第3章离散序列

1、信号分析与处理信号分析与处理课程课程 第三章第三章 离散时间序列及其离散时间序列及其z z变换变换第一节第一节 离散时间系统离散时间系统第二节第二节 离散时间信号序列离散时间信号序列 第三节第三节 z z正变换正变换 第四节第四节 z z反变换反变换 第五节第五节 z z变换的性质变换的性质第六节第六节 z z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系第七节第七节 离散信号的离散信号的z z变换变换 重点内容重点内容:离散时间系统和序列，序列的离散时间系统和序列，序列的z变换及其性质，变换及其性质，z变换和傅立叶变换的关系变换和傅立叶变换的关系.第一节第一节 离散时间系统离散时间系统一、

2、离散系统的定义一、离散系统的定义 离散（时间）系统是指输入输出都是时间序列的系离散（时间）系统是指输入输出都是时间序列的系统。输入统。输入 又称为激励，输出又称为激励，输出 又称为响应。又称为响应。二、离散系统的分类二、离散系统的分类 离散时间系统可以用变换（运算）离散时间系统可以用变换（运算）t 来表示。来表示。v线性离散系统和非线性离散系统 )(nx)(ny)()()()()()(221122112211nyanyanxtanxtanxanxatkkkkkkkkkkkknyanxtanxatnxat)()()( )()()()()()()( )()()()(nhnxknhkxkntkxkn

3、kxtnxtnynkk线性离散系统的零状态响应线性离散系统的零状态响应不满足这个关系不满足这个关系的离散系统为非的离散系统为非线性离散系统线性离散系统第一节第一节 离散时间系统离散时间系统v时不变离散系统和时变离散系统 v稳定离散系统和非稳定离散系统 v 有界输入产生有界输出，或者：v因果系统和非因果系统 或者 输出只取决于当前的输入和过去的输入输出只取决于当前的输入和过去的输入v本章讨论仅限线性时不变系统，实际应用中研究因果稳定的系统。)()()()(knyknxnynx则nnh| )(|0, 0)(nnh系统的输入在时间轴上有个平移，输出也产生同样的时间上的系统的输入在时间轴上有个平移，输

4、出也产生同样的时间上的平移平移满足时不变，否则时变满足时不变，否则时变第二节第二节 离散时间信号序列离散时间信号序列v单位抽样序列单位抽样序列 v单位阶跃序列单位阶跃序列 v斜变序列斜变序列 )()(nnunx( )1,00,0nnn n 1 o (n) 1,0( )0,0nu nn n 1 o u(n) 5 4 3 2 1 x(n) -3 -2 -1 0 1 2 3 n )()(nnunx时间信号又称时间序列，是按一定时间信号又称时间序列，是按一定次序排列的一组数。次序排列的一组数。单位阶跃序列常用来表示定义域单位阶跃序列常用来表示定义域第二节第二节 离散时间信号序列离散时间信号序列v正弦序

5、列正弦序列 v矩形脉冲序列矩形脉冲序列 v单边指数序列单边指数序列 v任意时间序列任意时间序列：任意连续时间信号的等间隔采样( )sin)x nan（ x(n) n 1,01( )0,01nnngnnnn或 n 1 o gn (n) n-1 3 2 1 ( )( )nx na u n n 1 o x(n) n 3 2 1 kknkxnx)()()(离散信号的时域分解离散信号的时域分解振幅、初始相位角、数字角频率，是周期序列吗？振幅、初始相位角、数字角频率，是周期序列吗？指数函数信号的等间隔抽样指数函数信号的等间隔抽样矩形脉冲序列的等间隔抽样矩形脉冲序列的等间隔抽样第二节第二节 离散时间信号序列

6、离散时间信号序列二、序列的基本运算二、序列的基本运算v序列加减v序列相乘v序列权乘( )( ) (0)(0), (1)(1), (2)(2),( )( ),x ny nxyxyxyx ny n( ) ( ) (0) (0), (1) (1), (2) (2), ( ) ( ),x n y nxyxyxyx n y n ( )( )(0),(1),(2),( ),a x nax naxaxaxax n各序列同序号的项对应乘积所组成的序列各序列同序号的项对应乘积所组成的序列各序列同序号的数值对应相加减各序列同序号的数值对应相加减序列的每一项都乘于权系数序列的每一项都乘于权系数第二节第二节 离散时间

7、信号序列离散时间信号序列v序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为 v序列折叠：将原序列以纵轴为对称轴进行折叠 v序列卷积（离散卷积或卷积和 ）表征了系统响应y(n)与激励x(n)和单位冲激响应h(n)的关系 。( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm)()(0nnxny)()(nxny正整数，右移，负整数，左移正整数，右移，负整数，左移h(n)反转延迟，再与反转延迟，再与x(n)进行序列相乘，并求和进行序列相乘，并求和第二节第二节 离散时间信号序列离散时间信号序列卷积和性质v交换律v结合律 v分配律)()()()()(nxnhnhnxny1212( )( )( )

8、( )( )( )( )y nx nh nhnx nh nhn)()()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxny两个线性时不变系统的级联可以交换次序，等效为一个新的线性时不变系统两个线性时不变系统的级联可以交换次序，等效为一个新的线性时不变系统第二节第二节 离散时间信号序列离散时间信号序列v序列相关互相关函数 自相关函数 v序列自相关性质1） 若x(n)是实信号，则 为实偶函数 若x(n)是复信号，则 与 对应序列互为共轭 2） 在m=0达到最大值 3）若x(n)是能量有限信号，当m趋于无穷时，有 ( )xr m()( ) ()xynrmx n y nm()( ) ()x

9、nrmx n x nm( )xr m)( mrx0)(limmrxm( )xr m延迟到无穷元处的序列与自身的相关性为零延迟到无穷元处的序列与自身的相关性为零与卷积进行比较与卷积进行比较第三节第三节 z z正变换正变换在离散信号和系统中，在离散信号和系统中，z z变换的运算方法与拉普拉斯类似，可变换的运算方法与拉普拉斯类似，可以将问题从时域转换到复频域进行分析和处理。以将问题从时域转换到复频域进行分析和处理。一、一、z z变换的定义变换的定义v双边z变换 v单边z变换v在实际中的离散系统都是因果系统，因此它对应的z变换为单边z变换。 nnznxnxzzx)()()(0( )( ) ( )( )

10、nnx zz x n u nx n z第三节第三节 z z正变换正变换v 我们也可以从拉普拉斯变换导出z变换 则令：( )()() ()()()()()ssststsssnsntststsssnnx sx ntedtx nttntedtx nttntedtx nt ex e()ssssstjttjtzeeeejstreztersv 是离散系统和离散信号的圆周频率，单位为rad. 是连续系统和连续信号的角频率，单位为rad/s。nnnjnnjernxrenxzx)()()(z变换存在的条件是：变换存在的条件是：nnrnx|)(|nnnjnjezenxrenxzxj)()(| )(单位圆上的单位圆

11、上的z变换变成了离散序列的傅立叶变换。变换变成了离散序列的傅立叶变换。第三节第三节 z z正变换正变换v例例3-1 3-1 已知 求 ,5342)(,32)(12211zzzzxzzzx)()()(213zxzxzx1111( )( 1),(0),(1)1,2,3xnxxx22222( )( 2),( 1),(0),(1)2,4,3,5xnxxxx312333333( )( )( )( 3),( 2),( 1),(0),(1),(2)2,8,17,23,19,15xnxnxnxxxxxx212331519231782)(zzzzzzx求卷积的求卷积的matlab函数是：函数是：conv_m二、

12、二、z变换的收敛域变换的收敛域vz变换是 的幂级数，系数是x(n)本身，对于级数必定存在收敛问题。只有级数收敛，x(z)才存在，使x(z)存在的z的区域，称为收敛域。1zz变换收敛的充要条件是：变换收敛的充要条件是：nnznx|)(|对于正项级数的收敛问题，可以采用比值判定和根对于正项级数的收敛问题，可以采用比值判定和根值判定两种方法来判别。值判定两种方法来判别。第三节第三节 z z正变换正变换二、二、z z变换的收敛域变换的收敛域v收敛域的判定方法 1）比值判定法 当1时级数收敛， 1时级数发散，=1时级数可能收敛也可能发散。 2）根值判定法 当1时级数收敛，1时级数发散，=1时级数可能收敛

13、也可能发散。 | ( )|nnx n z 1|nnaan-limnnna |limv有限长序列：v有限的区间上有非零值,其z变换为：v对于有限项的级数，x(z)除了在z为零和无穷大外的平面上处处收敛。v当 x(z)的收敛域为：v当 x(z)的收敛域为：21)()(nnnnznxzx0, 021nn0, 021nn|0z|0z第三节第三节 z z正变换正变换v 四种类型序列的收敛域a)有限长序列有限长序列 b) 右边序列右边序列 c) 左边序列左边序列 d) 双边序列双边序列v 结论：左内右外双边环有限长序列有限平面。结论：左内右外双边环有限长序列有限平面。v 例例 求序列 的z变换，并确定其收

14、敛域，其中ba0. ) 1()()(nubnuanxnn jim(z) jim(z) jim(z) jim(z) 0|z|rr2 re(z) 0|z| rr1|z| rr1|z|1，求x(n)。 22110)(zazaazx133)(232zzzzzzx右边序列，长除法的时候分子分母写成右边序列，长除法的时候分子分母写成z的降幂或者的降幂或者z-1升幂升幂第四节第四节 z z反反变换变换三、部分分式法三、部分分式法v 可表示为 ，由表可以直接查它们的反变换。v例例3-53-5 求 的反变换。 kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzdznzx 11101110)()()( sjjijmm

15、mmzzzbzzzaazx110)()()2|(|)2)(1(44)(223zzzzzzx第五节第五节 z变换的性质变换的性质 v线性线性v线性组合之后线性组合之后z z变换的收敛域变换的收敛域, ,一般会缩小一般会缩小. .1211111max|min( )( )( ),kkkkkkkkkkkkkkkkkkrzrz a xna z xna xzv时域平移性时域平移性 （单边z变换 ）v时域扩展性时域扩展性 :时域扩展是在原序列中每两个序列点之间插入a-1个零。第五节第五节 z变换的性质变换的性质 )()()(zxznumnxzm)()()()(10mkkmzkxzxznumnxz)()(az

16、xnxz第五节第五节 z变换的性质变换的性质 vz域尺度变换性域尺度变换性12( )( )|nzzz a x nxrraa， 第五节第五节 z变换的性质变换的性质vz z域微分（序列线性加权）域微分（序列线性加权）v初值定理初值定理 v时域卷积定理时域卷积定理 vz z域卷积定理（复卷积定理）域卷积定理（复卷积定理） v帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 12d( )( )|dz nx nzx zrzrz ， 0)0()(lim)(limnnzzxznxzx( )( )( ) ( ),z x ny nx z y z 通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里

17、叶变换、拉普拉斯变换和离散信号的拉斯变换和离散信号的z变换之间有着密切的联系，在一定的变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可以互相转换。条件下可以互相转换。第六节第六节 z z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系一、一、z平面与平面与s平面的映射关系平面的映射关系对模拟信号对模拟信号x(t)以抽样间隔以抽样间隔ts进行冲激抽样得到抽样信号进行冲激抽样得到抽样信号xs(t)= x(nts)，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量 sstze即即 ( )( )|stssz exsx z1ln( )( )|sssztx zxs或或 上式分别给出了序列上式

18、分别给出了序列x(n)的的z变换变换x(z)与冲激采样信号与冲激采样信号xs(t)的拉的拉普拉斯变换普拉斯变换xs(s)之间的变换关系。之间的变换关系。 sstzesj()ssssstjttj tjzeeeerestr est2sst考察复变量考察复变量这是一个这是一个s域到域到z域的变换。复变量（直角坐标形式）域的变换。复变量（直角坐标形式）经变换后也是一个复变量经变换后也是一个复变量(极坐标形式极坐标形式)其中其中，。重复频率为。重复频率为由此可得由此可得sz平面有如下的映射关系：平面有如下的映射关系：1、s平面的整个虚轴映射到平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；平面的是单位圆；s平面的

19、右半平平面的右半平面映射到面映射到z平面是单位圆的圆外；平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平平面是单位圆的圆内。面是单位圆的圆内。 第六节第六节 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系2、s平面的整个实轴映射到平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；平面的是正实轴；s平面平行于实平面平行于实轴（轴（=0是常数）的直线映射到是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，平面是始于原点的辐射线，当当s平面内通过平面内通过 ), 3, 1(2/lkjks，平行于实轴的直线映射到，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。平面的是负实轴。 je3、由于、由于是以是

20、以2为周期的周期函数，为周期的周期函数， s平面与平面与z平面的映射平面的映射2sst的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上。平面上。因此，因此，s平面和平面和z平面的映射关系不是单值的。平面的映射关系不是单值的。 关系相当于把关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为平面分割成无穷多条宽度为第六节第六节 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系第六节第六节 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系二、二、z变换与抽样信号拉氏变换的关系变换与抽样信号拉氏变换的关系 x(t)的拉氏变换为 xs(s)的相应z变换为 ii

21、issasx)(1( )1eiistiax zz 第七节第七节 离散信号的离散信号的z变换变换 一、离散系统函数与单位冲激响应一、离散系统函数与单位冲激响应v n0kkkm0rrrzazbzxzyzh x(z) y(z) 激励 响应 离散时间系统 h(z) ( )( )( )y zx z h z11( )( )( )( )y nzy zzx z h z zhnhz nkkmrrzpzzg111111 nkkkmrrrzazbzh00极点、零点极点、零点 第七节第七节 离散信号的离散信号的z变换变换 二、二、z变换在求解差分方程中的应用变换在求解差分方程中的应用mrrnkkrnxbknya00)

22、()(1100( )( )( )( )nmklrmkrklkrmra zy zy l zb zx zx m z00( )( )mrrrnkkkb zy zx za z11100( )( )( )( )( )mrrrnkkkb zy nzy zzx z h zzx za z零状态、输入是因果序列的情况下零状态、输入是因果序列的情况下系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响确定单位样值响应确定单位样值响应稳定性稳定性因果性因果性三、离散系统的零极点分布对系统特性的影响及其稳定性三、离散系统的零极点分布对系统特性的影响及其稳定性m0rrn0kkrnxbknya1 1单

23、位样值响应与系统函数单位样值响应与系统函数线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 m0rrrn0kkkzbzxzazy n0kkkm0rrrzazbzxzyzh 所以 021 xx 021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z变换得变换得 只与系统的差分只与系统的差分方程的系数、结构有方程的系数、结构有关，描述了系统的特关，描述了系统的特性。性。 zh 数。离散时间系统的系统函： zhh(n)和和h(z)为一对为一对z变换变换 1zxnnx，则若 zhnhz zxzhzynxnh

24、ny zs系统的零状态响应：系统的零状态响应： zhznh:nhzh1求由系统系统)(n )(nh2 2系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响 的特性确定单位样值响应的零极点分布情况，所以可以从因为nhzhzhnh1 1由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应 nkkmrrzpzzg111111 nkkkmrrrzazbzh00极点极点零点零点:krpz展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根） nkkknkkkpzzaapzzazh100 nkkkpzzaaznh101 所以所以 zhnh 因为因为 nknkknupana10

25、nknkknupananh10 的极点，可以是不同的实数或共轭复数，的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。或为减幅、增幅、等幅振荡。 zhpk: nh:与与h(z)的零点、极点分布都有关。的零点、极点分布都有关。 kaa ,0由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应( (续续) )ozrezj im1 1 极点位置与极点位置与h(n)形状的关系形状的关系s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆

26、上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅 stu10 1 zznu利用利用zs平面的映射关系平面的映射关系1 z离散系统的稳定性离散系统的稳定性 nnh对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（bibo)。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为： h(z)的

27、全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内: 。 1 ,aaz单位圆上的极点是临界稳定单位圆上的极点是临界稳定连续系统和离散系统稳定性的比较连续系统和离散系统稳定性的比较 tthd nnh连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点h(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面h(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内收敛域收敛域含虚轴的右半含虚轴的右半平面平面含单位圆的圆含单位圆的圆外外临界稳定的极临界稳定的极点点沿虚轴沿虚轴系统的因果性系统的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：

28、z域：域： 收敛域在圆外收敛域在圆外 输出不超前于输入输出不超前于输入 nunhnh ：时时域域 121123 zzxzyzzyzzy则则 zxzyzh 解：解：求系统的零状态响应求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：激励激励 。及零状态响应求系统函数nyzh,nu2nxzsn 2222 zzzzzzzxzhzy nunnyn21 zs 所以所以 22112311211 zzzzzzzzz 1224. 012 . 0 nxnxnynyny 1224. 012 . 0 nxnxnynyny下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？ 解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。解：解： 。，判断因果性，稳定性系