2021届高考数学二轮复习题型练6大题专项四立体几何综合问题文含解析

1、题型练6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页1.如图,在三棱锥p-abc中,ac=bc=2,acb=90,ap=bp=ab,pcac.(1)求证:pcab;(2)求点c到平面apb的距离.(1)证明取ab的中点d,连接pd,cd.ap=bp,pdab.ac=bc,cdab.pdcd=d,ab平面pcd.pc平面pcd,pcab.(2)解由(1)知ab平面pcd,平面apb平面pcd.过c作chpd,垂足为h.平面apb平面pcd=pd,ch平面apb.ch的长即为点c到平面apb的距离.由(1)知pcab,又pcac,且abac=a,pc平面abc.cd平面abc,pccd.在rtpc

2、d中,cd=12ab=2,pd=32pb=6,pc=pd2-cd2=2.ch=pccdpd=233,点c到平面apb的距离为233.2.在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,aa1=ab,ab1b1c1.求证:(1)ab平面a1b1c;(2)平面abb1a1平面a1bc.证明(1)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,aba1b1.因为ab平面a1b1c,a1b1平面a1b1c,所以ab平面a1b1c.(2)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,四边形abb1a1为平行四边形.又因为aa1=ab,所以四边形abb1a1为菱形,因此ab1a1b.又因为ab1b1c1,bcb1c1,所

3、以ab1bc.又因为a1bbc=b,a1b平面a1bc,bc平面a1bc,所以ab1平面a1bc.因为ab1平面abb1a1,所以平面abb1a1平面a1bc.3.已知pa平面abcd,cdad,baad,cd=ad=ap=4,ab=2.(1)求证:cd平面adp;(2)若m为线段pc上的点,当bmpc时,求三棱锥b-apm的体积.(1)证明因为pa平面abcd,pa平面adp,所以平面adp平面abcd.因为平面adp平面abcd=ad,cdad,所以cd平面adp.(2)解取cd的中点f,连接bf,在梯形abcd中,因为cd=4,ab=2,所以bfcd.又bf=ad=4,所以bc=25.在

4、abp中,由勾股定理求得bp=25.所以bc=bp.又知点m在线段pc上,且bmpc,所以点m为pc的中点.在平面pcd中过点m作mqdc交dp于q,连接qb,qa,则v三棱锥b-apm=v三棱锥m-apb=v三棱锥q-apb=v三棱锥b-apq=1312qpaq2=132222=83.4.如图,abc的外接圆o的直径为ab,cd平面abc,becd.(1)求证:平面adc平面bcde;(2)试问在线段de和bc上是否分别存在点m和f,使得平面omf平面acd?若存在,确定点m和点f的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明abc的外接圆o的直径为ab,cd平面abc,becd,acbc,acd

5、c.bcdc=c,ac平面bcde.ac平面adc,平面adc平面bcde.(2)解存在点m和f,使得平面omf平面acd.取bc的中点m,de的中点f,连接om,mf,of.o是ab的中点,omac,mfcd.accd=c,ommf=m,ac,cd平面acd,om,mf平面omf,平面omf平面acd.5.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为平行四边形,pcd为等边三角形,平面pac平面pcd,pacd,cd=2,ad=3.(1)设g,h分别为pb,ac的中点,求证:gh平面pad;(2)求证:pa平面pcd;(3)求直线ad与平面pac所成角的正弦值.(1)证明如图,连接bd,易知

6、acbd=h,bh=dh.又由bg=pg,故ghpd.又因为gh平面pad,pd平面pad,所以gh平面pad.(2)证明取棱pc的中点n,连接dn,依题意,得dnpc,又因为平面pac平面pcd,平面pac平面pcd=pc,所以dn平面pac,又pa平面pac,故dnpa.又已知pacd,cddn=d,所以pa平面pcd.(3)解连接an,由(2)中dn平面pac,可知dan为直线ad与平面pac所成的角.因为pcd为等边三角形,cd=2且n为pc的中点,所以dn=3,又dnan,在rtand中,sindan=dnad=33.所以,直线ad与平面pac所成角的正弦值为33.6.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa底面abcd,pa=ac,过点a的平面与棱pb,pc,pd分别交于点e,f,g(e,f,g三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面pab平面pbc.(2)若pc平面aefg,求pfpc的值.(3)直线ae是否可能与平面pcd平行?证明你的结论.(1)证明因为pa平面abcd,所以pabc.因为四边形abcd为正方形,所以abbc,所以bc平面pab.所以平面pab平面pbc.(2)解连接af.因为pc平面aefg,所以pcaf.又因为pa=ac,所以f是pc的中点.所以pfpc=12.(3)解