2022高考数学统考一轮复习第七章立体几何素养专题五立体几何问题的奇法妙解教师文档教案文北师大版

1、第七章第七章素养专题素养专题( (五五) ) 立体几何问题的奇法妙解立体几何问题的奇法妙解 授课提示：对应学生用书第 147 页 法 1 模型法 一、模型法判断空间位置关系 在进行空间线面位置关系的分析判断时，借助几何体模型能起到非常直观的作用，提高解题的准确率 例1 已知l， m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 下列命题为真命题的序号是( ) 若 l，m，l，m，则 ； 若 l，l，m，则 lm； 若 l，则 l； 若 l，lm，则 m. a b c d 思路点拨 长方体中存在各种平行、垂直关系，以长方体为模型，结合选项，考虑线面位置的各种可能，作出判断 解析 命题，如图(1)，显

2、然不正确，排除选项 a，b，根据选项 c，d，可知一定正确，对于命题，如图(2)，有直线 l 在平面 内的可能，所以命题不正确综上可知，选 c. 答案 c 二、模型法还原几何体 空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分，根据题目的实际情况，判断其可能是哪个几何体的一个部分，利用该几何体为模型，可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体 例 2 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) a.16 b.13 c.12 d.23 思路点拨 根据三视图可以判断该空间几何体是正方体的一部分，先画出正方体，再根据三视图确定空间几何体 解析 该几何体的直观图如图，其体积为正方体体积的

3、16，即该几何体的体积为1611116，故选 a. 答案 a 法 2 割补法 一、分割法求空间几何体的体积 把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体，求出每个规则几何体的体积，然后进行体积求和即可 例 3 如图所示，在多面体 abcdef 中，已知四边形 abcd 是边长为 4 的正方形，efab，ef2，ef 上任意一点到平面 abcd 的距离均为 3，求该多面体的体积 思路点拨 该几何体为不规则几何体，可将其分割为规则几何体后求体积 解析 法一：如图(1)，连接 eb，ec， 则该多面体的体积 vv四棱锥e- abcdv三棱锥f- ebc. v四棱锥e- abcd1342316. ab2

4、ef，efab，seab2sbef. 连接 ac，有 v三棱锥f- ebcv三棱锥c- efb12v三棱锥c- abe12v三棱锥e- abc1212v四棱锥e- abcd4. 故该多面体的体积 vv四棱锥e- abcdv三棱锥f- ebc16420. 法二： 如图(2)， 设点 g， h 分别为 ab， dc 的中点， 连接 eg， eh， hg， 则 egfb，ehfc，ghbc，得三棱柱 egh- fbc 和四棱锥 e- aghd. 由题意得 v四棱锥e- aghd13s矩形aghd3134238. 连接 ce，be，bh，则 v三棱柱eghfbc3v三棱锥e- bgh 312v四棱锥e

5、- gbch32v四棱锥e- aghd32812. 故该多面体的体积 vv四棱锥e- aghdv三棱柱egh- fbc81220. 二、补形法求空间几何体的体积 当求某些几何体的体积较困难时，可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体、长方体等对称性比较好的几何体，以此来求几何体的体积 常见情况如下： 将正四面体补为正方体，如图所示 将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示 将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体， 如图所示，papb， papc， pbpc. 将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图(1)(2)所示 将三棱柱补成平行六面体，如图所示 将台体补成锥体，如图所示 法 3 展开法

6、 涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时，把空间几何体的表面展开 例 4 如图，ab 是圆 o 的直径，点 c 是圆 o 上异于 a，b 的点，po 垂直于圆 o 所在的平面，且 poob1. (1)若点 d 为线段 ac 的中点，求证：ac平面 pdo； (2)求三棱锥 p- abc 体积的最大值； (3)若 bc 2，点 e 在线段 pb 上，求 ceoe 的最小值 思路点拨 (1) 欲证线面垂直 找线线垂直 (2) 欲使三棱锥p- abc的体积最大 因为高为定值|po|，所以只需abc的面积最大 判断点c位置求最值 求体积最值 (3) 利用平面展开图 求其最值 解析 (1)证

7、明：在aoc 中，因为 oaoc，点 d 为 ac 的中点，所以 acdo. 又 po 垂直于圆 o 所在的平面，所以 poac. 因为 dopoo，do平面 pdo，po平面 pdo， 所以 ac平面 pdo. (2)因为点 c 在圆 o 上， 所以当 coab 时，c 到 ab 的距离最大，且最大值为 1. 又 ab2，所以abc 面积的最大值为12211. 又因为三棱锥 p- abc 的高 po1， 故三棱锥 p- abc 体积的最大值为131113. (3)在pob 中，poob1，pob90 ， 所以 pb1212 2. 同理，pc 2，所以 pbpcbc. 在三棱锥 p- abc

8、中，将侧面 bcp 绕 pb 所在直线旋转至平面 bcp，使之与平面 abp 共面，如图所示 当 o，e，c共线时，ceoe 取得最小值 又因为 opob，cpcb， 所以 oc垂直平分 pb，即 e 为 pb 中点 从而 ocoeec22622 62，亦即 ceoe 的最小值为2 62. 法 4 函数法 涉及空间几何体的体积、面积的最值问题时，常利用函数法求解，将求最值的量表示为某变量的函数，利用函数性质求最值，特别要注意变量的取值范围，避免求解错误 例 5 如图，在四面体 abcd 中，abcd2，adbd3，acbc4，点 e，f，g，h分别在棱 ad，bd，bc，ac 上，若直线 ab，cd 都平行于平面 efgh，求四边形 efgh 面积的最大值 解析 直线 ab平面 efgh，ab平面 abc，平面 abc平面 efghgh，hgab.同理， efab， fgcd， ehcd， fgeh， efhg， 故四边形 efgh 为平行四边形 利用 adbd，acbc，易证