人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包17套新人教B版选择性必修第三册 (1)
2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题学案含解析新人教B版选择性必修第三册202103311109.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包17套新人教B版选择性必修第三册 (1)
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包17套新人教b版选择性必修第三册 (1),文本
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51数列基础51.1数列的概念最新课程标准 1.理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) 2掌握数列的通项公式及应用(难点)3了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.教材要点知识点一数列的概念及一般形式数列的项与项数一样吗?提示不一样知识点二数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数_的数列无穷数列项数_的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列常数列各项都_的数列摆动数列从第2项起,有些项_它的前一项,有些项小于它的前一项的数列知识点三数列的通项公式如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个函数式_来表示,那么这个_叫做这个数列的通项公式数列一定有通项公式吗?提示不一定知识点四数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:定义域正整数集n(或它的有限子集1,2,3,n)解析式数列的通项公式值域自变量_时对应的一列函数值表示方法(1)通项公式(解析法);(2)_法;(3)_法数列所对应的图像是连续的吗?提示不连续基础自测1已知数列an的通项公式为an,那么是它的()a第4项b第5项c第6项 d第7项2下列四个数中,哪个是数列n(n1)中的一项()a380 b392c321 d2323已知数列an的通项公式为an,则该数列的前4项依次为()a1,0,1,0 b0,1,0,1c.,0,0 d2,0,2,04下列说法正确的是_(填序号)0,1,2,3,4,5是有穷数列;从小到大的自然数构成一个无穷递增数列;数列1,2,3,4,2n是无穷数列题型一数列的概念及分类例1已知下列数列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,;1,;1,0,1,sin,;2,4,8,16,32,;1,1,1,1.其中,有穷数列是_,无穷数列是_,递增数列是_,递减数列是_,常数列是_,摆动数列是_(填序号)紧扣有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,常数列及摆动数列的定义求解方法归纳1与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限跟踪训练1给出下列数列:20112018年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.无穷多个构成数列, , , ,.2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,构成数列2,4,8,16,32,.其中,有穷数列是_,无穷数列是_,递增数列是_,常数列是_,摆动数列是_题型二由数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式:(1),2,8,;(2)9,99,999,9 999,;(3),;(4),.先观察各项的特点,注意前后项间的关系,分子与分母的关系,项与序号的关系,每一项符号的变化规律,然后归纳出通项公式方法归纳1根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想2观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(1)n或(1)n1来调整跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,;(2)1,3,5,7,9,;(3)1,2,3,4,;(4)1,11,111,1 111,.题型三数列的单调性及应用1数列,的通项公式是什么?该数列的第7项是什么?是否为该数列中的一项?为什么?提示由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an,当n7时,a7,若为该数列中的一项,则,解得n8,所以是该数列中的第8项2已知数列an的通项公式为ann22n1,该数列的图像有何特点?试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项提示由数列与函数的关系可知,数列an的图像是分布在二次函数yx22x1图像上的离散的点,如图所示,从图像上可以看出该数列是一个递减数列,且前两项为正数项,从第3项往后各项为负数项例3已知函数f(x)x.数列an满足f(an)2n,且an0.(1)求数列an的通项公式;(2)判断数列an的增减性先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列an的增减性方法归纳1由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项,其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法;(2)目标函数法:写出数列对应的函数,利用基本初等函数的单调性探求其单调性,再将函数的单调性对应到数列中去,由于数列对应的函数图像是离散型的点,故其单调性不同于函数的单调性,本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k的取值范围在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是n(或它的有限子集1,2,3,n)这一约束条件跟踪训练3已知数列的通项公式为ann22n5.(1)写出数列的前三项;(2)判断数列an的单调性题型四数列的最大(小)项的求法例4已知数列an的通项公式an(n1)n(nn),试问数列an有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由方法归纳求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项二是设ak是最大项,则有对任意的kn且k2都成立,解不等式组即可跟踪训练4已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值教材反思1本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式2要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法易错点要注意以下两个易错点:1并非所有的数列都能写出它的通项公式,例如,的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,它没有通项公式2如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式第五章数列51数列基础51.1数列的概念新知初探自主学习知识点一每一个数第一位an知识点二有限无限大于小于相等大于知识点三nanf(n)公式知识点四从小到大依次取正整数值列表图像基础自测1解析:设是数列中的第n项,则,解得n4或n5.5n,n5应舍去,故n4.答案:a2解析:因为1920380,所以380是数列n(n1)中的第19项应选a.答案:a3解析:当n分别等于1,2,3,4时,a11,a20,a31,a40.答案:a4解析:因为0,1,2,3,4,5是集合,而不是数列,所以错误;正确;数列1,2,3,4,2n共有2n项,是有穷数列,所以错误答案:课堂探究素养提升例1解析:为有穷数列且为递增数列;为无穷、递减数列;为无穷、摆动数列;是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;为递增数列,也是无穷数列;为有穷数列,也是常数列答案:跟踪训练1解析:为有穷数列;是无穷数列,同时也是递增数列;为常数列;为摆动数列答案:例2解析:(1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,所以,它的一个通项公式为an(nn)(2)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an10n1(nn)(3)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用(n1)2表示,分子的后一部分是减去一个自然数,可用n表示,综上,原数列的通项公式为an(nn)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an(1)n(nn)跟踪训练2解析:(1)观察数列中的数,可以看到011,341,891,15161,24251,所以它的一个通项公式是ann21(nn)(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nn)(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为ann(nn)(4)原数列的各项可变为9,99,999,9 999,易知数列9,99,999,9 999,的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nn)例3解析:(1)f(x)x,f(an)2n,an2n,即a2nan10,解得ann,an0,ann.(2)法一(作差法)an1an(n1)(n)111,又n1, n,1.an1an0,即an10,1.an10,an1an.数列an是递增数列例4解析:法一:an1an(n2)n1(n1)nn,当n0,即an1an;当n9时,an1an0,即an1an;当n9时,an1an0,即an1an,故a1a2a3a11a12,所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,即a9a10.法二:设ak是数列an的最大项则即整理得得9k10,所以k9或10,即数列an中的最大项为a9a10.跟踪训练4解析:(1)由n25n40,解得1n4.nn,n2,3.数列中有两项是负数(2)法一:ann25n42,可知对称轴方程为n2.5.又nn,故n2或3时,an有最小值,且a2a3,其最小值为225242.法二:设第n项最小,由得解这个不等式组,得2n3,n2,3,a2a3且最小,a2a3225242.51.2数列中的递推最新课程标准 1.理解递推公式的含义(重点) 2掌握递推公式的应用(难点)3理解数列中的an与sn的关系.教材要点知识点一数列递推公式(1)两个条件:已知数列的_;从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论:具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_公式由数列的递推公式能否求出数列的项?提示能,但是要逐项求知识点二数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项_(或前几项)之间的关系表示an与_之间的关系联系(1)都是表示_的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式知识点三 an与sn的关系若数列an的前n项和为sn,则an特别地,若a1满足ansnsn1(n2),则不需要分段基础自测1已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由anan1an2(n3)给出,则该数列的第5项等于()a6 b7c8 d92已知非零数列an的递推公式为a11,anan1(n2),则a4_.3已知数列an中,a1,an11,则a5_.4已知数列an的前n项和snn21,则an_.题型一由递推关系写数列的项例1(1)已知数列an满足关系anan11an1(nn)且a2 0182,则a2 019()a b.c d.(2)已知数列an满足a11,an2an6,则a11的值为()a31 b32c61 d62方法归纳由递推公式写出数列的项的方法1根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可2若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an2an11.3若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an1.跟踪训练1已知数列an的第1项a11,以后的各项由公式an1给出,试写出这个数列的前5项题型二由an与sn的关系求通项公式例2已知数列an的前n项和sn2n23n,则an_.方法归纳已知sn求an的三个步骤1利用a1s1求出a1.2当n2时,利用ansnsn1(n2)求出an的表达式3看a1是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;否则应写成分段的形式,即an跟踪训练2已知数列an的前n项和sn3n1,则an_.题型三数列的递推公式与通项公式的关系1.某剧场有30排座位,从第一排起,往后各排的座位数构成一个数列an,满足a120,an1an2,你能归纳出数列an的通项公式吗?提示由a120,an1an2得a2a1222,a3a2224,a4a3226,a5a4228,由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nn,n30)2在数列an中,a13,2,照此递推关系,你能写出an任何相邻两项满足的关系吗?若将这些关系式两边分别相乘,你能得到什么结论?提示按照2可得2,2,2,2(n2),将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1,所以an32n1(nn)3在数列an中,若a13,an1an2,照此递推关系试写出前n项中,任何相邻两项的关系,将这些式子两边分别相加,你能得到什么结论?提示由an1an2得a2a12,a3a22,a4a32,anan12(n2,nn),将这些式子两边分别相加得:a2a1a3a2a4a3anan12(n1),即ana12(n1),所以有an2(n1)a12n1(nn)例3设数列an是首项为1的正项数列,且an1an(nn),求数列的通项公式由递推公式,分别令n1,2,3,得a2,a3,a4,由前4项观察规律,可归纳出它的通项公式;或利用an1an反复迭代;或将an1an变形为进行累乘;或将an1an变形式1,构造数列nan为常数列方法归纳由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an,则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式,即:1累加法:当anan1f(n)时,常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式2累乘法:当g(n)时,常用ana1求通项公式跟踪训练3已知数列an中,a12,an1an3(nn),写出这个数列的前5项,猜想an并加以证明教材反思1本节课的重点是数列递推公式的应用,难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式2要掌握判断数列单调性的方法,掌握求数列最大(小)项的方法3要会用数列的递推公式求数列的项或通项4要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.51.2数列中的递推新知初探自主学习知识点一(1)首项(或前几项)(2)递推知识点二an1n数列知识点三s1snsn1基础自测1解析:因为anan1an2(n3)且a11,a22.所以a3a2a1213,a4a3a2325,a5a4a3538.答案:c2解析:依次对递推公式中的n赋值,当n2时,a22;当n3时,a3a23;当n4时,a4a34.答案:43解析:因为a1,an11,所以a21123,a31,a41,a5123.答案:34解析:当n1时,a1s12.当n2时,ansnsn1n21(n1)212n1,故an答案:课堂探究素养提升例1解析:(1)由anan11an1,得an1,又a2 0182,a2 019,故选b.(2)数列an满足a11,an2an6,a3617,a56713,a761319,a961925,a1162531.答案:(1)b(2)a跟踪训练1解析:a11,an1,a2,a3,a4,a5.故该数列的前5项为1,.例2解析:a1s1231,当n2时,ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5,由于a1也适合此等式,an4n5.答案:4n5跟踪训练2解析:当n1时,a1s1314;当n2时,ansnsn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时,23112a1,所以an答案:例3解析:因为an1an.法一:(归纳猜想法)a11,a21,a3,a4,猜想an.法二:(迭代法)因为an1an,所以anan1an2a1,从而an.法三:(累乘法)因为an1an,所以,则,所以an.法四:(转化法)因为,所以1,故数列nan是常数列,nana11,所以an.跟踪训练3解析:a12,a2a135,a3a238,a4a3311,a5a4314,猜想:an3n1.证明如下:由an1an3得a2a13,a3a23,a4a33,anan13.将上面的(n1)个式子相加,得ana13(n1),所以an23(n1)3n1.5.2等差数列等差数列52.1第1课时等差数列的定义最新课程标准 1.理解等差数列的概念(难点) 2掌握等差数列的通项公式及运用(重点、难点)3掌握等差数列的判定方法(重点)教材要点知识点一等差数列的概念如果一个数列an从第_项起,每一项与它的前一项之差都等于_常数d,那么这个数列an就叫做等差数列,这个常数d叫做等差数列的_等差数列的定义用符号怎么表示?提示an1and(n1,d为常数)知识点二等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an_.等差数列的通项公式是什么函数模型?提示d0时,一次函数;d0时,常值函数知识点三等差数列的单调性等差数列an中,若公差d0,则数列an为_数列;若公差d0,则数列an为_数列基础自测1下列数列中不是等差数列的为()a6,6,6,6,6 b2,1,0,1,2c5,8,11,14 d0,1,3,6,102数列an的通项公式an2n5,则此数列()a是公差为2的等差数列 b是公差为5的等差数列c是首项为5的等差数列 d是公差为n的等差数列3已知等差数列an中,首项a14,公差d2,则通项公式an_.4若2,a,b,c,9成等差数列,则ca_.题型一等差数列的概念例1已知数列an的通项公式anpn2qn(p,qr,且p,q为常数)(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列?(2)设cnan1an;求证:对任意实数p和q,数列cn是等差数列已知等差数列an的首项为a1,公差为d,在数列bn中,bn3an4,试判断bn是不是等差数列?提示可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn1bn是不是常数根据题意,知bn13an14,则bn1bn3an14(3an4)3(an1an)3d(常数)由等差数列的定义知,数列bn是等差数列方法归纳等差数列的判定方法有以下三种:1定义法:an1and(常数)(nn)an为等差数列;2等差中项法:2an1anan2(nn)an为等差数列;3通项公式法:ananb(a,b是常数,nn)an为等差数列但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法跟踪训练1 数列an的通项公式an43n,则此数列()a是公差为4的等差数列b是公差为3的等差数列c是公差为3的等差数列d是首项为4的等差数列题型二等差数列的通项公式及其应用在等差数列an中,能用a1,d两个基本量表示an,那么能否用an中任意一项am和d表示an?提示由ana1(n1)d,ama1(m1)d,两式相减可得:anam(nm)d,则anam(nm)d.例2(1)在等差数列an中,已知a47,a1025,求通项公式an;(2)已知数列an为等差数列,a3,a7,求a15的值设出基本量a1,d.利用方程组的思想求解,当然也可以利用等差数列的一般形式anam(n m)d求解方法归纳1应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方程的思想一般地,可由ama,anb,得求出a1和d,从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项公式或其它项时,则运用aman(mn)d较为简捷跟踪训练2401是不是等差数列5,9,13,的项?如果是,是第几项?题型三等差数列及其应用例3某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯,安装第1盏后,往后每隔50米安装1盏,试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米?你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗?跟踪训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算,你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗?若已知届数,你能确定相应的年份吗?教材反思1本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式,难点是等差数列的证明2掌握判断一个数列是等差数列的常用方法:(1)an1and(d为常数,nn)an是等差数列;(2)2an1anan2(nn)an是等差数列;(3)anknb(k,b为常数,nn)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可3会灵活运用等差数列的通项公式解决问题由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式反过来,在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另外一个量.52等差数列52.1等差数列第1课时等差数列的定义新知初探自主学习知识点一2同一个公差知识点二a1(n1)d知识点三递增递减基础自测1解析:a中给出的是常数列,是等差数列,公差为0;b中给出的数列是等差数列,公差为1;c中给出的数列是等差数列,公差为3;d中给出的数列第2项减去第1项等于1,第3项减去第2项等于2,故此数列不是等差数列答案:d2解析:an1an2(n1)5(2n5)2,an是公差为2的等差数列答案:a3解析:a14,d2,an4(n1)(2)62n.答案:62n4解析:由题意得该等差数列的公差d,所以ca2d.答案:课堂探究素养提升例1解析:(1)解:an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq,要使an是等差数列,则2pnpq应是一个与n无关的常数,所以只有2p0,即p0.故当p0,qr时,数列an是等差数列(2)证明:cnan1an2pnpq,cn1an2an12p(n1)pq.而cn1cn2p为一个常数,cn是等差数列跟踪训练1解析:an1an43(n1)(43n)3.an是公差为3的等差数列答案:c例2解析:(1)法一:a47,a1025,则得an2(n1)33n5,通项公式an3n5(nn)法二:a47,a1025,a10a46d18,d3,ana4(n4)d3n5(nn)(2)法一:由得解得a1,d.a15a1(151)d14.法二:由a7a3(73)d,即4d,解得d.a15a3(153)d12.跟踪训练2解析:由a15,d9(5)4,得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.由题意知,4014n1,得n100,即401是这个数列的第100项例3解析:设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1,第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2,第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an,则a1,a2,an,构成一个以a10为首项,以d50为公差的一个等差数列所以有a10,a2a1d05050,a3a2da12d0250100,a4a3da13d0350150,a5a4da14d0450200,ana1(n1)d50n50,所以,第5盏路灯距离第1盏路灯200米,第n盏路灯距离第1盏路灯(50n50)米跟踪训练3解析:设第一届的年份为a1,第二届的年份为a2,第n届的年份为an,则a1,a2,an,构成一个以a11896为首项,以d4为公差的等差数列,其通项公式为ana1(n1)d18964(n1)4n1892,即an4n1892,由an2016,知4n18922016,所以n31.故2016年举行的奥运会为第31届已知举办的届数也能求出相应的年份,因为在等差数列的通项公式ana1(n1)d中,知道其中任何三个量,均可求得第四个量第2课时等差数列的性质最新课程标准 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点)2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)教材要点知识点一等差数列的图像等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是一固定常数;当d0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以_为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点知识点二等差中项如果x,a,y是等差数列,那么称a为x与y的_,且a.任意两数都有等差中项吗?提示是知识点三等差数列的性质(1)an是等差数列,若正整数s,t,p,q满足stpq,则asat_.特别地,当pq2s(p,q,sn)时,2asapaq.对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的_,即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为_数列(3)若an是公差为d的等差数列,则can(c为任一常数)是公差为_的等差数列;can(c为任一常数)是公差为_的等差数列;anank(k为常数,kn)是公差为_的等差数列(4)若an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列panqbn(p,q是常数)是公差为_的等差数列(5)an的公差为d,则d0an为_数列;dk0)是否成立?提示在2的结论中令st,pn1,qn1,可知2anan1an1成立;st,pnk,qnk,可知2anankank也成立例3(1)等差数列an,若a1a17为一确定常数,则下列各式也为确定常数的是()aa2a15 ba2a15ca2a9a16 da2a9a16(2)设数列an,bn都是等差数列若a1b17,a3b321,则a5b5_.方法归纳1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若stpq,则asatapaq(s,t,p,qn),需要当序号之和相等、项数相同时才成立跟踪训练3在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448,求a13;(2)已知a2a3a4a534,a2a552,求d.解答本题可以直接转化为基本量的运算,求出a1和d后再解决其他问题,也可以利用等差数列的性质来解决题型四灵活设元解等差数列例4已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数方法归纳1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列2当已知数列有2n项时,可设为a(2n1)d,a3d,ad,ad,a3d,a(2n1)d,此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时,可设为and,a(n1)d,ad,a,ad,a(n1)d,and,此时公差为d.跟踪训练4三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数教材反思1本节课的重点是等差数列性质的应用2要重点掌握等差数列的如下性质:(1)在等差数列an中,当st时,d为公差公式,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为asat(st)d.(2)等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列(3)等差数列an中,若stpq,则asatapaq(s,t,p,qn),特别地,若2spq,则2asapaq.3等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量第2课时等差数列的性质新知初探自主学习知识点一d知识点二等差中项知识点三(1)apaq和(2)等差(3)dcd2d(4)pd1qd2(5)递增递减基础自测1解析:在等差数列中,由性质可得a2a10a4a816.答案:b2解析:a3a5a2a653338.答案:c3解析:因为a3a4a5a6a75a5450.所以a590,a2a82a5290180.答案:1804解析:设an,bn的公差分别为d1,d2,则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2,所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100,所以anbn为常数列,所以a37b37100.答案:c课堂探究素养提升例1解析:1,a,b,c,7成等差数列,b是1与7的等差中项,b3.又a是1与3的等差中项,a1.又c是3与7的等差中项,c5.该数列为1,1,3,5,7.跟踪训练1解析:因为ab2,所以a,b的等差中项为.答案:a例2解析:(1)a39,a93,又a9a36d,396d,即d1.(2)设等差数列的公差为d,则4d,4d,解得d2.2d10,解得a5.答案:(1)c(2)b跟踪训练2解析:(1)设an的公差为d,则a8a44d,d1.ana8(n8)d4(n8)(1)12n.(2)数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y均为等差数列,1,即,故.答案:(1)an12n(2)例3解析:(1)因为a1a17为一确定常数,又a1a17a2a162a9,所以a2a16a9为一确定常数,故选c.(2)法一:设数列an,bn的公差分别为d1,d2,因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21,所以d1d27,所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二:数列an,bn都是等差数列,数列anbn也构成等差数列,2(a3b3)(a1b1)(a5b5),2217a5b5,a5b535.答案:(1)c(2)35跟踪训练3解析:法一:(1)化成a1和d的方程如下:(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48,即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程如下:解得或d3或3.法二:(1)根据已知条件a2a3a23a2448,及a2a24a3a232a13.得4a1348,a1312.(2)由a2a3a4a534,及a3a4a2a5得2(a2a5)34,即a2a517.解得或d3或d3.例4解析:法一:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得化简,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:设这四个数分别为a3d,ad,ad,a3d,根据题意,得化简,得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.跟踪训练4解析:设这三个数依次为ad,a,ad,则解得.这三个数为4,3,2.5.2.2等差数列的前n项和最新课程标准 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点) 2掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点) 3能灵活应用等差数列前n项和的性质解题(难点、易错点)4会求等差数列前n项和的最值教材要点知识点一数列的前n项和的概念一般地,称_为数列an的前n项和,用sn表示,即sn_.知识点二等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式sn_sn_已知n,an,d能求a1吗?提示能,a1an(1n)d,然后代入公式知识点三等差数列前n项和sn的最值(1)若a10,则数列的前面若干项为_项(或0),所以将这些项相加即得sn的最_值(2)若a10,d0,d0,则_是sn的最_值;若a10,d0,则_是sn的最大值an是等差数列,其前n项和为sn,|an|的前n项和也是sn吗?提示不一定基础自测1在等差数列an中,s10120,那么a1a10()a10 b12c20 d242已知an是等差数列,a110,前10项和s1070,则其公差d()a bc. d.3若数列an的前n项和snn21,则a4()a7 b8c9 d174等差数列an中,a11,d1,则sn_.题型一等差数列sn中基本量的计算 例1在等差数列an中(1)已知s848,s12168,求a1和d;(2)已知a610,s55,求a8和s8;(3)已知a163,求s31.方法归纳a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,sn中可知三求二, 注意利用等差数列的性质以简化计算过程,同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用跟踪训练1在等差数列an中(1)a1,an,sn5,求n和d;(2)a14,s8172,求a8和d;(3)已知d2,an11,sn35,求a1和n.题型二等差数列中的最值问题1将首项为a12,公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数,那么这个函数有什么结构特征?如果一个数列的前n项和为sn3n2n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗?提示首项为2,公差为3的等差数列的前n项和为sn2nn2n,显然sn是关于n的二次型函数如果一个数列的前n项和为sn3n2n,那么当n1时,s1a14.当n2时,ansnsn16n2,a1也适合此式,则该数列的通项公式为an6n2,所以该数列为等差数列一般地,等差数列的前n项和公式snna1dn2n,若令a,ba1,则上式可写成snan2bn(a,b可以为0)2已知一个数列an的前n项和为snn25n,试画出sn关于n的函数图像你能说明数列an的单调性吗?该数列前n项和有最值吗?提示snn25n2,它的图像是分布在函数yx25x的图像上的离散的点,由图像的开口方向可知该数列是递增数列,图像开始下降说明了an前n项为负数由sn的图像可知,sn有最小值且当n2或3时,sn最小,最小值为6,即数列an前2项或前3项和最小例2数列an的前n项和sn33nn2.(1)求an的通项公式;(2)问an的前多少项和最大;(3)设bn|an|,求数列bn的前n项和sn.(1)利用sn与an的关系求通项,也可由sn的结构特征求a1,d,从而求出通项(2)利用sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用sn的函数特征判断项的正负求解方法归纳1在等差数列中,求sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图像及性质求最值2寻找正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点3求解数列|an|的前n项和,应先判断an的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和为sn,且snn23n,求证:数列an是等差数列;(2)数列an的前n项和sn35n2n2,求使sn最大的n的值(3)在等差数列an中,a1023,a2522.该数列第几项开始为负;求数列|an|的前n项和题型三等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知等差数列an中,若a1 0091,求s2 017;(2)已知an,bn均为等差数列,其前n项和分别为sn,tn,且,求.由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解,或结合等差数列的性质求解方法归纳等差数列的前n项和常用性质1若an是等差数列,则snnna中(a中为a1与an的等差中项)2若an,bn均为等差数列,其前n项和分别为sn,tn,则.3等差数列的依次k项之和,sk,s2ksk,s3ks2k,组成公差为k2d的等差数列4若s奇表示奇数项的和,s偶表示偶数项的和,公差为d,当项数为偶数2n时,s偶s奇nd,;当项数为奇数2n1时,s奇s偶an,.跟踪训练3(1)已知在等差数列an中,a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项和等
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