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2021年中考数学压轴题提升训练打包12套,文本
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三角函数实际应用题模型一模型二【例1】.如图所示，c城市在a城市正东方向，现计划在a，c两城市间修建一条高速铁路（即线段ac），经测量，森林保护区的中心p在城市a的北偏东60方向上，在线段ac上距a城市120 km的b处测得p在北偏东30方向上，已知森林保护区是以点p为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：）【答案】见解析.【解析】解：如图，过点p作phac于h，由题意得：eap=60，fbp=30，pab=30，pbh=60，apb=30，ab=bp=120，在rtpbh中，ph=bpsinpbh=120=60103.92，103.92100，计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区.【变式1-1】如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其ab的坡角由原来的43改为30已知原传送带ab长为5米求新旧货物传送带着地点b、c之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93，1.41，1.73）【答案】见解析【解析】解：过点a作adcb，交cb的延长线于点d，如图所示，由题意知：在rtadb中，ab=5米，abd=43，ad=absinabd=5sin433.41米，bd=abcosabd=5cos433.66米在rtadc中，ac= 6.82米，在rtacd中，ac=6.82，acd=30，cd=accosacd6.82cos305.91米 bc=cdbd2米新旧货物传送带着地点b、c之间大约相距2米【变式1-2】.今年 3 月以来受天气影响火灾频发，为了提升营救速度，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 b 处的求救者后，又发现点 b 正上方点 c 处还有一名求救者在消防车上点 a 处测得点 b 和点c 的仰角分别是 45和 65，点 a 距地面 2.5 米，点 b 距地面 10.5 米为救出点 c 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 bc 约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin650.9，cos650.4， 1.4 ）【答案】见解析.【解析】解：过点a作adcn于点d，由题意知：cad=65，bad=45，bn=10.5，dn=2.5，bd=bn-dn=8，ad=bd=8，在rtacd中，cd=adtancad16.8，bc=cdbd=16.889，即云梯需要继续上升的高度 bc 约为9米.【例2】.在中国人民解放军海军70华诞之际，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平4月23日出席在青岛举行的庆祝人民海军成立70周年海上阅兵活动，在雄壮的乐曲声中，习近平总书记检阅海军仪仗队，随后登上检阅舰，14时30分，海上阅舰式正式开始在潜艇群之后，排在驱逐舰群首位的是055型驱逐舰南昌舰，舷号喷涂为101南昌舰位于海面上的a处，观测到检阅舰p位于它的北偏西67.5方向上，南昌舰以10海里/时的速度向正北方向行驶，30分钟到达b处，这时观测到检阅舰p位于南昌舰的南偏西30方向，求此时南昌舰所处位置b与检阅舰p的距离？（结果精确到0.1，参考数据：sin67.5，cos67.5，tan67.5，1.73）【答案】见解析.【解析】解：如图，过p作phab于h，由题意得：ab=5，abp=30，bap=67.5，设ph=x，则bh=x，在rtaph中，ah=phtana=x，ab=bh+ah=x+x，即x+x=5，解得：x2.3，bp=2x=4.6，即此时南昌舰所处位置b与检阅舰p的距离约为4.6海里.【变式2-1】.如图所示，小明在自家楼顶上的点a处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯楼的高度，测得电梯楼顶部b处的仰角为60，底部c处的俯角为26，已知小明家楼房的高度ad15米，求电梯楼的高度bc（结果精确到0.1米，参考数据：1.73，sin260.44，cos260.90，tan260.49）【答案】见解析.【解析】解：过点a作aebc于e，adcd，bccd，四边形adce是矩形，cead15米，在rtace中，ae30.61（米），在rtabe中，beaetan6052.96（米），bcce+be15+52.9668.0（米）即电梯楼的高度bc为68.0米【例3】.如图是篮球架的实物图和示意图，已知底座bc=0.6m，底座bc与支架ac所成的角acb=75，支架af的长为2.50米，篮板顶端f与篮筐d的距离df=1.35米，篮板底部支架he与支架af所成的角fhe=60，求篮筐d到地面的距离（精确到0.01米）.（参考数据：cos750.2588，sin750.9659，cos753.732，1.414，1.732）【分析】要求篮筐d到地面的距离，需将de延长交cb延长线于m，过a作agem于g，则dm=fg+gmdf，在利用三角函数求得fg、gm的长代入即可得到结果.【解析】解：延长de延长交cb延长线于m，过a作agem于g，如图所示，在rtabc中，ab=bctanacb=0.603.732=2.2392，gm=ab=2.2392，由fag=fhe=60，在rtafg中，fg=afsinfag=2.5=2.165，dm=fg+gmdf=2.165+2.23921.353.05，即篮筐d到地面的距离为3.05米.【变式3-1】.如图 1 是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图 2，从侧面看，立柱 de 高 1.8 米，踏板静止时踏板连杆与 de 上的线段 ab 重合，be 长为0.2米，当踏板连杆绕着点 a 旋转到 ac 处时，测得cab=37，此时点 c 距离地面的高度cf 为 0.45 米，求 ab 和 ad 的长（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）图1 图2【答案】见解析.【解析】解：过点c作cgab于g，如图所示，由题意知，de=1.8，fc=0.45，be=0.2，ac=ab，cab=37，cfef，aeef，四边形gcfe是矩形，eg=cf=0.45，设ac=ab=x，在rtacg中，ag=accoscag=0.8a，ae=ag+ge=0.8a+0.45，ae=ab+be=a+0.2，0.8a+0.45=a+0.2，解得：a=1.25，即ab=1.25，ad=deabbe=1.81.250.2=0.35，即ab的长为1.25米，ad的长为0.35米.【变式3-2】.共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档ac与cd的长分别为45cm，60cm，accd，座杆ce的长为20cm，点a，c，e在同一条直线上，且cab=75，如图2（1）求车架档ad的长；（2）求车座点e到车架档ab的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin75=0.9659，cos75=0.2588，tan75=3.7321）图1图2【答案】见解析【解析】解：（1）accd，ac=45cm，cd=60cm，在rtacd中，由勾股定理得：ad=75（cm），即车架档ad的长是75cm；（2）过点e作efab于点f，ac=45cm，ec=20cm，eab=75，ef=aesin75=（45+20）0.965963cm，即车座点e到车架档ab的距离是63 cm1.某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角从45调为30，如图所示，已知原来ab的长为4米，点d、b、c在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：1.414，1.732，2.449）【答案】见解析.【解析】解：在rtabc中，ac=absin45=4=2，abc=bac=45，ac=bc=2，在rtadc中，ad=2ac=4，adab=441.66，即调整后滑滑板会加长1.66米.2.如图，在电线杆上的c处引拉线ce、cf固定电线杆，拉线ce和地面成60角，在离电线杆6米的b处安置测角仪，在a处测得电线杆上c处的仰角为30，已知测角仪高ab为1.5米，求拉线ce的长. （结果保留根号）【答案】见解析.【解析】解：过点a作ahcd于h，由题意知四边形abdh为矩形，cah=30，ab=dh=1.5，bd=ah=6，在rtcah中，ch=ahtancah=6=.3.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑坐落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”小敏为了计算该建筑物的横断面（瓷碗横断面abcd为等腰梯形）的高度如图2，她站在与瓷碗底部ab位于同一水平面的点p处测得瓷碗顶部点d的仰角为45，而后沿着一段坡度为0.44的小坡pq步行到点q（此过程中ad、ap、pq始终处于同一平面）后测得点d的仰角减少了5已知坡pq的水平距离为20米，小敏身高忽略不计试计算该瓷碗建筑物的高度？（坡度：坡与水平线夹角的正切值）参考数据：sin400.64，tan400.84图1 图2【答案】见解析.【解析】解：过点q作水平线与过点d，p向水平线所作的垂线分别交于点m，n，dm与pa交于点h，如图所示，则四边形pnmh是矩形，pnhm，phmn,由题意知：dpa45，dqn45540.在rtdhp中，dpa45，dhph，设该瓷碗建筑物的高度dh为x，则phdhmnx.在rtpqn中，tanpqn0.44，qn20，pn0.44qn0.44208.8，dmdhhmx8.8，qmqnmnx20,在rtdqn中，tandqm，0.84，解得：x50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米4.如图，某山最高峰的高度ac为500m，在点 a 看山腰点 d 的俯角为 15，ad 的距离为 1 600 m，在点 d 看山脚点 b 的俯角为 75求水平距离 bc（结果精确到 1 m，参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27）【答案】见解析.【解析】解：如图，过点d作deac于e，dfbc于f，可得：四边形ecfd是矩形，ac=500，ad=1600，ade=15，bdf=9075=15，在rtade中，ae=adsinade416，de=adcosade1552，df=ec=acae=84，cf=de=1552，在rtdbf中，bf=dftanbdf22.68，bc=cf+bf=1552+22.681575，即水平距离bc的长约为1575米.5.某学校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，bcad，斜坡 ab 长 22 m，坡角bad=68，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 50 时，可确保山体不滑坡（1）求改造前坡顶与地面的距离 be 的长；（精确到 0.1 m）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚 a 不动，坡顶 b 沿 bc 削进到点 f 处，bf 至少是多少米？（精确到 0.1 m）（参考数据：sin680.927 2，cos680.374 6，tan682.475， sin500.766，cos500.642，tan501.191 8）【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，bead，ab=22，bae=68，在rtabe中，be=absinbae=220.927220.4，即改造前坡顶与地面的距离be的长为20.4米.（2）bcad，fgad，fag=50，四边形bfge是矩形，fg=be=20.4，在rtafg中，ag=fgtanfag=20.41.191817.12，同理，ae=abcosbae=220.37468.24，ge=agae=8.88，bf=ge8.9，即bf至少是8.9米.6.如图，某学校教学楼ab的后面有一建筑物cd，在距离cd正后方28米的观测点p处，以22的仰角测得建筑物的顶端c恰好挡住教学楼的顶端a，而在建筑物cd上距离地面2米高的e处，测的教学楼的顶端a的仰角为45，求教学楼ab的高度（结果保留整数）【答案】见解析【解析】解：过e作efab于f，可得四边形efbd是矩形由题意知，aef=45，afe=90，aef=eaf=45，ef=af，设ef=af=x，则bd=ef=x，ab=x+2，pb=x+28，在rtpab中，tan22=，=，解得x15，ab= 17即教学楼ab的高度约为17m7.如图，一起重机的吊杆ab长36米，吊杆与水平线的夹角bac可从30升到80，若起重机位置不变，不考虑吊杆和吊绳可以伸缩的因素，求起重机在水平和垂直两个方向可以使用的最大距离（精确到0.1米，sin800.98，cos800.17，tan805.67，）【答案】见解析【解析】解：当cab30时，由acb90，ab36m，得：bc3618（m），ac1831.14（m），当bac80时，同理得：bcabsin8035.28（m），acabcos806.12（m），起重机在水平可以使用的最大距离为：31.146.1225.0（m），在垂直方向可以使用的最大距离为：35.281817.3（m）8.河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部a处测得塔顶p的仰角为45，走到台阶顶部b处，又测得塔顶p的仰角为38.7，已知台阶的总高度bc为3米，总长度ac为10米，试求铁塔的高度（结果精确到1米，参考数据：sin38.70.63，cos38.70.78，tan38.70.80）【答案】见解析【解析】解：过点b作bedp于点e，由题意可知，ebp38.7，daf45，becd，dpad，设铁塔高度dp=x，则becdx+10，epdpdeadbcx3，在rtbep中，tanebp，即：0.8，解得：x=55，即铁塔约高55米9.某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机p的高度，如图，a，b两个观测点相距300 m，在a处测得p在北偏东71方向上，同时在b处测得p在北偏东35方向上求无人飞机p离地面的高度（结果精确到1米，参考数据：sin350.57，tan350.70，sin710.95，tan712.90）【答案】见解析【解析】解：过点p作pcab于c，由题意知，ab=300，apc=71，bpc=35，设pc=x，在rtpbc中，bc=pctan350.70x，同理，ac2.90x，ab+bc=ac，即300+0.70x=2.90x，解得：x136，即无人飞机p离地面的高度约为136米.10.如图，大楼ac的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为30小明在大楼的b处测得坡面底部e处的俯角为33，在楼顶a处测得坡面d处的俯角为30已知坡面de20m，ce30m，点c，d，e在同一平面内，求a，b两点之间的距离（结果精确到1m，参考数据：1.73，sin330.54，cos330.84，tan330.65）【答案】见解析.【解析】解：过点d作dfce于f，dgac于g，则四边形dgcf是矩形，cgdf，dgcf，在rtdfe中，def30，de20，df10，ef10，cgdf10，dgcf30+10，在rtceb中，bccetan33300.6519.5，bgbccg9.5，在rtadg中，agdgtan3027.3，abagbg=17.818，即a，b两点之间的距离约为18m11.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点a处，测得河的南岸边点b处在其南偏东45方向，然后向北走20米到达点c处，测得点b在点c的南偏东33方向，求出这段河的宽度（结果精确到1米，参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65，1.41）【答案】见解析.【解析】解：延长ca交be于点d，则cdbe，由题意知，dab45，dcb33，设adx，则bdx，cd（20+x），在rtcdb中，tandcb=，0.65，解得：x37，答：这段河的宽约为37米12.如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其ab的坡角由原来的43改为30已知原传送带ab长为5米求新旧货物传送带着地点b、c之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93，1.41，1.73）【答案】见解析.【解析】解：过点a作adcb，交cb延长线于点d在rtadb中，ab5米，abd43，adabsinabd5sin433.4，bdabcosabd5cos433.65在rtadc中，ac6.8，在rtacd中，ac6.8，acd30，cdaccosacd6.8cos305.89 bccdbd2即新旧货物传送带着地点b、c之间大约相距2米13.如图，bc是路边坡角为30，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆cd的顶端d处有一探射灯，射出的边缘光线da和db与水平路面ab所成的夹角dan和dbn分别是37和60（图中的点a、b、c、d、m、n均在同一平面内，cman）（1）求灯杆cd的高度；（2）求ab的长度（结果精确到0.1米）（参考数据：1.73sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】见解析.【解析】解：（1）延长dc交an于h由题意知：dbh60，dhb90，bdh30，cbh30，cbdbdc30，bccd10，即灯杆cd的高度为10米.（2）在rtbch中，cbh=30，chbc5，bh58.65，dhbh=15，在rtadh中，ah20，abahbh208.6511.4（米）14.（2019开封二模）如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆pq的高度，他们在a处测得信号塔顶端p的仰角是45，信号塔底端点q的仰角为31，沿水平地面向前走100米到b处，测得信号塔顶端p的仰角是68，求信号塔pq的高度（结果精确到0.1米，参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.48，tan310.60，sin310.52，cos310.86）【答案】见解析.【解析】解：延长pq交直线ab于点m，连接aq，则pma90，设：pm=x米，pam45，ampmx，bmx100，在rtpbm中，tanpbm，tan68即2.48，解得：x167.57，同理，qmamtanqam167.57tan31100.54，pqpmqm67.0（米）；即信号塔pq的高度约为67.0米15.南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至b处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的c处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我a处的渔监船前往c处护航，已知c位于a处的北偏东45方向上，a位于b的北偏西30的方向上，求a、c之间的距离【答案】见解析【解析】解：过点a作adbc于d，由题意得，acd=45，abd=30设cd=x，则ad=x，bd=x，bc=20（1+），即x+x=20（1+），解得：x=20，ac=x=20（海里）即a、c之间的距离为20海里16.如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼de，在小楼的顶端d处测得障碍物边缘点c的俯角为30，测得大楼顶端a的仰角为45（点b，c，e在同一水平直线上）已知ab80m，de10m，求障碍物b，c两点间的距离（结果保留根号）【答案】见解析【解析】解：过点d作dfab于点f，过点c作chdf于点h由题意知：debfch10，在rtadf中，afabbf70，adf45，dfaf70，在rtcde中，de10m，dce30，cede=10，bcbece7010答：障碍物b，c两点间的距离为（7010）m17.太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）已知：支架cf100cm，cd20cm，fead于e，若37，求ef的长（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）【答案】见解析【解析】解：延长ed交bc的延长线于点h，则h37，在rtcdh中，hc，hfhc+cf+100=，在rtefh中，efhf sin370.676即：ef的长为76cm18.如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点a处，测得地面点m的俯角为53，这架无人机沿仰角为35的方向飞行了55米到达点b，恰好在地面点n的正上方，m、n在同一水平线上求出m、n两点之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33，sin350.57，cos350.82，tan350.70）【答案】见解析.【解析】解：过点a作acbn于c，过点m作mdac于d，在rtamd中，dm13.3，dam53，ad=10；在rtabc中，ab55，bac35，acabcos53550.8245.1由题意知四边形mdcn是矩形，mndcacad35答：mn两点的距离约是35米19.在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道mn（如图），在跑道mn的正西端14.5千米处有一观察站a某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点a的北偏西30，且与点a相距15千米的b处；经过1分钟，又测得该飞机位于点a的北偏东60，且与点a相距5千米的c处（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道mn之间？请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）由题意，得bac90，ab=15，ac=5,在rtabc中，由勾股定理得：bc，飞机航行的速度为：1060600（km/h）；（2）能；过点c作cel于点e，设直线bc交l于点f在rtabc中，ac5，bc10，abc30，bca60，cae30，acefce60，ceacsincae，aeaccoscae则af2ae15，anam+mn14.5+115.5 km，飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道mn之间20.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 ob 与底板 oa 所在水平线的夹角为 120， 感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图 2使用时为了散热，她在底板下垫入散热架 aco后，电脑转到 aob位置(如图 3)，侧面示意图为图 4已知 oa=ob=24cm，ocoa 于点 c，oc=12cm （1）求cao的度数（2）显示屏的顶部 b比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏 ob 与水平线的夹角仍保持 120，则显示屏 ob 应绕点 o按顺时针方向旋转多少度？【答案】见解析.【解析】解：（1）ao=ao=24，oc=12，cao=30，aoc=60，（2）过点b作bdao于d，bod=60，ob=24，od=12，bd=12，bc=bo+oc=36，bcbd=3612，即显示屏的顶部 b比原来升高了（3612）cm，（3）由（1）（2）知，垫入散热架后，显示屏 ob与水平线的夹角为90，要使显示屏 ob 与水平线的夹角仍保持 120，则显示屏 ob 应绕点 o按顺时针方向旋转30度.21.如图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图。已知入口bc宽3.9米，门卫室外墙上的o点处装有一盏灯，点o与地面bc的距离为3.3米，灯臂om长1.2米，（灯罩长度忽略不计），aom=60.（1）求点m到地面的距离
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