2021年中考优等生培优竞赛专题第13讲反比例函数与面积

1、第13讲反比例与面积模型讲解SABCD=SJPAB=JP.AB=rspbo=spba = yH【例题讲解】2i例题1、如图，直线x=k (Jt0)与反比例函数y=和y=.-的图像分别交于爪B两点，若点P是y轴XX上任意一点，连接用、PB,则刊B的而积是3 答案：-2例题2、如图，经过原点的两条直线/】、b分别与双曲线尸(20)相交于儿B、P、Q四点，其中人xP两点在第一象限，设A点坐标为(3, 1).(1) 求R值及B点坐标：(2) 若P点坐标为(心3),求“值及四边形APBQ的而积.答案：(1)把人(3,1)代入*匕得Jl=3xl=3, V经过原点的直线厶与双曲线y=(好0)相交于A、3点A

2、与 xx点B关于原点对称，:B点坐标为(-3-1)；把P(“3)代入尸？得3(匸3,解得心1, TP点坐标为(13)，I经过原点的直线D与双曲线v=- ()相 xx交于P、Q点，.点P与点Q关于原点对称，.点Q的坐标为(T,-3), OA=OB, OP=OQ,四边形APBQ 为平行四边形,TAB2=(3+3)2+(l+l)2=40,PQ2=(l+l)2+(3+3)2=40,:AB=PQ,二四边形 APBQ 为矩形,2=(1+3)2+(3+1 )2=32.P02=(3- 1尸+(1 -3)8, :.PB=4y/2 ,PQ= 22 , A 四边形 APBQ 的而积=PA PB=2V2 x4/2 =

3、16.例题3、如图，在Q4B中，C是AB的中点，反比例函数、= (3D在第一象限的图象经过仏C两点,x若OAB的而枳为6,求k的值.(代数法与几何法均尝试用一下)答案：分别过点几点(:作OB的垂线，垂足分别为点M、点M如图，点C为AB的中点,:.CN为AMB 的中位线，:MN=NB=a CN=b, AM=2b. ：OMAM=ONCN. :.OM-2b=(OMayh:.OM=a,SA()E=3u-2b2=3al7=6* /. ab=2 ： k=a2b=2ab=4,故答案为：4例题4、如图，在以0为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OU 0A分别在x轴.y轴的正半轴上, 反比例函数尸（a0）与

4、AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且AODE的而积是9,则答案：例题5、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB/CD, AABD与ACD的而积分別为20和30, 若双曲线）=恰好经过BC的中点&则*的值为。例题6.如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，），轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、 xD两点，分别过C、D两点作y轴小轴的垂线，垂足为E、F,连接CF、DE有下列四个结论：S沁尸Sef；ZkAOB相似于FOE：4DCE竺CDF； AC=BD.其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）答案：【巩固练习】K已知A是反比例函数)=的图象上的一点，AB

5、丄x轴于点B,且ZVIBC的而积是3,则k的值是x2、如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向；v轴、)，轴作垂线段，若S训萨：1,则S】+S?二x3、如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B任y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数(RO)的图象经过点C,则*的值为x4、正比例函数尸x与反比例函数尸丄的图象相交于儿C两点，AB丄x轴于& CD丄x轴于D如图所 x示，则四边形ABCD的而积为。1445、如图，己知函数yI=- (a0), y2=- (qO),点P为函数，、沪一的图像上的一点，且刊丄x轴于点儿 XXXPB丄y轴于点$ 刊.“分别交函数护丄的图像于6 C两点，

6、贝IJAPCD的而积为.x6、如图，反比例函数)=(a0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E, x若四边形ODBE的面积为9,则的值为7、如图，已知ZVIBO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线)= (a0)的一个分支上，点B在兀轴上,xCD丄OB于D 若zMOC的而积为3,贝必的值为。8、如图，A是反比例函数图像上一点，C是线段04上一点，且OC： OA=1： 3,作CD丄x轴，垂x足为点D,延长DC交反比例函数图像于点仪肮=8,则的值为o9、如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N,延长线段 xAB交；v轴于点C,若OM=M

7、N=NC,且zMOC的而积为9,则的值为 k10、如图，已知四边形ABCO的底边AO在;r轴上，BC/AO. ABAO.过点（7的双曲线y二一交OB于D,x且OD.DBJ 2,若/XOBC的而积等于3,则的值1 711. 如图，两个反比例函数、=和二的图象分别是人和b设点P在人上，PC丄x轴，垂足为C,交xx,2于点儿PD丄y轴，垂足为6 交b于点B,则三角形用B的面积为12、如图,已知反比例函数yd与%0）,过匕图象上任意一点B分別作入轴、V轴的平xx行线交坐标轴于、P两点，交屮的图象于A、C,直线AC交坐标轴于点M、N,则Sg=.（用含0灼的代数式表示）13. 如图，在X轴正半轴上依次截取

8、OAl=/llA2=A2A3=.=An-lAn 5为正整数），过点A】.出、A3加2分别作X轴的垂线，与反比例函数y=-（A0）交于点P P2.円Pn,连接PH、PH .PxPzX过点凡、P几分别向p内、BA2、几几|作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的而积和是 （用含的代数式表示）14、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若ADBC,心仞 与BCD的面积分别为10和20,若双曲线恰好经过边AB的四等分点E（BEAE）,则的值为。x15、如图，平行四边形ABCD的顶点儿B的坐标分别是A （2 0）, B （0. -4）,顶点C, D在双曲线*上 x 上，边AD交y轴于点，且

9、四边形BCDE的面积是ZVIBE而积的5倍，则厶。k316、如图，反比例函数匸一（40）的图像与一次函数y=-x的图像交于礼B两点（点人在第一象限） x4（1）当点A的横坐标为4时。 求k的值； 根据反比例函数的图像，直接写出当一 4。1 （.详0）时，y的取值范用：（2）点C为y轴正半轴上一点，ZACB=90%且ZXACB的而积为10,求*的值.17、已知点P （g b）是反比例函数y=- （x0）图象上的动点，轴，PBy轴，分别交反比例函 x2数（A0）与宜线EF交于点A,点B,且连结AO, BO,它 x们分别与双曲线=（x0）交于点C,点D,则:（1）与CD的位置关系是:（2）四边形AB

10、DC的而积为3k20 如图，己知直线）=一二x+6交兀轴于点久 交y轴于点B,交双曲线v=-于C、D两点.2 x（1）求证：AC=BD：（2）若dlOC、COD、BOD 的而积为SS2. S满足 S； = S、 求 R 的值.21、已知，如图1,直线/与反比例函数y=- 40）位于第一象限的图像相交于A. B两点，并与y轴、 xX轴分别交于E、F.（1）试判断AE与的数量关系并说明理由.（2）如图2,若将直线/绕点A顺时针旋转，使英与反比例函数y=-的另一支图像相交，设交点为B.试X判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由.（图1）（图2）22.已知：如图1,在平而直角坐标系中，0为坐

11、标原点，直线y=kx+b与x轴.y轴分别交于点A、B, 与双曲线y=-相交于C、D两点，且点D的坐标为(L6).X(1) 当点Q的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出竺的值为AB (2) 如图2,当点A落在x轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E,过点D作)轴的垂线，垂足 为F,连接EF.判断AEFC的而积和的而积是否相等，并说明理由：图1图2参考答案1.答案：42.答案：-63.答案：24.答案：985.答案：36.答案：47.答案：98.答案：69.答案：34910. 答案：一211. 答案：2)2k,12. 答案：n13. 答案：2.514. 答案：4815. 答案：(1)

12、将*4代入尸得，A点沖(43)，反比例函数尸(40)的图象与一次函数y=-.r4x4k的图象交于A点3=:匕12；4=-4时,y=-3* 1时尸12由反比例函数的性质可知，当-412；3 S(2)设点A为(4二“)，则OA=-a. V点C为y轴正半轴上一点,且ZVICB的而积为10,4 4：.OA=OB=OC=-a4: SACH= il2x-ax2d=10,解得皿=2屈 点 A 为(2逅,24解得.=6,即的值是6.16. 答案:(“)是反比例函数尸兰(x0)图象上的动点,TPa -),$=丄(“)(一 9)=3, I B(“,xa2a212),S2= (-“)()=1 Si：S2=3:1=3

13、故答案为：3.a2a/)是反比例函数尸兰 仗0)图象上的动点，TPa -9), 点B在反比例函数=三(x0)上且 xaxCAA横坐标为G 3(4 -二)，点人在反比例函数(x0)上且纵坐标为-A(2_ ),axa 3 aACA(3) 不变化a VP(r/,-)4(-,-XPA大轴屮$轴，aa 3 a1 1a624S= L4PI BP= x( /.2tr=+3, “=3,则=6,反比例函数解析式为y=得点（7（3,2）:班6、1）：xx设直线CB的解析式为尸Q+反把（7、F两点坐标代入得3“+归2, &+/T,解得：a=- , 3：二直线CB的解析式为:v=-x+3：3连结 BB.B(0J)E(

14、6J).轴,设 pg -iw+3h作 PQ丄CMPH丄BBS11SbpoF xPQxCM= x(l3)x2=l3,22111SbpBB、= xPHxBB= x( m+3一 1 )x6=加+6, l3=加+6.2239 加=9 318.【解析】（1） AB/CD, （2）2（1）如图，过点A作AM丄x轴于点M,过点D作DH丄x轴于点H,过点B作BN丄x轴于点N, :.AM/DH/BN/y 轴，4设点A的坐标为:（加，）mAE=AB=BF.：.OM=MN=NF, 点B的坐标为：（2皿Z）,m,24Sg/ur = SgAM + s 梯形 WB _ Smm =2+ x(_) x (2/nm) 2=3,

15、2 m m: DHBN,:.ODHsOBN、.OD _DH _ OH 而丽而9：DH OH=2. BN 0N=4-:.(竺)亠丄，OB 42,0C1同理：()=_ ,OA2 OC = ODoaob:.AB/CD故答案为：AB/CD；(2) v= t ZCOD=ZAOB.OA OB:.CODsAOB、.S；COD _( OD)：_ J_S：AOB B 2 * 艸边底“DC3故答案为：-AGVW=k cso 一 y *DN, CM.19.【解析】（1）过点D作DM丄OB于点M,过点（7作CN丄OA于点N ,连接OD, OC、: k0, SkDMN _ S.OVM点D到MN的蹈离等于点C到MN的距离

16、，MN在CD的同侧.:MNCD.四边形DMNA是平行四边形，四边形BMNC是平行四边形，DM=AM BM=CN, :.BD=AC.(2)过点O作0E丄AB交A3于点&过点C作CF丄OA交OA于点F S； = SS“:.(丄 CD OE)：=丄 BD OE 丄 ACO&2 2 2CD：=BDACBD=AC:.CDZ=AC=BDZCD=AC=BDc为AC的三等分点,9：CF/OB CF - AC 页 7?3Vy=-x+62A A (4, 0), (0, 6).CF _ 63:.CF=2 竺=竺.OF _2 43:.OF=-3QAC (一，2)3Vy=-如0)320.【解析】(1) AE=BF,理由

17、如下：作AM丄y轴于M, BN丄x轴于N,连接MN、04、OB、BM、AN.9：AM/x 轴，_ k Smmn S公 A”。 ，同理，S；bmn = SBNO 牙 AMN Smjv *即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB/MN.四边形AMNF与BMWE均为平行四边形，:AM=FN, EM=BN又/AME=ZBNF= 90 ,在ZiEMA 与BNF 中，AM=FN ZAME= ZBNF EM=BNEWA 仝BNF.AE=BF：(2)结论依然成立，AE=BF,理由：作AM丄y轴于M, BMLx轴于M 连接MN、0A. OB、BM、AN,9：AM/x 轴，_ k SMMN _

18、，冋理，Sz = S/o = , SMMN _ S厶BMV，即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB/MN.四边形AMNF与BNME均为平行四边形,:AM=FN, EM=BN又/AME=ZBNF= 90 ,在/XEMA 与 ZkBNF 中，AM=FN 得忙,/ k=_3. b=9、k + b = 6CDi故直线AB的解析式为=一3卄9；目的值为丄：Ad3（2）设（7 （ b）,则 ub=6.1*/ S皿c = :（ -a）（ -b）=斗“方=3,而S曲D = S 曲c S皿D ： S沁=s*且两三角形同底，两三角形的高相同，:.EF/CD.9：DF/AE. BF/CE,四边形

19、DFE4与四边形FBC都是平行四边形，:CE=BF、ZFDB=ZEAC在与AT中，ZDFB = AAECCE = BFZFDB = ZEAC :.ADFBAAEC （ASA）,:.AC=BD,CDk*=2,设 CD=2k. AB=k、DB=,AB2.DB _9AB2I ZDFB= ZAOB. ZDBF= ZABO.:.HDFBsHAOB,：.OA=2.且竺BO 2：.0B=4,皿。心乔=2.判断AACD的形状，并说明理由;二次函数一题多问如图.抛物线y=x3+bx+c与x轴交于A、B两点.与y求此函数的关系式;(1)求四边形ABCD的面积. 在对称轴上找一点P,使ZkBCP的周长最小，求出P点坐标及ABPC的周长。(5) 在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线/y轴，交AC与点乩当点N坐标为多少时，线段MN 的长度量大？最大是多少？(6) 在AC下方的抛物线上.是否存在一点N使ACAN面积最大？最大面积是多少?(7) 在AC下方的抛物线上.是否存在一点N.使四边形ABCN面积最大.且最大面积是多少?（8）在y轴上是否存在一点E,使AADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。（9）在y轴上