2022高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第十一节第1课时导数与函数的单调性教师文档教案文北师大版

1、第十一第十一节节 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 第十一节第一课时 导数与函数的单调性 授课提示：对应学生用书第 41 页 基础梳理 函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导： (1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内是常数函数 导数与函数单调性的关系 (1)f(x)0(或 f(x)0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)若 f(x)0 不恒成立，则 f(x)0(或 f(x)0)是可导函数 f(x)在(a，b

2、)内单调递增(或递减)的充要条件 四基自测 1(易错点：混淆 f(x)的图像)如图所示是函数 f(x)的导函数 f(x)的图像，则下列判断中正确的是( ) a函数 f(x)在区间(3，0)上是减函数 b函数 f(x)在区间(3，2)上是减函数 c函数 f(x)在区间(0，2)上是减函数 d函数 f(x)在区间(3，2)上是单调函数 答案：a 2(易错点：忽视定义域)函数 f(x)xln x 的单调递减区间为( ) a(0，1) b(0，) c(1，) d(，0)(1，) 答案：a 3(基础点：求单调区间)函数 f(x)cos xxsin x，x(0，)的递增区间为_ 答案：(0，2) 4(基础

3、点：导数的应用)函数 f(x)x3ax 在 r 上为增函数，则 a 的取值范围为_ 答案：0，) 授课提示：对应学生用书第 41 页 考点一 用导数讨论函数的单调性，求单调区间 挖掘 1 用导数判断简单函数的单调性/ 自主练透 例 1 (1)(2020 邯郸模拟)已知函数 f(x)x25x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是( ) a(0，12)和(1，) b(0，1)和(2，) c(0，12)和(2，) d(1，2) 解析 函数 f(x)x25x2ln x 的定义域是(0，)，令 f(x)2x52x2x25x2x（x2）（2x1）x0， 解得 0 x12或 x2， 故函数 f(x)的

4、单调递增区间是(0，12)和(2， ) 答案 c (2)设函数 f(x)x(ex1)12x2，则 f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_ 解析 f(x)x(ex1)12x2， f(x)ex1xexx(ex1)(x1) 当 x(，1)时，f(x)0. 当 x1，0时，f(x)0. 当 x(0，)时，f(x)0. 故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减 答案 (，1)，(0，) 1，0 破题技法 根据导数与函数单调性的关系，通过导函数 f(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点： (1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域； (2)求导数，根据基

5、本初等函数的导数以及求导法则求出函数 f(x)的导函数 f(x)； (3)讨论导函数的符号，不等式 f(x)0 的解集就是函数 f(x)的单调递增区间，不等式 f(x)0 的解集就是函数 f(x)的单调递减区间 挖掘 2 讨论含参数的函数的单调性/ 互动探究 例 2 (1)(2019 高考全国卷节选)已知函数 f(x)2x3ax2b，讨论 f(x)的单调性； 解析 f(x)6x22ax2x(3xa) 令 f(x)0，得 x0 或 xa3. 若 a0，则当 x(，0)a3， 时，f(x)0； 当 x0，a3时，f(x)0. 故 f(x)在(，0)，a3， 单调递增，在0，a3单调递减 若 a0，

6、则 f(x)在(，)单调递增 若 a0； 当 xa3，0 时，f(x)0. 故 f(x)在，a3，(0，)单调递增，在a3，0 单调递减 (2)(2018 高考全国卷节选)已知函数 f(x)1xxaln x，讨论 f(x)的单调性 解析 (x)的定义域为(0，)， (x)1x21axx2ax1x2. 若 a2，则 (x)0，当且仅当 a2，x1 时， (x)0， 所以 (x)在(0，)上单调递减 若 a2，令 (x)0，得 xa a242或 xaa242. 当 x0，a a242aa242，时， (x)0； 当 xa a242，a a242时， (x)0. 所以 (x)在0，aa242，a a

7、242，上单调递减，在aa242，a a242上单调递增 破题技法 对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论 考点二 导数在函数单调性中的应用 挖掘 1 导数与解函数不等式、比较大小/ 互动探究 例 1 (1)已知函数 f(x)是定义在 r 上的可导函数， f(x)为其导函数， 若对于任意实数 x， 有 f(x)f(x)0，则( ) aef(2 018)f(2 019) bef(2 018)f(2 019) cef(2 018)f(2 019) def(2 018)与 f(2 019)大小不能确定 解析 令 g(x)f（x）ex，则 g(x)exf（x）exf（x）e2xf（x）f（x）ex

8、，因为 f(x)f(x)0，所以 g(x)0，所以函数 g(x)在 r 上单调递减，所以 g(2 018)g(2 019)，即f（2 018）e2 018f（2 019）e2 019，所以 ef(2 018)f(2 019)，故选 a. 答案 a (2)定义在 r 上的连续函数 f(x)满足 f(x)f(x)x2， 且 x0 时， f(x)x 恒成立， 则不等式 f(x)f(1x)x12的解集为( ) a.，12 b.12，12 c.12， d(，0) 解析 令 g(x)f(x)12x2， 则 g(x)g(x)0g(x)为奇函数，又 x0 时，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上递减，则g

9、(x)在(，)上递减， 由 f(x)f(1x)x12知 f(x)12x2f(1x)12(1x)2， 即 g(x)g(1x)，从而 x1xx12，所以所求不等式的解集为，12.故选 a. 答案 a 破题技法 1.含有“f(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数 2常见的构造函数思路 (1)已知 f(x)g(x)f(x)g(x)型：联想构造函数 f(x)f(x)g(x) (2)已知“f(x)g(x)f(x)g(x)”型：联想构造函数 f(x)f（x）g（x）. (3)已知“f(x)f(x)”型：联想构造函数 f(x)exf(x) (4)已知“f(x)ln x

10、f（x）x”型：联想构造函数 f(x)f(x)ln x. 挖掘 2 已知函数单调性求参数/ 互动探究 例 2 设函数 f(x)exax2，若 f(x)在(0，)单调递增，求 a 的取值范围 解析 f(x)exax2，x(0，)， f(x)ex2ax. 要使 f(x)在(0，)上单调递增， 则 f(x)ex2ax0 恒成立， 即 aex2x在(0，)恒成立 设 h(x)ex2x，h(x)ex（x1）2x2， x(0，1)时，h(x)0，x(1，)时，h(x)0， h(x)在(0，1)为减，在(1，)为增， h(x)minh(1)e2， ae2. 破题技法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (

11、1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上 f(x)0(或 f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围 (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是 f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围 (3)若已知 f(x)在区间 i 上的单调性，区间 i 上含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 i 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围 1已知函数 f(x)2cos x (msin x)3x 在(，)上单调递减，则实数 m 的取值范围是( ) a1，1 b1，12 c12

12、，12 d(12，12) 解析：因为函数 f(x)在(，)上单调递减，所以 f(x)2msin x4sin2x50 在(，)上恒成立， 令 sin xt(1t1)，则 g(t)4t22mt50 在1，1上恒成立，所以g（1）0，g（1）0，解得12m12.故选 c. 答案：c 2已知函数 f(x)x3ax1. (1)若 f(x)在 r 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)在区间(1，)上单调递增，求 a 的取值范围； (3)若 f(x)在区间(1，1)上单调递减，试求 a 的取值范围 解析：(1)因为 f(x)在(，)上是增函数， 所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3x2对 xr 恒成立 因为 3x20，所以只需 a0. 又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 r 上是增函数，所以 a0，即实数 a 的取值范围为(，0 (2)因为 f