【公开课】函数的奇偶性 教学设计-人教A版（2019）必修第一册

1、单元教学设计：322函数的奇偶性一、内容和内容解析1内容基于本校学生学情实际，本单元建议用2课时：第一课时，奇偶函数的定义与函数图象特征 、判断方法 ； 第二课时，奇偶函数综合应用及定义巩固2.课标解读1.函数的奇偶性的概念（理解）2.函数奇偶性的几何意义（了解）3.函数奇偶性的应用（掌握）3.学习指导1.学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义。2.实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示。4内容解析1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它是函数的整体性质，即要求定义域中任意一个自变量都具有这

2、样的特性。从“形”的角度，函数的奇偶性揭示了函数的整体图象与函数在y轴右侧的局部图象之间的关系；从“数”的角度，函数的奇偶性刻画了函数自变量与函数值之间存在的一种特殊的数量规律。2.从研究过程看，它延续了函数单调性的研究思想和方法，即给出几个特殊函数的图象，让学生获得函数奇偶性的直观定性认识；然后利用表格研究发现数量变化特征，最后用数量关系刻画函数的图象性质，在此基础上建立奇偶函数的概念。这也为后续进一步研究具体函数的性质提供研究的方法与角度。将上述研究过程概括起来就是：从函数的对称性引入组织探究：奇偶性剖析、定义域、代数特征、几何特征尝试练习巩固反思作业回顾系统小结3.从知识结构看，它既是函

3、数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数等各种基本初等函数的基础。因此，本单元起着承上启下的重要作用。4.从思想方法看，利用函数图象来研究函数奇偶性质的数形结合思想，贯穿于整个高中数学教学。奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本单元充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。基于以上分析，本单元的教学重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断二、目标和目标解析根据课程标准，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节课教学目标：1教学目标（1）借助函数图象，了解函数奇偶性的概念及几何意义（2）会运用概念判断函数的奇偶性（3）在抽

4、象函数奇偶性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用2目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道函数奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化。（2）会用函数奇偶性的定义，按一定的步骤证明函数的奇偶性。（3）初中阶段学生对于函数的学习侧重于直观形象和定性讨论，而高中阶段研究函数，侧重于数形结合和符号逻辑语言结合，用精确的量化（符号）语言、形式推理来刻画变量之间关系和规律，即通过形式化、符号化来使函数性质数学化，在数学化的过程中培养学生的直观想象、抽象概况等思维能力和素养，感受数学符号语言的魅力。三、教学问题诊断分析1

5、.学情分析学生在初中阶段已经学习轴对称图形，中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也非常熟悉。学生对函数及对称图形有一定的知识储备，结合已经学习的函数单调性，在前面经历过探究和学习函数单调性的过程，对于根据函数的图象转化为数字特征并抽象为数学概念有了初步认识。2.可能出现的问题由于初步接触，学生奇偶函数概念本质认知有一定的困难，虽然对具体函数，能够观察函数图象，描述图象的对称性，能从数量关系上对函数的对称性进行初步刻画，但学生并不明确数与形转化的过程，即为什么对于定义域内任意，当满足或时，函数图象关于y轴对称或关于原点对称，导致学生在判断过程中出现出现瑕疵通过函数单调性

6、的理解和学习，学生初步积累了研究函数的基本方法与初步经验，学生接触到了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，这些对本节内容刚开始的引入和概念形成起到了很好的铺垫作用。但学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力还较弱，我们必须引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识。学生分析、归纳、抽象的思维能力还比较薄弱，需要通过恰当的培养和引导使学生的分析归纳能力得到提高基于以上分析，确定本节课的教学难点：对关系式（或）的理解3.教学、学法借助多媒体和几何画板软件 以问题为中心，以探索问题为主线展开，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式四、教学过程设计322 函数的奇偶性(

7、1)(一) 情景导入我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是“变化中的规律性，变化中的不变性”上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大（小）值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质，本节课，我们继续研究函数的其他性质（二）概念的形成问题1：平面直角坐标系中的任意一点关于x轴、y轴、坐标原点的对称点Q、R、S的坐标追问：一般地，若两点关于x轴对称，它们的坐标之间有何关系？若关于y轴对称呢？关于原点中心对称呢？设计意图：从学生已学知识复习导入，通过具体的点引导学生感受对称与坐标的关系，为后续奇偶性定义中的任意性做一些铺垫问题2：画出并观察函数

8、和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT展示函数图象学生观察后，不难发现，这两个函数的图象都关于y轴对称那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征？所以，教师继续追问追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等 追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以为例，其定义域为R对于定义域R内任意的一个x，都有，与均有意义因为，所以是成立的同样的，验证函数，结论依然成立设计意图：通过观察函数的

9、图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数问题3：从偶函数的定义出发，如何证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述充分性：设是函数图象上任意一点，则因为函数的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点也在函数图象上，即所以对任意的x，都有，所以函数是偶函数必要性：设是函数图象上任

10、意一点，则记点P关于y轴的对称点为Q，则因为函数是偶函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于y轴对称问题4：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：教师利用PPT展示函数图象，学生观察图象后回答问题不难发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征？所以，教师继续追问追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值与也是一对相反数追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗

11、？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以为例，定义域为R对于定义域R内任意的一个x，与均有意义因为，所以是成立的同样的，验证函数，结论依然成立设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数当函数是偶函数或奇函数时，称具有奇偶性问题5：从奇函数的定义出发，如何证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流教师积极地引导学生尝试探索，在充分交

12、流的基础上，教师给出严格的定义表述该问题类比问题2的证明过程充分性：设是函数图象上任意一点，则因为函数的图象关于原点对称，所以点P关于原点的对称点为也在函数图象上，即所以对任意的x，都有，所以函数是奇函数必要性：设是函数图象上任意一点，则记点P关于原点的对称点为Q，则因为函数是奇函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于原点对称（三）概念的辨析问题6：判断下列函数的奇偶性：（1）； （2），； （3），； （4），师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活

13、动，得出结论我们不难发现，（1）、（4）中每一个x、-x同时属于定义域，所以与都有意义而（2）、（3）中则无法满足每一个x、-x同时属于定义域，所以与无法满足都有意义师生共同得出结论：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称，则可直接判断其为非奇非偶函数追问：奇函数若在处有定义，师生活动：因为为奇函数，所以，（四）概念的深化例1 判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善解：（1）函数的定义域为R因为，都有，且，所以，函数为偶函数（2）函数的定义域为R因为，都有，且

14、，所以，函数为奇函数（3）函数的定义域为因为，都有，且，所以，函数为奇函数（4）函数的定义域为因为，都有，且，所以，函数为偶函数（5）函数的定义域为R因为，都有，且，所以，函数为非奇非偶函数另解：函数为初中阶段所学的二次函数，显然，其对称轴为函数图象如右：故函数为非奇非偶函数（6）由函数解析式可得定义域为因为，都有，且，所以，函数为奇函数另解：函数图象如右：从图可知，函数图象关于原点对称，故是奇函数追问：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义

15、域是否关于原点对称；第二步，确定与的关系；第三步，作出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”；三是通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数例2 （1）判断函数的奇偶性（2）如右图，是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？师生活动：本例由学生独立思考，完成后教师再进行点评完善（1）奇函数；（2）图象如右设计意图：通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步

16、理解函数的奇偶性。所以，我们在研究函数性质时，只需要研究定义域的一半部分知一半则可知全部，即缩小研究的范围，从而达到“事半功倍”的效果，提高解题效率（五）概念的巩固应用1下列图象表示的函数具有奇偶性的是（ ）解析：B选项函数图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数其他选项的函数图象都不具有奇偶性答案：B设计意图：让学生直观地通过函数图象的对称性判断偶（奇）函数2判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力3函数，是奇函数，则a等于（ ）A B C D无法确定解：奇函数

17、的定义域关于原点对称， ， 设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解（六）单元小结、布置作业教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）偶函数与奇函数的定义（2）利用定义判断函数奇偶性的基本步骤是什么？定义法： 图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数 （3） 升华本节内容，引导学生用数学的眼光观察世界。使用多媒体展示图片，让学生体会对称带给我们的和谐美，数学之美。五、目标检测设计1.在教学过程中，紧扣本节课重难点，小组成员讨论交流，归纳总结，学生代表上台演讲，构建知识网络，形成初步理解。2.进行现场限时巩固练习，自主完成，小组交流，教师巡视，个别辅导，考查学生对函数定义的掌握情况，及时查漏补缺。3.利用学生练习错误，收集反馈信息，现场演示，形成思维冲击，引起学生的质疑与兴趣，从而形成正确认知。4.作业