矩阵范数在系统稳定性判别中的应用

1、矩阵范数在系统稳定性判别中的应用摘要：本文介绍了控制系统稳定判断的一种新的分析方法基于矩阵范数的分析方法，在矩阵范数理论的基础上，讨论了离散性定常系统稳定的充分必要条件，并结合算例进行了讨论分析，从而验证了方法的正确性。1问题提出稳定性是系统的一个基本结构特性，对运动稳定性的分析是系统控制论研究的一个重要课题。在线性系统理论中我们了解了离散线性定常系统的稳定性判据特征值判据。在判据的基础上利用矩阵论中特征值、谱半径以及矩阵范数理论的知识给出的一种新的判定系统稳定性的分析方法。2.问题求解2.1离散型线性定常系统的稳定判据特征值判据给定离散型定常系统，自制状态方程为：xk+1=Axk=x0,k=

2、0,1,2其中，x0cn,x0=x0为系统原点平衡状态，即xe=0。特征值判据：对离散性定常系统，远点平衡状态即xe=0是渐近稳定的充分必要条件为：A的特征值的幅值均小于1.根据特征值判据，只要求出举证A的全部特征值，在通过判断它们的幅值是否全部小于1，就可以判断离散性定常系统的稳定性，但求一个矩阵的特征值并不是简单的事，特别是复杂的矩阵，这就促使我们寻找更简便的方法。于是基于对矩阵范数理论的了解，给出了如下矩阵范数的分析方法。2.2矩阵范数理论在离散线性时不变系统稳定性判别的应用ACm*n，它的谱半径（A）是一个相当重要的量，（A）的确定对于A形成的矩阵幂级数n=0anAn收敛以及基于A所表

3、达的矩阵迭代的收敛起着重要的作用。下面我们将会看到谱半径在稳定性分析的应用。在离散性定常系统稳定性判据特征值判据的基础上，我们给出下面的定理1。定理1：设一离散时间性定常系统，xk+1=Axk,k=0,1,2,对任何x0Cn,x0=x0为系统原点平衡状态，即Xe=0,当且仅当A的谱半径A1是=时，则有limxx(k)=0,即系统原点平衡状态渐近稳定。根据该定理，我们可以总结出判断离散性定常系统稳定的方法：1） 求矩阵A的谱半径（A）根据矩阵中求解谱半径的公式A=maxjj,其中j是A的特征值求出系数矩阵A的谱半径；2） 判断是否满足A1的条件，若是满足，则系统原点平衡状态渐近稳定，否则不满足。

4、综上所述，为们知道只要能求出给定矩阵的谱半径就能判定系统稳的稳定性，但是求谱半径还是需要先求出矩阵的特征值，这跟上面的特征值判据没有什么区别。如果我们能找到一种新的方法，他不需要借助于求矩阵的特征而能对谱半径做近似估计，这对我们研究线性系统的稳定性将十分有利，于是想到用定理2来估计矩阵的谱半径。定理2 ：根据矩阵论中1范数和范数的定义：设A=（aij）m*nCm*n，则有：1）A1=maxji=1aij,2) A=maxij=1aij.从而令Y=diag(1,2,3,n),则Y-1AY与A有相同的谱半径Y-1AY=maxiai11i+ai22i+ainni =maxi(j=1aijj)/i =

5、1Y-1AY1=maxjaj1j1+aj2j2+ajnjn =maxj(i=1aij/i =2又根据矩阵论中定理： 设ACn*n,，则对Cm*n上的任意一矩阵范数，都有AA。从而（Y-1AY）Y-1AY1，且（Y-1AY）Y-1AY即A=（Y-1AY）minY-1AY1,Y-1AY=min（1，2）综上可知，对给一定的离散型系统xk+1=Axk，k=1,2,3,若分析其稳定性我们可以有以下步完成。第一步：任取一组正实数，这组数的个数与矩阵A的维数相同；第二步：有定理2计算1=maxi(j=1aijj)/i和2=maxj(i=1aij/i，然后计算A=min（1，2）；第三步：有定理1，用A1判

6、断系统是否在原点平衡状态渐近稳定。2.3 算例分析设有一离散性定常系数xk+1=Axk，k=0,1,2,3,，其中矩阵A=，使用矩阵范数分析法判断系统在平衡状态Xe=0处的渐近稳定性。解：采用上述矩阵范数法。首先，任取一组正实数1=3，2=2，3=1；其次，计算1，2，由公式1=maxi(j=1aijj)/i和2=maxj(i=1aij/i，计算得1=23，2=34。所以，Amin1，2=23；最后，由于A231，所以，有定理1判断系统在平衡状态xe=0处渐近稳定。3应用小结本文主要运用矩阵论中范数理论的有关知识，给出了一种性的判别离散性定常系统稳定性的方法。其中我们运用矩阵谱半径的A=maxjj的只是给出了判断离散系统稳定性的定理1，又在定理2中运用范数以及矩阵的谱半径小于等于其任意矩阵范数的知识给出了估计谱半径的途径，从而得到了一种更简便的分析系统稳定性的方法，最后通过一个算例验证了该方法的正