所求求变变力力所所作作的的功功为为： 机动机动 目录目录 上页

3、上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数） ，当这个单位正电荷在电是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动到轴移动到 br 处时，处时，计算电场

4、力计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新解解取取r为积分变量，为积分变量， ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ， 功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄

5、水池一圆柱形蓄水池高为高为 5 5 米，底半径为米，底半径为 3 3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水. .问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？ 解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量， 5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 ( (千焦千焦) )机动机动 目录

6、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新例例 3 3 一一长长为为 2 28 8 米米，质质量量为为 2 20 0 公公斤斤的的均均匀匀链链条条，被被悬悬挂挂于于一一建建筑筑物物的的顶顶部部， 问问需需作作多多大大的的功功才才能能把把链链条条全全部部拉拉上上建建筑筑物物的的顶顶部部？ xdxx 28xy0解解建立坐标系如图建立坐标系如图取取x为为积积分分变变量量， 28, 0 x取取任任一一小小区区间间,dxxx , 此段对应的链条重此段对应的链条重（牛顿）（牛顿）dxg2820机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新

7、xdxx 28xy0功元素为功元素为xdxgdw 2820gxdx75 所求功为所求功为 28075gxdxw（焦焦耳耳）2744 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例4 4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1 1厘米，若每次锤

8、击所作的功相厘米，若每次锤击所作的功相等，问第等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 n 次击入的总深度为次击入的总深度为 h 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新S例例5.5.体体,

9、 , 求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所ox解解: :由于气体的膨胀由于气体的膨胀, , 把容器中的一个面积为把容器中的一个面积为S S 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点处移动到点 b 处处 ( (如图如图), ), 作的功作的功 . .ab建立坐标系如图建立坐标系如图. .xxdx 由波义耳由波义耳马略特定律知压强马略特定律知压强 p 与体积与体积 V 成反比成反比 , , 即即,Sxk Vkp 功元素为功元素为 WdxFdxxkd 故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpF xk 所求功为所求功为 baxxkWd baxk ln abkln 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

10、 返回返回 结束结束 力为力为在底面积为在底面积为 S S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 定积分在物理上的应用最新 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为ghp ，这里，这里 是水的是水的密度密度如果有一面积如果有一面积为为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，处，那么，平板一侧所受的水压力为平板一侧所受的水压力为ApP 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“就不能直接使用此

11、公式，而采用“微元法微元法”思想思想 二、水压力二、水压力机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新例例6 6.,4,20,3050, 记水的密度为记水的密度为的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系, ,的的方方程程为为则则梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy小小梯梯形形片片的的面面积积近近似似等等于于 小小梯梯形形片片上上各各处处

12、的的压压强强近近似似相相等等 )/(2mNgxp .)2321(2dxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛顿牛顿 此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为)/(10003mkg 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量， , 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx

13、小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等 小小矩矩形形片片的的面面积积为为 .222dxxR ,gxp 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为 dxxRgxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力 dxxRgxPR2202 )(22022xRdxRgR RxRg032232 ).(323牛顿牛顿Rg 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新 0arcsin22g4222RRxRxRxR ,d222xxR 说明说明: :当桶内充满液体时当桶内充满液

14、体时, , )(gxR 小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素 Pd故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为 RRxxRxRPd)(g222 奇函数奇函数3gR )(gxR RxxRR022dg4 tRxsin 令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxyRxxxd定积分在物理上的应用最新解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxgdP)(2)2( dxxaaxgPa 0)(2(2 .373ag 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等 )2(axgp xaaya2机动机动 目录目录 上页上

15、页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新三、引力三、引力机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新 a la2 xdxx 0mx解解分分割割2,laa ，取取具具代代表表性性的的一一份份,dxxx 将典型小段近似看成质点，其质量为将典型小段近似看成质点，其质量为dxlM2引力元素引力元素2)2(xdxlMmkdF dxxlkMm212 dxxlkMmFlaa 2212则则)2(laakMm 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新例例10.10. 设有一长度为设有一长度为 l, 线密度为线密

16、度为 的均匀细直棒的均匀细直棒, ,其中垂线上距其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,M该棒对质点的引力该棒对质点的引力. .解解: : 建立坐标系如图建立坐标系如图. .y2l2l,dxxx 细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为 dkF xm d 22xa 故垂直分力元素为故垂直分力元素为 cosddFFy a 22dxaxmk 22xaa 23)(d22xaxamk axox机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在试计算试计算FdxFdyFdxxd定积分在物理上的应用最新利用对称性利用对称性 223022)(d

17、2lxaxamkFy 02222lxaaxamk 22412laalmk 棒对质点引力的水平分力棒对质点引力的水平分力.0 xF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 22412llmkF aa定积分在物理上的应用最新此时引力大小为此时引力大小为y2l2laoxxxdx说明说明: :amk 22)2) 若考虑质点克服引力沿若考虑质点克服引力沿 y 轴从轴从 a 处处1)1) 当细棒很长时当细棒很长时, ,可视可视 l 为无穷大为无穷大

18、, ,方向与细棒垂直且指向细棒方向与细棒垂直且指向细棒 . .移到移到 b (a b) 处时克服引力作的功处时克服引力作的功, ,by balyyylmkW224d2 22412llmk yy Wdyd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有定积分在物理上的应用最新loxya cosd FyFd23)(d22xaxamk xFd23)(d22xaxxmk lyxaxamkF02223)(d lxxaxxmkF02223)(d 引力大小为引力大小为22yxFFF 22ddxaxmkF xxxdxFdyFd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 si

19、nd F注意正负号注意正负号3) 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时, , 定积分在物理上的应用最新利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新作业作业: :习题习题6-3(P287) 4 , 5 , 6，8，9 , 11定积分在物理上的应用最新思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的

20、总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？ 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分在物理上的应用最新思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

21、定积分在物理上的应用最新(99考研考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作作 x 轴如图轴如图.ox30 xxd1.为清除井底污泥为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口泥后提出井口,缆绳每缆绳每在提升过程中污泥在提升过程中污泥以以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为提升速度为3m /s , 问问克服重力需作多少焦耳克服重力需作多少焦耳( J ) 功功?已知井深已知井深30 m , 抓斗自重抓斗自重400N , 将抓起污泥的

22、抓斗由将抓起污泥的抓斗由机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 抓起污抓起污x 提升提升 dx 所作的功为所作的功为 米重米重50N ,定积分在物理上的应用最新提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重 400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为提升速度为3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1 克服缆绳重克服缆绳重:xxWd)30(50d2 抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxxWd)3202000()30(50400300 xxWd)3202000(d3 321ddddWWWW 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 克服抓斗自重克服抓斗自重: 定积分在物理上的应用最新xyoAB2. 设星形线设星形线taytax33sin,cos 上每一点处线密上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图如图.2222d)(d23yxsyxkF syxkd)(2122 cosdd FFxsyxxyxkd)(222221 sxkd sindd FFysykd ),(yx