国立台南大学数学教育系课件

1、 因數 vs 倍數 國立臺南大學數學教育系 謝 堅2是不是0.1的倍數？4是不是2的倍數(2倍)?2是不是4的倍數(0.5倍)？ 倍數有兩種意義:兩個數量之間的(倍數)關係： 例如：0.2的10倍是2，2是4的0.5倍， 這種倍數關係是比值的概念。整數的因數與倍數：例如：12、24、60都是6的倍數。 討論兩個數量的倍數關係時，這兩個數量可以是分數、整數或小數。 這兩個數量也可以有分數倍、整數倍或小數倍的關係。 0.2公斤是0.5公斤的0.4倍。5倍是比值的概念：甲是乙的5倍，指的是當基準量乙為1時，比較量甲是5。 5倍是等價類：10是2的5倍，7是1.4的5倍，2是2/5的5倍，2.5是0.

2、5的5倍。 何謂因數？何謂倍數？ 人們為什麼要發明因數與倍數？ 學會因、倍數對我們有那些幫助？ 數學上因、倍數的定義：是的因數(是的倍數) ，都是整數。 。 存在一個整數，使得 。 為什麼要規定？(整數)的因數與倍數：想要透過整數的乘法性結構來探討整數之間的關係。針對一個整數12： 2可以乘法性的組成12，所以2就是12的因數。 12可以乘法性的組成24，所以24就是12的倍數。 0是不是偶數？0.2是不是偶數？3.0是不是偶數？ 何謂奇數？何謂偶數？ 數學上如何給奇、偶數下定義?2的倍數就是偶數，不是2的倍數的整數就是奇數。 是不是的倍數？ b=aq (a=2，b=0，q=0) 國小、國中、

3、高中階段如何定義 奇數與偶數？因數因數問題是指定一個正整數，詢問以哪些正整數為單位量，可以乘法性地合成這個指定的正整數。12個蘋果想要分裝成幾袋，讓每一袋的蘋果一樣多，可以有那些分法? 可以分成多少袋? 每一袋可以有幾個蘋果?2袋、2個蘋果，那個是因數概念?以2(個蘋果)為單位量，可以乘法性地合成12(個蘋果)，所以2是12的因數。以5 (個蘋果)為單位量，不可以乘法性地合成12 (個蘋果) ，所以5不是12的因數。2可以乘法性組成12(2的6倍是12)，因此2是12的因數，此時6也是12的因數嗎？有那些能力後學童可以理解2是12的因數，6也一定是12的因數? 倍數問題是指定一個正整數做為單位

4、量，詢問以此正整數為單位量可以乘法性地生成哪些正整數。以12為單位量，可以乘法性地合成24、36，所以24、36都是12的倍數。教師應澄清倍數的二種意義。如何引入因數與倍數? 國小階段如何定義因數與倍數? 國中階段如何定義因數與倍數? 高中階段如何定義因數與倍數? 國小階段國小階段： 分別引入因數與倍數的意義，再幫助學童發現兩者間的關係。 高中階段高中階段： 只定義一次，將因、倍數視為相同的意義，是的因數，也可以說是的倍數。 國中階段國中階段： 如何引入因、倍數的定義較恰當？何謂質數？何謂合數？人們有了因數概念後，為什麼還要引入質數？引入質數有那些幫助？為什麼1不是質數? 可以由加法性結構來討

5、論二個數的關係，也可以由乘法性結構來討論二個數的關係。例如：6比2大4。6是2的3倍。 可以由加法性結構來討論一個數的組成方式，也可以由乘法性結構來討論一個數的組成方式。 由加法性結構討論一個數的組成：12是由12個1合起來組成的。38是由30和8合起來組成的。42是由4個10和2個1合起來組成的。 國小中、 低年級的學童，比較習慣由加法性結構來探討一個數的組成關係。 由乘法性結構討論一個數的組成：12是由2個6合成的。 12是由4個3合成的。 12是由223組成的。 3和6等都是乘法性組成12的元素，也就是12的因數。2和3是乘法性組成12的基本元素，也就是12的質因數。 高年級開始學習因數

6、與倍數，以及比與比值希望學童能由乘法性結構來探討整數之間的關係。暫行綱要只討論兩個數之間的關係，也就是說，只討論那些因數可以乘法性的組成12，12可以乘法性的組成那些倍數。 當學童能掌握由乘法性組成元素來討論一個整數的意義時，可以開始引入乘法性組成基本元素(質數)的概念。因數是組成一個整數的元素，質數是組成一個整數的基本元素。 暫行綱要在國中階段才開始討論那些基本元素（質數概念）可以乘法性的組成一個數，更方便的探討整數之間的關係，讓解題更有效率。國小階段只討論12與一個數的關係：1262，6是12的因數。12224，24是12的倍數。國中階段開始討論12是由那些基本元素（質數概念）乘法性組成。

7、12223開始討論因數與倍數。請區分下列名詞的意義：因數分解 vs 質因數分解樹狀圖 vs 短除法因數 vs 質因數質因數分解法vs 短除法因數分解是尋找一個整數的乘法性組成元素，而質因數分解是尋找一個整數的乘法性組成基本元素。123412223 26 1不是質數1121是12的因數利用質因數分解，就能夠透過乘法性的基本元素(質數)來判斷兩個整數是否相等，或透過兩個整數間基本元素的關係，更有效率的找出(最大)公因數或(最小)公倍數。 何謂短除法？ 那些問題可以用短除法幫助解題？ 為什麼可以透過短除法求最大公因數或最小公倍數？ 可以透過短除法求出一個整數所有的因數嗎? 國小學童是否能夠理解短除法

8、解題的意義?透過樹狀圖或短除法引入因數分解，何者比較恰當（例如48)?透過樹狀圖或短除法引入質因數分解，何者比較恰當（例如48)?為什麼是任意整數的乘法性組成元素(因數)，但是不是乘法性組成的基本元素(質數)?為什麼是12的因數，但是不是12的質因數?如果將當做乘法性的基本元素(質數)，會讓組成同一個整數的基本元素方式不唯一，對找出二個整數共同的基本元素沒有幫助，因此數學上將排除在質數之外。 1234322 3221 322111 如何求兩個數的(最大)公因數或 (最小)公倍數？國小階段： 利用乘法性組成元素的概念(兩個數的關係)，透過嘗試錯誤，找出所有的因數或部份範圍內的倍數，再透過比較活動

9、得到答案。 國中階段： 利用乘法性組成基本元素(質數)的概念，將這些整數質因數分解，透過找出共同組成這些整數的基本元素(最大公因數) ，或組成這些整數的最少基本元素(最小公倍數)得到答案。最大公因數：以(18，24)？為例：國小階段：找出所有的公因數，再透過比較活動找出最大的公因數：公因數是：1、2、3、6； 所以最大公因數是6。 國中階段： 透過質因數分解，尋找組成這些整數共同的基本元素大公因數是23。 為什麼23是最大公因數?30235的因數有那些?1是30的因數。2、3、5是30的因數。23、25、35是30的因數。235是30的因數別

10、找出18和24的因數(連乘積)，就可以知道23是最大公因數。 有足夠解題經驗後，就會發現最大公因數是兩數共同質因數的乘積。 成人常使用質因數分解法或短除法解決求最大公因數或最小公倍數的問題，這兩種解題的方式有那些相同處，有那些不同處？ 短除法求最大公因數：2）18 24 3）9 12 3 4國小學童知道2、3都是兩數的公因數，但無法理解為什麼23會是最大公因數？國、高中的學童能理解嗎? 質因數分解法求最大公因數：18 233242223短除法求最大公因數：2）18 24 3）9 12 3 4 學童應該先學會質因數分解法、還是先學會短除法? 短除法是使用質因數分解法求最大公因數時的摘要記錄。如果

11、學童不會判斷2、3、5等數的倍數，短除法無用武之地。 何謂輾轉相除法？ 它可以解決那些問題？ 國小階段適合引入嗎？. (a，b)(b，r)(12、20)(12、2012) 假設甲是12和20的公因數，甲一定是(2012)的公因數。(12、20)(12、2012)(12、8)(128、8)(4、8)4 12 20 1 8 12 1 4 8 8 2 0用短除法求15，20，30時， 可以先提公因數10嗎？ 用短除法求21，20，30時， 可以先提公因數10嗎？ 可以先提質因數7嗎？ 你怎麼知道做法是正確的？15，20，30=？國小階段： 利用整數倍關係，找出部份範圍的公倍數，再透過比較活動，找出最

12、小公倍數。 先依序求出某一個整數的倍數，並判斷是否為其它整數的倍數。國中階段:透過質因數分解，尋找最少可以組成這些數的乘法性基本元素。 最小公倍數是。短除法: 3）15 20 30 5）5 20 10 2）1 4 2 1 2 1 最小公倍數是。質因數分解法與短除法的關係：短除法，只是使用質因數分解法求最小公倍數的摘要記錄。學童應該先學會質因數分解法，還是先學會短除法?國小學童能理解短除法的意義嗎？ 用短除法求15，20，30時，可以先提公因數10嗎？ 因為短除法是使用質因數分解法解題的記錄，因此使用短除法求最小公倍數時，概念上只能提質因數。2 2）20 3020 30 1010）20 3020

13、 30 5 5）10 1510 15 2 32 3 2 32 3 可以將二次提質因數的過程，摘要的使用一個算式(步驟)記下來。先提公因數10時，為什麼答案會變成300(正確答案60的5倍)？10）15 20 30 10）15 20 30 3）15 2 3 3) 3 2 3 5 2 1 1 2 1你接受右邊的記法嗎?用短除法求21，20，30時， 可以先提公因數10嗎？ 可以先提質因數7嗎？ 你怎麼知道做法是正確的？甲=235乙=23 7丙=235丁=2 711 先提2最有效率，先提7最沒有效率。請區分不能不能與沒有效率沒有效率。18，24？國小階段：找出某個範圍內的公倍數，再透過比較活動找出最

14、小的公倍數：18的倍數：18、36、54、72； 24的倍數：24、48、72、96； 所以最大公因數是72。國小階段：先找出某一個數的倍數，再判斷是否為另一個數的倍數：18的倍數：18、36、54、72；18、36、54不是24的倍數；72是24的倍數，所以72是兩數的最小公倍數。 質因數分解法求最小公倍數:18 233242223最小公倍數(23)223為什麼最小公倍數是(23)223?18 2 2 3 3324222 2 3 3(2223)2是18的倍數?(2223)3是18的倍數?(2223)3是18的倍數，所以是兩數的最小公倍數。7535 520 52230352(352)2是75和

15、20的倍數嗎?(352)5是75和20的倍數嗎?(352)25是75和20的倍數嗎?有一些蘋果，3個一數，5個一數，都可以數完，最少有多少個蘋果？有一些蘋果，平分成3堆可以分完，平分成5堆也可以分完，請問最少多少個蘋果？為什麼這兩個問題都可以透過求最小公倍數的方式得到答案？ 三個一數可以數完。 平分成三堆，剛好分完。 意義是否相同？ a，b是整數，試找出：ab，(a,b)，a,b的關係?ab=(a,b)a,b。a，b，c是整數，試找出abc， (a,b,c) ，a,b,c的關係?何謂兩數互質?a，b兩數互質 (a,b)=1 何謂三數互質?a，b，c三數互質 (a,b,c)=1 上述定義合理嗎?

16、 (a,b)=(b,c)=(c,a)=1 a，b，c兩兩互質。 (a,b,c)=1 a，b，c三數沒有共同的質因數。(a,b)(b,c)(c,a)=1時(a,b,c)1 a,b,cabc(a,b,c) a,b,cabcaad，bbd，ccd(a，b)(b，c)(c，a)1(a,b,c)da,b,cabcd(a,b,c) (a,b,c) a,b,cad,bbd,ccd(a,b)p(b,c)q(c,a)r(a,b,c)da,b,c(abcd)/(pqr)(a,b,c) (a,b,c) a,b,c pqr ThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiR

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