2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性教学案含解析新人教A版

1、第第 2 2 节节 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.函数的单调性与导数的关系 函数yf(x)在某个区间内可导，则： (1)若f(x)0，则f(x)在这个区间

2、内单调递增； (2)若f(x)0， 右侧f(x)0 x0附近的左侧f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值. (2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 常用结论与微点提醒 1.若函数f(x)在区间(a，b)上

3、递增， 则f(x)0， 所以“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f

4、(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( ) (4)对可导函数f(x)，若f(x0)0，则x0为极值点.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0. (3)函数的极大值也可能小于极小值. (4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导函数异号. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(老教材选修 22p32a4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( ) a.1 b.2 c.3 d.4 解析 由题意

5、知在x1 处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 a 3.(老教材选修 22p26 练习 t1 改编)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是( ) a.(0，1 b.1，) c.(，1 d.1，0)(0，1 解析 由题意知f(x)2x2x2x22x(x0)， 由f(x)0，得 0 x1. 答案 a 4.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是( ) 解析 设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3， 由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10 x20，由f(x)x

6、9x0，得 00，a13，解得 1a2. 答案 a 6.(2020成都七中月考)若函数f(x)13x34xm在0，3上的最大值为 4，m_. 解析 f(x)x24，x0，3，当x0，2)时，f(x)0，所以f(x)在0，2)上是减函数，在(2，3上是增函数. 又f(0)m，f(3)3m. 所以在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4. 答案 4 第一课时第一课时 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 考点一 讨论函数的单调性 【例 1】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围. 解 (1

7、)函数f(x)的定义域为(，)，且a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增. 若a0，则由f(x)0，得xln a2. 当x，lna2时，f(x)0. 故f(x)在，lna2上单调递减， 在区间lna2， 上单调递增. (2)当a0 时，f(x)e2x0 恒成立. 若aa2e34时，f(x)0. 综上，a的取值范围是2e34，0. 规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时， 要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为 0 的点和函数的间断点. 2.个别导数为

8、0 的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在x0 时取到)，f(x)在 r r 上是增函数. 【训练 1】 已知函数f(x)axln x(ar r). (1)若a2，求曲线yf(x)在x1 处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)当a2 时，由已知得f(x)21x(x0)，f(1)213，且f(1)2，所以切线斜率k3. 所以切线方程为y23(x1)，即 3xy10. 故曲线yf(x)在x1 处的切线方程为 3xy10. (2)由已知得f(x)a1xax1x(x0)， 当a0 时，由于x0，故ax10，f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间

9、(0，). 当a0，在区间1a， 上，f(x)0. h(x)1xax2. (1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间， 则当x0 时，1xax21x22x有解. 设g(x)1x22x，所以只要ag(x)min. 又g(x)1x121，所以g(x)min1. 所以a1.即实数a的取值范围是(1，). (2)由h(x)在1，4上单调递减， 当x1，4时，h(x)1xax20 恒成立， 则a1x22x恒成立，设g(x)1x22x， 所以ag(x)max. 又g(x)1x121， 因为x1，4，所以1x14，1 ， 所以g(x)maxg14716(此时x4)，所以a716. 又当a716时，h(x

10、)1x716x2（7x4）（x4）16x， x1，4，h(x)（7x4）（x4）16x0， 当且仅当x4 时等号成立. h(x)在1，4上为减函数. 故实数a的取值范围是716， . 【迁移 1】 本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围. 解 因为h(x)在1，4上单调递增， 所以当x1，4时，h(x)0 恒成立， 所以当x1，4时，a1x22x恒成立， 又当x1，4时，1x22xmin1(此时x1)， 所以a1，即a的取值范围是(，1. 【迁移 2】 本例(2)中，若函数h(x)在区间1，4上不单调，求实数a的取值范围. 解 h(x)在区间1，4上不单

11、调， h(x)0 在开区间(1，4)上有解. 则a1x22x1x121 在(1，4)上有解. 令m(x)1x121，x(1，4)， 易知m(x)在(1，4)上是增函数， 1m(x)716， 因此实数a的取值范围是1，716. 规律方法 1.(1)已知函数的单调性， 求参数的取值范围， 应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于 0 的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系. 2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0 在(a，

12、b)上有解. 【训练 2】 (2020赣州联考)已知函数f(x)ln x，g(x)12axb. (1)若f(x)与g(x)的图象在x1 处相切，求g(x)； (2)若(x)m（x1）x1f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围. 解 (1)由已知得f(x)1x， 所以f(1)112a，所以a2. 又因为g(1)12abf(1)0，所以b1. 所以g(x)x1. (2)因为(x)m（x1）x1f(x)m（x1）x1ln x在1，)上是减函数. 所以(x)x2（2m2）x1x（x1）20 在1，)上恒成立， 即x2(2m2)x10 在1，)上恒成立， 则 2m2x1x，x1，)， 因为x1x

13、2，当且仅当x1 时取等号， 所以 2m22，即m2. 故实数m的取值范围是(，2. 考点三 函数单调性的简单应用 多维探究 角度 1 比较大小 【例 31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x0，2满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是( ) a.2f3f4 c.2f63f4 d.2f3f6 (2)已知定义域为 r r 的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0 时，xf(x)f(x)0，若af（e）e，bf（ln 2）ln 2，cf（3）3，则a，b，c的大小关系正确的是( ) a.abc b.bca c.acb

14、d.cab 解析 (1)令g(x)f（x）cos x， 则g(x)f（x）cos xf（x）（sin x）cos2x1ln xcos2x. 由0 x0，解得1ex2；由0 x2，g（x）0， 解得 0 x4，所以g3g4， 所以f3cos 3f4cos 4，即2f3f4. (2)设g(x)f（x）x，则g(x)xf（x）f（x）x2， 因为当x0 时，xf(x)f(x)0， 所以g(x)0. 所以g(x)在(0，)上是减函数. 由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)， 又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)， 所以g(3)g(e)g(ln 2)， 即f（3）3f

15、（e）ef（ln 2）ln 2，故caf（x）ln 2成立，若f(2)2，则不等式f(x)2x1的解集为( ) a.(2，) b.(2，) c.(，2) d.(，2) 解析 f(x)f（x）ln 2f(x)ln 2f(x)0. 令g(x)f（x）2x，则g(x)f（x）f（x）ln 22x， g(x)2x1f（x）2x12g(2)， 所以x2. 答案 d 规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式， 要充分挖掘条件关系， 恰当构造函数； 题目中若存在f(x)与f(x)

16、的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【训练 3】 (1)(角度 1)已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则( ) a.4f(1)f(2) c.f(1)4f(2) (2)(角度 2)f(x)是定义在 r r 上的偶函数，当x0 时，f(x)2x.若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围是( ) a.(，1 b.1，) c.(，2 d.2，) 解析 (1)设函数g(x)f（x）x2(x0)， 则g(x)x2f（x）2xf（x）x4xf（x）2

17、f（x）x3g(2)， 即f（1）12f（2）22，所以 4f(1)f(2). (2)令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)2x. 当x0，)时，g(x)f(x)2x0. g(x)在0，)上是增函数. 由f(a2)f(a)44a，得f(a2)(a2)2f(a)a2，即g(a2)g(a)， 又f(x)是定义在 r r 上的偶函数，知g(x)是偶函数. 故|a2|a|，解之得a1. 答案 (1)b (2)a a 级 基础巩固 一、选择题 1.函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是( ) 解析 由函数f(x)的图象可知，f(x)在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，

18、所以在(，0)上，f(x)0；在(0，)上，f(x)0，解得22xf(1)f5 b.f(1)f3f5 c.f5f(1)f3 d.f3f5f(1) 解析 因为f(x)xsin x， 所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)， 所以函数f(x)是偶函数，所以f3f3. 又当x0，2时，f(x)sin xxcos x0， 所以函数f(x)在0，2上是增函数， 所以f5f(1)f(1)f5. 答案 a 5.已知函数f(x)13x34x2ex2ex，其中 e 为自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是( ) a.(，1 b.12， c.1，12 d.1，12 解析 f(

19、x)x242ex2exx242 4exexx20，f(x)在 r r 上是增函数. 又f(x)13x34x2ex2exf(x)，知f(x)为奇函数. 故f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)， a12a2，解之得1a12. 答案 d 二、填空题 6.已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间为_. 解析 f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，2和0，2，即f(x)的单调递增区间为，2，0，2. 答案 ，2，0，2 7.已知g(x)2xx22aln x在1，2上是减函数，则实数

20、a的取值范围为_. 解析 g(x)2x22x2ax， 由已知得g(x)0 在1，2上恒成立， 可得a1xx2在1，2上恒成立. 又当x1，2时，1xx2min12472. a72. 答案 ，72 8.(2020西安调研)设f(x)是定义在r r 上的奇函数，f(2)0， 当x0 时， 有xf（x）f（x）x20 的解集是_. 解析 当x0 时，f（x）xxf（x）f（x）x20， (x)f（x）x在(0，)上为减函数， 又f(2)0，即(2)0， 在(0，)上，当且仅当 0 x0， 此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数， 由数形结合知x(，2)时f(x)0.

21、 故x2f(x)0 的解集为(，2)(0，2). 答案 (，2)(0，2) 三、解答题 9.已知函数f(x)ln xkex(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 解 (1)f(x)1xln xkex(x0). 又由题意知f(1)1ke0，所以k1. (2)由(1)知，f(x)1xln x1ex(x0). 设h(x)1xln x1(x0)， 则h(x)1x21x0， 所以h(x)在(0，)上单调递减. 由h(1)0 知，当 0 x0，所以f(x)0； 当x1 时，h(x)0，所以f(x)1 时，g(x)0. (1

22、)解 由题意得f(x)2ax1x2ax21x(x0). 当a0 时，f(x)0 时，由f(x)0 有x12a， 当x0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增. (2)证明 令s(x)ex1x，则s(x)ex11. 当x1 时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即 ex1x， 从而g(x)1xeexe（ex1x）xex0. b 级 能力提升 11.(2020郑州调研)已知f(x)aln x12x2(a0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）f（x2）x1x22 恒成立，则a的取值范围为( ) a.(0，1 b.(1，) c.(0，1) d.1，) 解析 对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）f（x2）x1x22 恒成立，则当x0 时，f(x)2 恒成立，f(x)axx2 在(0，)上恒成立，则a(2xx2)max1. 答案 d 12.若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有m性质.下列函数中具有m性质的是( ) a.f(x)2x b.f(x)x2 c.f(x)3x d.f(x)cos x 解析 设函数g(x)exf(x)，对于 a，g(x)ex2xe2x，在定义域 r r 上为增