平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 入、尼，使a=入iei+茏e2.其中，不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a = (xi, yi), b= (x2, y2)，贝Ua + b= (xi + x2, yi + y2), a b = (xi X2, yi y2), ?a =(入 i,入 y , | a| = jx2+ y2.向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(xi,

2、yi),B(X2,y2)，贝UAB=(x2 Xi,y2 yi),| AB| = /_x2 xi2+y2yi_ .3.平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b=(X2, y2)，其中 b 工/ b? xiy2 x2yi = 0.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打 “、或“X) ”(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(X)在 ABC中，向量AB, Efc的夹角为/ ABC.(X)若a, b不共线，且 2ia+= 2ea + Qb，U刀=尼，皿=q(V)(4) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示(V )一xi yi(5) 若

3、a=(xi，yi)，b= (x2，y2)，贝Ua IIb的充要条件可表示成= y2.( X )X2 y21(6) 已知向量 a= (1- sin 0，1)，b= (?，1 + sin 0)，若 a I b,贝U e等于 45.( X )2. 已知点 A(6,2)，B(1,14)，则与AB共线的单位向量为 殓亠512512答案(153,面或(153，-解析 因为点A(6,2)，B(1,14)，所以 AB= (- 5,12)，|AB| = 13，与AB共线的单位向量为= 士3（ 5,12） |AB| 13（，）士-15312，7?.3. 已知A(- 3,0), B(0,2) ,0为坐标原点， 点C

4、在/AOB内，| oC| = 2逼，且/AOC= 丁，设 比= 皿+ OB(圧R),贝0入的值为答案3 解析过C作CE! x轴于点E(图略).n由/ AOC=知 OE= CE= 2,4所以 OC= OE+ OB= QA+ OB,即OE=毬A,2 所以(-2,0) = K- 3,0)，故入=3.4. 在?ABCD中，AC为一条对角线， AB= (2,4), AC= (1,3)，则向量BD的坐标为 .答案(3，- 5)解析 / AB+BC= AC, bC= AC-AB= (- 1 , - 1),/. BD= AD-AB=bC- AB= (-3,- 5)._2 _i _| AC5. 在平面直角坐标系

5、中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC= 3OA+ OB,W =3 3|AB|1 答案3解析/ OC= 一OA + _OB,33 OC- OA=- 3oa+ 2oB=壬宛一OA), AC= 3AB, - J-AC =13333| AB| 3题型一 平面向量基本定理的应用在厶ABC中，点P是AB上一点，且CP=CAA+ -CB, Q是BC的中点，AQ与CP的交点为 M，又CM = tC,试求t的值.思维启迪 根据题意可选择 aB，ac为一组基底，将CM，cP线性表示岀来，通过 cM = tCP键立关于 t的方程组，从而求岀t的值.解/ cP= fcA+ -cb,3CP= 2CA+ Cb,即 2

6、CP- 2CA= Cfe- CP, 2Ap= PB,即P为AB的一个三等分点（靠近点A）,如图所示A, M , Q三点共线,设 CM = xCQ + (1 x)CA= 2CB+ (x 1)AC, 而 CB= AB AC,.CM = *AB+(2 1)AC.又 CP= AP Ac= a|-AC,由已知CM = tCP可得，|ab+ (X 1)AC= t(3AB AC),3，解得t=3.思维升华 平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同 一向量用同一组基底的两种形式表示岀来，因此根据表示的唯一性”可建立方程组求解如图，在 ABC中,_t 1 _t_tAN= 3NC

7、, P是BN上的一点，若 AP3mAB +謨，则实数m的值为解析设 | BP| = y, | PN|X,则 AP= an + Np=aC bN,4 x + yx+ y，t t t t yAP= AB+ BP= AB+-tx -ty X y + X X 得AP= X7yAB+ 4 x y AC,人 y283令4 x+ y = 11，得尸3x,代入得m =后.题型二平面向量的坐标运算已知 A(1， 2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求 AD2BD3BC；设cm=3cA, cN=- 2BC,求mN及m、n点的坐标思维启迪(1)直接计算aD、bD、北的坐标，然后运算;(2)根据向量

8、的坐标相等列方程求点M, N 的坐标 .解(1)TA(1, 2), B(2,1), C(3,2), (- 2,3), AD= (- 2 - 1,3 + 2) = (- 3,5),BD= (- 2-2,3 - 1) = (-4,2),BC= (3- 2,2 - 1)= (1,1),AD+ 2BD 3BC= ( 3,5) + 2( 4,2) 3(1,1)=(3 8 3,5 + 4 3)= ( 14,6).(2)v CM= 3CA, CN= 2BC,MN = CN CM = 2 bC 3CA= 2 bC+ 3AC,由 A、B、C、D 点坐标可得 Ac= (3,2) (1, 2)= (2,4).MN

9、= 2(1,1) + 3(2,4) = (4,10).设 M (xM , yM ), N (xN, yN).又 CM = 3CA OM OC= 3(OA OC), (xm , yM)(3,2) = 3(1， 2)(3,2) = ( 6, 12).xm = 3, yM = 10,M ( 3, 10).又CN= 2bC,I卩 ON oC= 2BC,. (xN，yN)(3,2)= 2(1,1)，. xN= 1，yN= 0，. N(1,0).思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、 减、数乘运算法则进行 .若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法

10、则.已知 A( 2,4), B(3, 1), C( 3 , 4).设 AB=a, BC= b, CA= c,且 CM = 3c, CN= 2b,(1) 求 3ab 3c；(2) 求满足a= mb +nc的实数 m, n；求M、N的坐标及向量 MN的坐标.解 由已知得 a= (5 5) b= (6 3)c= (1,8).(1) 3a + b 3c= 3(5 , 5) + ( 6 , 3) 3(1,8) =(15 6- 3 , - 15 -3 24)= (6，- 42).(2) v mb + nc= ( 6m +n, 3m+8n),- 6mn= 5， 3m8n= 5,m= 1,解得n= 1.设0为

11、坐标原点，/ CM = OM C= 3c, OM = 3c+ 0C= (3,24) + ( 3 , 4)= (0,20). M (0,20).又/ CN= ON 0C= 2b ,ON= 2b + 0C= (12,6) + ( 3, 4) = (9,2), N(9,2). MN = (9, 18).题型三 向量共线的坐标表示3(1)已知梯形 ABCD,其中 AB/ CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2)，则点D的坐标为 .(2)已知向量 a= (3,1), b= (1,3), c= (k,7),若(a c) / b，贝U k=.思维启迪(1)根据向量共线列

12、式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案 (1)(2,4)(2)5解析 (1)T 在梯形 ABCD 中，DC= 2AB, / DC= 2AB.设点D的坐标为(x, y),则 DC= (4,2) (x , y)= (4 x,2 y),AB= (2,1) (1,2) = (1, 1),(4 x,2 y) = 2(1 , 1),即(4 x,2 y)= (2 , 2),4 x = 2x= 2，解得，故点D的坐标为(2,4).2 y = 2y= 4(2)依题意得 a c= (3,1) (k,7) = (3 k, 6),又 T (a c) / b ,3 k 6故= 丁，- k = &思维升华(1)

13、两平面向量共线的充要条件有两种形式： 若a=(X1 , y1) , b= (x2 , y2),则a / b的充要条件是 X1y2 x2y1= 0；若a / b(a工0 ,贝U b= 2a.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.2已知向量 a= (1,2), b = (1,0), c = (3,4).若入为实数，(a+力)II c,贝9入=.(2)已知向量 OA= (3， 4), OB= (6, 3), OC= (5 m , 3 m),若点 A、B、C 能构成二角形， 则实数m满足的条件是 .答案? (2)m f

14、解析 (1)v a= (1,2), b = (1,0),a + 2b = (1,2) + 1,0) = (1 + 入 2),由于(a+ Zb) II c,且 c= (3,4),14(1 +一6= 0,解得 2=云(2)因为 OA= (3, 4), OB= (6， 3), OC= (5 m， 3 m),所以 AB= (3,1), BC= ( m 1 , m).由于点A、B、C能构成三角形，所以AB与 BC不共线，而当AB与 BC共线时，有J =丄，解得m = m 1 m2故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是 m 方法与技巧1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将

15、向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键 2平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a = (xi, yi), b=(x2,y2)，贝aIIb的充要条件是a =Zb,这与xiy2X2yi = 0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范1. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方 向相同、相反两种情况.X1 yi2. 若a = (xi，yi)，b = (X2，y2)，贝U a II b的充要条件不能表示成疵

16、=y2，因为X2，y2有可能等于0，所以应表示为xi y2 X2yi = 0.、填空题1. (2012 广东改编)若向量 BA= (2,3) , CA= (4,7)，则 BC=.答案(一2, 4)解析 由于 BA= (2,3), CA= (4,7),所以 BC=bA+ AC= (2,3) + ( 4, 7) = ( 2, 4).2. 在 ABC中，点P在BC上，且BP= 2元，点Q是AC的中点，若PA= (4,3), PQ= (1,5)，则BC=答案(6,21)解析bC= 3PC= 3(2 PQ PA)=6PQ- 3PA= (6,30) (12,9)=(6,21).1 13. 若三点 A(2,

17、2), B(a,0), C(0, b) (ab 工 0共线，则：+ b的值为1 答案丄2解析AB= (a 2, 2), AC= ( 2, b 2),依题意，有(a 2)(b 2) 4= 0 ,111即 ab 2a 2b = 0,所以 一+ -= 一a b 24. 如图，在 OAB中，P为线段AB上的一点，OP= xOA+yOB,且BP=2PA,贝 U x =2 1答案3 1解析由题意知op= Ob+bP,又 BP= 2PA, 所以 op= Ob+ -ba= Ob+(oa Ob)=；oa+；ob,所3 3335. 已知A( 3,0), B(0 , .3), O为坐标原点，C在第二象限，且 / A

18、OC= 30 OC=入0A+ OB,则实数入的值为,答案1解析 由题意知 OA= ( 3,0) , OB= (0,. 3),则 OC= ( 3 入 3),由/ AOC= 30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为 150, tan 150 二当,即-粤警，二匸 1.6. 已知向量 a = (1,2), b = (x,1), u = a+ 2b, v= 2a b，且 u II v，则实数 x 的值为1答案2解析 因为 a = (1,2) , b= (x,1), u = a + 2b, v= 2a b,所以 u = (1,2) + 2(x,1)= (2x + 1,4),v = 2(1,2)

19、 (x,1)= (2 x,3),又因为 uI v，所以 3(2x + 1) 4(2 x) = 0,1即10x= 5，解得x= 27. (2013 江苏)设 D, E 分别是 ABC 的边 AB, BC上的点，AD = AB, BE= -BC若 dE=刀AB+，AC(,，为实数)，贝U ，+,的值为解析 如图，DE= DB+ BE= 1AB+ |bC= AB* 3 (AC AB) = *ab+|aC,贝U，= 6, ,= 3, ，+ ,=2.36328. 在 ABC 中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若 p= (a+ c, b), q = (b a, c a),且 p I

20、q, 则角C=.答案 60解析 因为 p I q，则(a+ c)(c a) b(b a)= 0,所以 a2 + b2 c2= ab,a2 + b2 c2 = 12ab= 2,1结合余弦定理知，cos C= $,又 0C180, C= 60.二、解答题9. 已知 A(1,1)、B(3, 1)、C(a, b).(1)若A、B、C三点共线，求 a、b的关系式;若AC= 2AB,求点C的坐标.解 (1)由已知得 AB= (2, 2), AC= (a 1, b 1)./ A、B、C三点共线， AB I AC,2(b 1) + 2(a 1) = 0，即卩 a + b = 2.(2)t AC= 2AB, (

21、a 1, b 1) = 2(2， 2),a 1 = 4b 1 = 4a = 5，解得点C的坐标为(5, 3).10. 如图，G是厶OAB的重心，P, Q分别是边 OA、OB上的动点，且P, G, Q三点共线.(1)设PG= 2PQ,将OG用入OP, OQ表示；_1 1 设 OP= xOA, OQ= yOB,证明：1+1 是定值.(1)解 OG= OP+ PG= OP+ ZPQ= OP+ (OQ OP)=(1 rOP+ 泌证明一方面，由(1), 得OG= (1 ROP+ ?oQ= (1 2)xOA + 入 QB;另一方面，/ G是厶OAB的重心， OG= 3OM = 3E(oA + OB)=知+

22、 3OB.11 一入 x= 3,3 而OA, OB不共线，由，得1 入=3解得1_= 3入 y11 ;+厂3(定值).备用题1. 设向量a, b满足| a| = 2诉，b= (2,1)，且a与b的方向相反，贝U a的坐标为 . 答案(一4, 2)解析/ a与b方向相反，可设a=力(20, b0, O 为坐标原点，若 A、B、C 三点共1 2线，则一 + J的最小值是a b答案 8解析据已知得AB/ AC,又 AB= (a 1,1), AC= ( b 1,2),2(a 1) ( b 1) = 0,2a + b = 1,12 2a + b 4a+ 2b+ 一=计a bab,b 4ab 4a a=4

23、a，即 a二 1，bAfV 口 等号，4+a+ 石 *2 寸a8, 当且仅当1 2a+2的最小值是8.3. 已知 ABC中，点D在BC边上，且CD= 2DB, Cb= rAB+sAC,则r + s的值是 答案 0解析/ db= Ab- Ad,cd= Ab- Db- aC= Ab-AC,3212/. 2CD= AB- AC, . CD= 3AB-3AC._11122又CD= rAB + sAC,二 r = _, s=-,33r + s= 0.4. 已知A(7,1)、B(1,4)，直线y= 2ax与线段AB交于C,且AC= 2盹，则实数a=.答案 2解析 设 qx, y),则 AC= (x- 7,

24、 y- 1), Cb= (1 - x,4 -y),T T x- 7 = 2 1 xx= 3/ AC= 2CB,.，解得y- 1 = 24-yy = 31 C(3,3).又 TC在直线 y= ax 上,1 3 = a 3, a= 2.5. 设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=皿2(圧R),A1A4=PAA21 1(让R),且一+一= 2 ,则称A3, A4调和分割A1, A2.已知点C(c,0), D(d,0)(c, d R)调和分割点 A(0,0), 入卩B(1,0)，则下面说法正确的是 .(填序号) C可能是线段 AB的中点； D可能是线段 AB的中点； C, D可能同时在线段 AB 上; C, D不可能同时在线段 AB的延长线上.答案解析 依题意，若 C, D调和分割点 A, B,则有AC= ZAB, AD=吩B,且1 + - = 2.若C是线段AB 入卩的中点，则有aC=玮，此时对.当C, D同时在线段 AB上时，由AC=