同济高数第九章98总

1、第九章9-8总习题221.,4.f x yxyxy求函数的极大值或极小值解：42022420 xyfxfy 由，得驻点，2, 22,2, 20,2, 22xxxyyyafbfcf 240,20,222, 28acbaf 因所以，为极大值点，极大值为：2.1.zxyxy求函数在约束条件下的极大值解：,1 ,l x yxyxy令10210210 xylxlyxy 1 12 2得驻点， ，1 1,22 2z极大值为3.k要造一容积等于 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小 1解：2,sxyxzyzxyzk目标函数条件限制：l, ,2x y zxyxzyzxyzk令202020

2、0 xyzlyzyzlxzxzlxyxyxyzk33322 ,2 ,2kkk得驻点：2xyz所以33322 ,22.kkk由题意最小值存在，所以当长，宽分别为高为时，表面积最小 2解：112sxykyx化为无条件极值问题2220,20 xyksyxksxy3322 ,2kxyk z得33322 ,22.kkk由题意最小值存在，所以当长，宽分别为高为时，表面积最小4.0,02160.xoyxyxy在平面上求一点，使它到直线及的距离平方之和为最小解：222216l,5xyxy令22216054221605xylxxylyxy8 165 5得所求点，225.1zxyxyz抛物面被平面截成一椭圆，求原

3、点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值.解：222222,1,dxyzzxyxyz距离平方函数:条件限制:22222l, ,1x y zxyzzxyxyz 令2222022020010 xyzlxxlyylzzxyxyz 22,2,2210yx zxxx 得13132322 驻点，22max1322395 32d 最大值为22min1322395 32d 最小值为6., , , ,.mnpax y zf x y zx y zm n p将正数 分成三个正数之和，并使为最大，其中为已知正数解：l, ,mnpx y zx y zxyza令1110000mnpxmnpymnpzlmxy zlnx yzl

4、px y zxyzamaxmnpnaymnppazmnp得：9总习题2.ln1011xzxyzye问方程在点， ，的某领域内必定存在哪个隐函数？解：, ,ln1,xzf x y zxyzye设,ln,xzxzxyzzfyzefxfyxey 0,1,120,0,1,110,0,1,10,yzfff ,;,xx y zyy x z所以可确定隐函数： 22222114.,220y axy axzyaxyaxt dtazzaxy设其中 ， 都具有连续的二阶偏导数，求证解：1122zayaxayaxayaxayaxxa22221122zayaxayaxayaxayaxx1122zyaxyaxyaxyax

5、ya221122zyaxyaxyaxyaxya222220zzaxy所以 225.cos ,sin,11123.lef x yxxyyl设求函数在点 ，沿方向 的方向导数，并分别确定 ，使这导数有：最大值； 最小值； 等于零解： grad1,11,1cos ,sincossin2sin4lffel2,2,xyfxyfyx 14524373.44当时， 方向导数最大；当时，方向导数最小；当或时，方向导数等于零2222226.1xyzabc在第一象限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，试求这切平面的切点，并求此最小体积.解：222222, ,1, ,xyzf x y

6、 zx y zabc设切点为222222,xyzxyznf f fabc2220 xyzxxyyzzabc切平面方程：222x,abcyzxyz得截距为：222222222,16a b cxyzvxyzabc所以目标函数：条件限制：222222l, ,1xyzx y zxyzabc令22222222220202010 xyzxlyzaylxzbzlxycxyzabc ,333abc得驻点即所求切点min32vabc22228.d,75 ,75.xoyx y xyxyhf x yxyxy设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的闭区域为小山的高度函数为 0000001m,;xydf x yxyg xy设问在该点沿平面上什么方向的的方向导数最大，若记此方向导数的最大值为g试写出 2 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚找一山坡度最大的点作为起点，试确定攀岩起点的位置.解： 00000000001,2,2xyf xyfxyfxyyx xy沿方向导数最大2222000000000000,22585g xyf xyyxxyxx yy 222,75,g x yxyxy目标函数条件限制2222l,58575x yxxyyxyxy令 221082011082027503xylxyxylyxyxxyxy 1220 xy由得 21,35 3,35,5,