2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二讲第2课时导数与函数的极值最值学案新人教版

1、第二课时导数与函数的极值、最值知识梳理双基自测知识点一函数的极值1函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x 0，xx0有f(x) 0，那么f(x0)是极大值如果xx0有f(x) x0有f(x) 0，那么f(x0)是极小值2求可导函数f(x)极值的步骤(1) 求导数f(x) ；(2) 求方程f(x)0的根 ；(3)检验f(x)在方程f(x)0的 根左右的值 的符号，

2、如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得 极大值 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得 极小值 .知识点二函数的最值1函数的最值的概念设函数yf(x)在 a，b 上连续，在 (a，b) 内可导，函数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大(最小)值2连续函数在闭区间a，b上一定有最大值和最小值3求函数最值的步骤设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最值，可分两步进行：(1) 求f(x)在(a，b)内的极值 ；(2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其

3、中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 1f(x0)0与x0是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点2极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值3极值与最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取4定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数在某区间

4、上或定义域内极大值是唯一的()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析(1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较(2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小(3)如yx3在x0处，导数为0，但不是极值点(4)如图知正确题组二走进教材2(多选题)(选修22p32at4改编)若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下面正确的是(cd)ax1是最小值点bx0是极小值点cx2是极小值点d函数f(x)在(1,2)上单调递减

5、解析由导函数图象可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值点，x2为极小值点，f(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选c、d.3(选修22p32at5改编)函数f(x)(x21)22的极值点是(c)ax1 bx1cx1或1或0 dx0解析f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点4(选修22p32at6改编)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为(b)a1e b1 ce d0解析因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当

6、x(1，e时，f(x)0，f(x)单调递增；x(2,1)时，f(x)0，f(x)单调递减f(x)极小值f(1)1.故选a.6(2018课标，16,5分)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是 .解析由f(x)2sin xsin 2x，得f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2，令f(x)0，得cos x或cos x1，可得当cos x时，f(x)0，f(x)为增函数，所以当cos x时，f(x)取最小值，此时sin x.又因为f(x)2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)，1cos x0恒成立，f(x)取最小值时，sin x，

7、f(x)min2.考点突破互动探究考点一用导数求解函数极值问题多维探究角度1根据函数图象判断极值例1 设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(d)a函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)c函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)d函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选d.角度2求函数的极值例2 求下列函数的极值(

8、1)f(x)(x5)26ln x；(2)f(x)xaln x(ar)分析求导，研究函数的单调性从而确定极值解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23，可得x(0,2)2(2,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可知当x2时，极大值f(2)6ln 2，当x3时，极小值f(3)26ln 3.(2)f(x)1，x0.若a0，则f(x)0恒成立，f(x)不存在极值若a0，则x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值f(a)aaln a无极大值综上可知a0时，无极值；a0时，极小

9、值f(a)aaln a.名师点拨可导函数求极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少f(x)0是函数有极值的必要条件角度3根据极值求参数的取值范围例3 (1)已知函数f(x)xex在区间(a，a1)上存在极值点，则实数a的取值范围为 (2，1) .(2)(2019青岛模拟)若函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex，在x2处取得极大值，则实数a的取值范围为 .解析

10、(1)f(x)exxexex(x1)，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)单调递增，则1是函数f(x)的极值点，所以a1a1，即2a1.故填(2，1)(2)f(x)(x2)(ax1)ex.当a0，解得x2，由f(x)0，解得x2，所以函数f(x)在上单调递增，在和(2，)上单调递减，所以函数f(x)在x2处取得极大值当a0时，f(x)(2x)ex.由f(x)0，解得x2；由f(x)2.所以函数f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以f(x)在x2处取得极大值当a0时，若要f(x)在x2处取得极大值，则需f(x)在(，2)，上单调递增，

11、在上单调递减，则有2，解得0af(a)f(c)b函数f(x)在xc处取得极小值，在xe处取得极大值c函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值d函数f(x)的最小值为f(d)(2)(角度2)函数y的极小值为(b)a1 be c1 d(3)(角度3)(2021广东肇庆第二次检测)已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex的极小值点，则实数a的取值范围是(d)a(1，) b(1，)c(，1) d(，1)解析(1)由图可知xa，c时f(x)0，f(x)单调递增，又abc，f(a)f(b)f(c)，a错；x0，f(x)递增；cxe时，f(x)e时，f(x)0，f(x)递增f(x)在xc处取得极

12、大值，在xe处取得极小值，b错，c对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，f(d)不是最小值，d错，故选a、b、d.(2)y，x，y，y的极值情况如下表.x(，0)0(0,1)1(1，)y0y极小值f(x)极小值为f(1)e，故选b.(3)依题意f(x)(xa)(x1)ex，它的两个零点为x1，xa，若x1是函数y(x)的极小值点，则需a1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，在x1处取得极小值故选d.考点二用导数求函数的最值师生共研例4 (2017北京，20)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数

13、f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，得0x1，由f(x)1，所以f(x)1ln x在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，所以f(x)在上的最大值为f(

14、1)1ln 10.又f1eln 2e，f(e)1ln e，所以f0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解析(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0)(2)y，令y0得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增若c10，函数在c,10上递减，在(10，15上递增，所以当v10时，总用氧量最少若c10，则函数在c,15上递增，所以当vc时，总用氧量最少名师点拨函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题变式训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由