第五章 平稳时间序列模型建立

1、引言：对平稳时间序列建立模型一般要经过以下几步：1.模型识别：根据系统性质，以及所提供的时序据的概貌，提出一个相适的类型的模型、模型的定阶等。2.模型参数估计：就是根据实际的观测数据具体地确定该数学模型所包含的项数以及各项系数的数值。3.模型的诊断检验：包括模型的适应性检验等。4.模型的应用：如预测。本章主要介绍前三部分的内容。第五章 平稳时间序列模型的建立第五章 平稳时间序列模型的建立第一节 平稳时间序列模型的识别第二节 模型的定阶第三节 ARMA模型参数估计第四节 模型的诊断检验第五节 建模的其它方法第五节 平稳时间序列模型实例第一节 平稳时间序列模型的识别一、模型识别前的说明二、模型识别

2、方法返回本节首页下一页上一页一、模型识别前的说明（一）关于非平稳序列（一）关于非平稳序列本章所介绍的是对零均值平稳序列零均值平稳序列建立ARMA模型，因此，在对实际的序列进行模型识别之前，应首先检验序列是否平稳，若序列非平稳，应先通过适当变换将其化为平稳序列，然后再进行模型识别。返回本节首页下一页上一页序列的非平稳包括均值非平稳和方差非平稳。均值非平稳序列平稳化的方法：差分变换。方差非平稳序列平稳化的方法：对数变换、平方根变换等。序列平稳性的检验方法和手段主要有：序列趋势图、自相关图、单位根检验、非参数检验方法等等。单位根检验定义通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性

3、方法 DF检验 ADF检验 PP检验DF检验假设条件 原假设：序列非平稳 备择假设：序列平稳检验统计量 时 时110：H110：H11) 1 , 0()()(1111NSt渐近11)(111SDF统计量 时 时1111) 1 , 0()()(1111NSt渐近1021011)()()()(1drrWrdWrWS极限DF检验的等价表达等价假设检验统计量100110其中：HH) (SDF检验的三种类型第一种类型第二种类型第三种类型tttxx11tttxx11tttxtx11ADF检验DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检验 。为了使检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，人们对检验进行了一定的修

4、正，得到增广检验（Augmented DickeyFuller），简记为ADF检验ADF检验的原理若AR(p)序列有单位根存在，则自回归系数之和恰好等于1 1010211111pppppADF检验等价假设检验统计量1002110pHH其中：) (SADF检验的三种类型第一种类型第二种类型第三种类型tptpttxxx11tptpttxxx11tptpttxxtx11二、模型识别方法（一）平稳序列模型识别要领零均值平稳序列模型识别的主要根据是序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的特征。若序列xt的偏自相关函数 在kp以后截尾，即kp 时， ，而且它的自相关函数 拖尾，则可判断此序列

5、是AR(p)序列。kk0kkk返回本节首页下一页上一页若序列xt的自相关函数 在kq以后截尾，即kq 时， ，而且它的偏自相关函数 拖尾，则可判断此序列是MA(q)序列。若序列xt的自相关函数、偏相关函数都呈拖尾形态，则可断言此序列是ARMA序列。若序列的自相关函数和偏自相关函数不但都不截尾，而且至少有一个下降趋势势缓慢或呈周期性衰减，则可认为它也不是拖尾的，此时序列是非平稳序列，应先将其转化为平稳序列后再进行模型识别。kk0kk（二）样本自相关函数(SACF)和偏自相关函数(SPACF)截尾性的判断。前面模型识别方法中有关自相关函数 、偏自相关函数 截尾性的判断仅是理论上的，实际上的样本自相

6、关函数 和样本偏自相关函数 仅是理论上的一个估计值，由于样本的随机性，免不了有误差。因此需要根据SACF和SPACF对ACF和PACF的截尾性作一判断。kkkkkk1. 样本自相关函数截尾性的判断方法理论上证明：若序列xt为MA(q)序列，则kq后，序列的样本自相关函数 渐近服从正态分布，即：k)21 (1, 0(12qllknN故由正态分布理论可知：此处n是样本容量。%45.95)21 (2(%3 .68)21 (1(5 . 0125 . 012qllkqllknPnP对于kq，若 的个数不超过总个数的31.7%，或 的个数不超过总个数的4.5%，就可认为 在kq时是截尾的。5 . 012)

7、21 (1qllkn5 . 012)21 (1qllkn在实际进行检验实际进行检验时，可对每个k0，分别检验 （通常取 ）中满足 的个数所占的百分比是否超过31.7%，或满足 的个数是否超过4.5%。若k=1,2,q-1都超过了 而k=q时未超过，就可认为 在kq时是截尾的。mkkk,2110nmnm或nk1nk2k2. 样本偏自相关函数截尾性的判断方法可以证明：若序列xt为AR(p)序列，则kp后，序列的样本偏自相关函数 服从渐近正态分布，即近似的有： 此处n表示样本容量。于是可得：kk)1,0(nNkk%5 . 4)2(%7 .31)1(nPnPkkkk在实际进行检验时，可对每个k0，分别

8、检验 （通常取 ）中满足 的个数所占的百分比是否超过31.7%，或满足 的个数是否超过4.5%。若k=1,2,p-1都超过了 ，而k=p时未超过，就可认为 在kq时是截尾的。10nmnm或mkmkkkkk,2, 21, 1,nkk1nkk2kk（三）关于ARMA序列阶数的确定ARMA序列的阶数，直接通过自相关图较难确定，较常用的方法有Pandit-Wu方法(后将介绍)或延伸自相关函数(EACF)法。第二节 模型的定阶 模型的定阶又称模型的过拟合检验，分两种情况，一是评价模型是否包含过多的参数。二是评价模型是否参数不足，需要拟合额外的参数。 模型定阶的准则主要有残差方差图定阶法、F检验定阶法、A

9、IC和SBC定阶准则等等。返回本节首页下一页上一页第二节 模型的定阶一、残差方差图定阶法二、F检验定阶法三、最佳准则函数定法返回本节首页下一页上一页一、残差方差图定阶法1.基本思想如果拟合的模型阶数与真正阶数不符合，则模型的残差平方和SSE必然偏大，残差方差 将比真正模型的残差方差大。如果是不足拟合，那么逐渐增加模型阶数，模型的残差方差会渐减少，直到残差方差达到最小。如果是过度拟合，此时逐渐少模型阶数，模型残差方差分逐渐下降，直到残差方差达到最小。返回本节首页下一页上一页2.残差方差的估计公式模型的参数个数实际观察值的个数模型的剩余平方和2a注：式中 “实际观察值个数”是指拟合模型时实际使用的

10、观察值项数，即经过平稳化后的有效样本容量。设原序列有n个样本，若建立的模型中有含有自回归AR部分, 且阶数为p，则实际观察值个数为n-p个。若没有AR部分，则实际观察值个数即为n个。模型的参数个数指模型中所含的参数个数，如：若是不带常数项的ARMA(p,q)模型，参数个数为p+q个，若带有常数项，则参数个数为p+q+1个。用Eviews建立ARMA模型后，可直接得到剩余平方和SSE(Sum squared resid)输出结果中也可直接得到残差标准差： S.E.of regression ，此项的平方即为残差方差。因此，对不同的模型残差方差进行比较，直接比较此项既可。例：以 磨轮剖面数据为例，

11、分别建立适应性模型，输出结果见图示，从中选择最佳模型，乘余平方和 1473.726 1539.4681522.27原序列长度250250250p201参数个数222自由度246248247残差方差5.990756 6.207532 6.1630364残差标准差2.452.492.48三个模型残差方差比较三个模型残差方差比较二、F检验定阶法1.基本思想（以一般情形和ARMA(p,q)模型为例）先对数据拟合ARMA(p,q)模型(假设不含常数项)，设其残差平方和为Q0，再对数据拟合 较低阶的模型ARMA(p-m,q-s)，设其残差平方和为Q1。建立原假设H0：00, 000, 02121qsqsq

12、pmpmp返回本节首页下一页上一页)( ,()()(001qppnsmFqppnQsmQQF在原假设成立的条件下有：于是计算统计量F，在给定的显著性水平下。若FF ，则拒绝原假设，说明两模型差异是显著的，此时模型阶数存在升高的可能性。若F1）检验统计量检验统计量：Q统计量（Q statistic）mkknQ12其中，n为样本容量，m为滞后长度。Q近似地服从 。)(2mk二、模型的平稳性和可逆性分析（一）平稳性分析 若是AR(P)模型或ARMA(p,q)模型，其平稳性条件是自回归部分所对应的差分方程的特征方程的特征根必须都小于。 若特征根有大于或等于1的，说明模型是非平稳的。 特别是当特征根等于

13、1或非常接近于1时，说明序列为单位根过程，此时需要对原序列进行适当的差分变换(有几个单位根，作几次差分)使其平稳，然后再对变换后的序列建模。返回本节首页下一页上一页(2)可逆性分析对于MA(q)和ARMA(p,q)模型，模型的可逆性条件是移动平均部分所对应的差分方程的特征都小于1。若有特征根大于1或等于1的，说明模型是非可逆的，此时要对序列作适当的变换，再建模。特别是当特征根有等于1或很接近1，说明此模型有过度差分之误。因此，应适当减少差分阶数再建模，以使模型满足可逆性条件。Eviews 估计结果直接输出自回归部分所对应的差分方程的特征根:inverted AR root.移动平均部分所对应的

14、差分方程的特征方程的特征根：inverted MA root.第五节 建模的其它方法引：前面介绍的是Box-Jenkins建模法，即主要是以ACF、PACF的统计特性为依据，但由于我们只能根据样本的SACF、SPACF代替理论的ACF、PACF，这样不可避免会产生偏差。本节主要介绍另外一种建模方法Pandit-wu方法。返回本节首页下一页上一页第五节 建模的其它方法一、Pandit-Wu建模方法的基本思想二、建模步骤三、Pandit-Wu方法建模举例返回本节首页下一页上一页一、Pandit-Wu建模方法的基本思想（P113）Pandit-Wu建模方法以下面认识为依据：即任一平稳序列总可以用一个ARMA(p,p-1)模型来表示，而AR(p)，MA(q)以及ARMA(p,q)都可看作是ARMA(p,p-1)模型的特例。Pandit-Wu方法的基本思想为：逐渐增加模型的阶数，拟合较高阶的ARMA(p,p-1)模型，直到再增加模型的阶数而剩余平方和不显著减少为止。返回本节首页下一页上一页二、建模步骤(1)将序列平稳化、零均值化(也可将均值作为一个参数估计)。(2)从p=1开始，