一次函数之最短路径问题

1、一次函数之一次函数之 最短路径问题最短路径问题 1、能用一次函数的知识解决最短路径问题，体会数形结合思想。 2、能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。 3、提高数学建模能力，感受数学学习乐趣。一次函数之一次函数之 最短路径问题最短路径问题1、点m (4,-1)关于x轴对称点的坐标为 ，关于y轴对称点的坐标为 . 2、直线y=kx+b过点a（2，-3）和点b(4,1),则这条直线解析式为： . 它与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 3、直线y=x和直线y= 的交点坐标为 (4,1)(-4,-1)(0,-7)(2,2)( ,0)72y=2x-7任务要求：任务要求：自主独立完成自主独立

2、完成小明家住在b地，小明带着牛在a地吃完草后到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路径最短？abpm原理：两点之间线段最短原理：两点之间线段最短如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4, 1），若点p是x 轴上的一个动点，则当p点坐标为 时，ap+bp的值最小p114 1,412,723727,0277(,0)22ababykxbkbkbkbyxyxpp 1 1解解：b点b点关关于于x轴x轴的的对对称称点点b（b（， ）令令直直线线则则解解得得令令得得则则，xyab(2，-3）(4，1）小明家搬到了小溪对面的b处，他带着牛在

3、a处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这次小明带着牛到小溪l的什么地方喝水能使所走路径最短？bal labapap+bp最短最短原理：两点之间线段最短原理：两点之间线段最短变式一：如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4,1），若点p是x 轴上的一个动点，则当p点坐标为 时，ap+bp的值最小最小yxab任务要求：任务要求：自主独立完成自主独立完成aboyxa1p114 1,412,723727,0277(,0)22ababykxbkbkbkbyxyxpp 1 1解解：b点b点关关于于x轴x轴的的对对称称点点b（b（， ）令令直直线线则则解解得得令令得得则则，

4、最短路径问题 如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4,1），若点p是x 轴上的一个动点，则当p点坐标为 时，ap+bp的值最小最小aa1 1（2，3）a1 1b2k+b=34k+b=-1k=-2,b=7a1 1b-2x+7aboyxb1p114 1,412,723727,0277(,0)22ababykxbkbkbkbyxyxpp 1 1解解：b点b点关关于于x轴x轴的的对对称称点点b（b（， ）令令直直线线则则解解得得令令得得则则，最短路径问题 如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4,1），若点p是x 轴上的一个动点，则

5、当p点坐标为 时，ap+bp的值最小最小变式二：（10年天津中考 25 ）在平面直角坐标系中，矩形 的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，d为边ob的中点.(1)若e为边oa上的一个动点，当cde的周长最小周长最小时，求点e的坐标；oacb3oa 4ob ybodcaxe如图，作点d关于x轴的对称点 ，连接 与x轴交于点e,即为所求。由题意得c(3,4) d(0,2) 所以 （0，-2）设直线c 为y=kx+b 则 3k+b=4 解得 k=2 b=-2 b=-2所以直线c 解析式为y=2x-2当y=0时 x=1所以e(1,0)dcdybodcaxdeddd(3,4）

6、(0，2）(0，-2）变式三：如图，平面直角坐标系中有正方形oabc,b(6,6), d为oc中点，在直线ob:y=x上有一动点p,当p点坐标为 时，cdp周长最小。周长最小。因为四边形oabc为正方形，ob为对角线，连接ac,ac与ob互相垂直平分，所以c点关于直线ob的对称点为a点。连接ad交ob于点p,即为所求。y= x+3由题意得a(6,0) d(0,3) 设直线ad为y=kx+b 则 6k+b=0 解得 k= b=3 b=3所以直线ad解析式为y= x+3 x=2 解得 y=x y=2所以p(2,2)121212ppy= x+3由题意得a(6,0) d(0,3) 设直线ad为y=kx

7、+b 则 6k+b=0 解得 k= b=3 b=3所以直线ad解析式为y= x+3 x=2 解得 y=x y=2所以p(2,2)121212变式三：如图，平面直角坐标系中有正方形oabc,b(6,6), d为oc中点，在直线ob:y=x上有一动点p,当p点坐标为 时，cdp周长最小。周长最小。最小周长为多少？最小周长为多少？22223633 53+3 5cdadao od最 小 周 长 为 ：aba/b/pq三条线段三条线段ap+pq+qbap+pq+qb的和最小的和最小lmn小明带着牛在a处，打算带着牛先去吃草，然后到河边喝水，再回家，请问这次小明带着牛怎样走能使所走路径最短？变式四：如图，

8、已知平面直角坐标系中，a、b两点的坐标分别为a(2,3）b(4,1），设点p、q分别为x轴和y轴上的动点，p(p,0)，q(0,q)，四边形apqb周长最小周长最小时p= ,q= .abpq作点a(2,-3)关于y轴对称点a(-2,-3),点b(4,-1)关于x轴对称点b(4,1),连接ab,分别交x轴y轴于点p和点q,即为所求。设直线ab解析式为y=kx+b 则 -2k+b=-3 解得 4k+b=1直线ab解析式为： 23k53b 2533yx55x0y,33 当时 ，所 以 q55y0 x,22当时 ，所 以 p(4,1)(-2，-3）pbp2、abe1、abe求pa+pb的最小值3、aa

9、bbqppppde求ap+pq+qb的最小值这节课除了又巩固这节课除了又巩固了这些最短路径的了这些最短路径的基本模型外，你还基本模型外，你还有哪些收获？有哪些收获？要善于利用一次要善于利用一次函数的知识来解函数的知识来解决问题哦！体会决问题哦！体会数形结合思想！数形结合思想！小明家搬到了河对面的居民区b地，现在他带牛在a地吃完草后再回家需要在河上建一座桥mn，桥在何处才能使从a到b的路径amnb最短？ 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a(2,3）b(4, 1），若点p(m,0)和点q(m+1,0)是x轴上的两个动点，则当m= 时，ap+pq+qb最小最小bpq将点b

10、(4,1)向左平移1个单位到b(3,1),连接ab交x轴于点p,再将点p向右平移一个单位即为点q设直线ab解析式为y=kx+b 则 2k+b=-3 解得 k=4 3k+b=1 b=-11所以直线ab解析式为 y=4k-11当y等于0时，x=所以m=(2，-3）(3,1）变式六：（10年天津中考 25 ）在平面直角坐标系中，矩形oacb的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上，oa=3，ob=4,d为边ob的中点.（）若e、f为边上的两个动点，且ef=2,当四边形cdef的周长最小时，求点e、f的坐标.ybodcax作点d(0,2)关于x轴对称点d(0,-2),将点c(3,4)向

11、左平移2个单位到点g(1,4),连接dg交x轴于点e,在ea上截取ef=2.设直线dg解析式为y=kx+b b=-2 解得 k=6 k+b=4 b=-2所以直线dg解析式为y=6x-2当y=0时，x=所以e( ,0) f( ,0)131373pbp2、abl1、abl求pa+pb的最小值3、aabbqpcqpd4、abl求ap+pq+qb的最小值数缺形时少直觉，数缺形时少直觉，形少数时难入微，形少数时难入微，数形结合百般好，数形结合百般好，隔离分家万事非。隔离分家万事非。 华罗庚华罗庚 1、如图，平面直角坐标系中有正方形oabc边长为6,直线ac解析式为y= -x+6, m为oa中点,线段oc和ac上分别有两动点p、q，若使mpq周长最小最小，则p点坐标为 ， q点坐标为 .作点m(3,0)关于y轴对称点m(-3,0),关于直线ac的对称点m,因为正方形oabc,所以m为ab中点，即m（3,3),连接mm,分别交oc、ac于点p和点q,即为所求,此时mpq周长最小最小mmpq用待定系数法求出直线mm解析式为1322yx33x0y,p (0,)22当时 ，63,3,313322yxxqyyx 解得2、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点a（2，0），b（0，4）。（1）求该函