2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(天津卷,含答案)

1、高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨 感冒，就会影响考场发挥。穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时 产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。 如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。另外，进考场前一 定要少喝水！住：考前休息很重要。好好休息并不意味着很早就要上床睡觉， 根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。考前按照你平时习惯 的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。用：出门考试之前，一定要检查文具包。看看答题的工具是否准 备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具

2、没带，或者什么工具用着不顺手。行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到 考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长 时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至 少提前 20 分钟到达考场。绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷6时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题

3、卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：如果事件A, B互斥，那么RAU E)=P(A)+P(B).-棱柱的体积公式 V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,-如果事件 A, E相互独立，那么P(AE)=P(A) P(E).43球的体积公式VR3.3其中R表示球的半径.h表示棱柱的高.、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合 A 1,2,6, B 2,4, C x R| 1x 5，贝U (AUB)

4、I C(A) 2(B) 1,2,4 (C) 1,2,4,6(D) x R | 1x 52xy0,(2)设变量x, y满足约束条件x2y则目标函数z x y的最大值为x0,y3,(A)23(B) 1 ( C)( D)332(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为24,则输出N的值为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3设R，则“1訂”是“ sin 2 ”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2X(5)已知双曲线ab21(a0,b 0)的左焦点为F ,离心率为 2 .若经过F和P(0, 4)两点的直线平2y_2 2.x y

5、.1( B)18(C)(D)行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(6)已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)xf (x).右ag( log25.1),0.8b g(2 ) , cg(3)，则 a, b,c的大小关系为(A) a b c(B) cb a(C)b ac(D) bc a(7)设函数 f(x) 2sin(x ) , x R，其中0,1 15.右 f()82 , f( ) 08，且f (x)的最小正周期大于2 ,则2(A)x x 3,x 1,(8) 已知函数f (x)2设a R，若关于x的不等式f(x) |- a |在R上恒成立，则a的取x -,x 1.2x值范围是(A)-7,

6、2(B)-,-9( C) 2 3,2(D) 2.3,聖16 16 16 16 ,(B)2 ,(C)1(D)1312312324324888444注意事项:1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.(9) 已知a R , i为虚数单位，若 L为实数，则a的值为2 i(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积 为(11)在极坐标系中，直线 4cos(-)610与圆2si n的公共点的个数为(12)若 a,b R , ab 0 ,4则a4b41的最小值为abmuUU

7、LTuuuuuuruuu(13 )在 ABC 中，/ A60 ,AB3, AC 2.若BD2DC ,AEACAB(R),且uuur uuuAD AE 4，贝V 的值为.(14)用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个(用数字作答)三解答题：本大题共 6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)3在厶ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,c.已知a b, a 5,c6 , si nB -.5(i)求b和sin A的值；(n)求 sin(2A n)的值.416.

8、(本小题满分13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111J J2 3 4(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(n)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.(17)(本小题满分13分)如图，在三棱锥 P- ABC中, PA!底面ABC BAC 90 点D, E N分别为棱PA PC, BC的中点，M是线 段 AD的中点，PA=AG=4, AB=2.(I)求证：MN/平面BDE(H)求二面角 GEM N的正弦值;(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为

9、_721求线段AH的长.AC18.(本小题满分13分)已知an为等差数列，前n项和为Sn(n N ) , g是首项为 2的等比数列，且公比大于0,b2 d 12 , b3 印 2ai ， S11 11b4 .(I)求an和bn的通项公式；(H)求数列 a2nb2n 1的前n项和(n N ).(19)(本小题满分14分)2 2 1设椭圆x2 y 1(a b 0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为一已知A是抛物线y2 2px(p 0) a b21的焦点，F到抛物线的准线I的距离为丄.2(I )求椭圆的方程和抛物线的方程；(II )设I上两点P , Q关于x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B

10、( B异于点A)，直线BQ与x轴相交 于点D.若APD的面积为一6，求直线AP的方程.(20)(本小题满分14分)27设a Z ,已知定义在R上的函数f(x) 2x4 3x3 3x2 6x a在区间(1,2)内有一个零点x0, g(x)为f (x)的导函数.(i)求g(x)的单调区间;(n)设 m 1,xo)U (Xo, 2，函数 h(x)g(x)(m Xo) f (m)，求证：h(m)h(x) 0 ；(川)求证：存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p,q ,且上1,xo)U(xo,2,q满足pilp xo1 看.17天津理数答案1-4BDCA 5-8BCAA 9. -2;10. 土;2

11、11.2 ;12.4 ;13.3_113，可得cosB 4.由已知及余弦定理，有5514.108015. (I)解：在 ABC中，因为a b，故由sin B(n)解：由(i)及a c，得 cos A，所以13sin 2A2sin A cos A12132cos2A 1 2sin A5,n.故 sin(2A -)134sin 2Acoscos 2 As in 7.2260,1,2,3.1111P(X0)(1-)(1-)(1-)2344P(X1)1(1 3)(14(12)123423P(X2)(1-)-11(11)12 3423411 11P(X3) 23 424所以，随机变量X的分布列为16.

12、(I)解：随机变量 X的所有可能取值为111 111(1_) (1 -) (1-)-42342411-1、 1(1 -)2344由正弦定理aK,得 sin Aa sin Bsin Asin Bbb2 a2 c2 2ac cos B 13，所以 b .13 .3 1313所以，b的值为.13，sin A的值为3 13 .13X0123P111114244241111113随机变量X的数学期望E(X) 0 - 12丄3丄弋.424424 12(n)解：设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y Z 1) P(Y 0,Z1) P(Y 1,Z0) P(Y

13、O)P(Z 1) P(Y 1)P(Z0)1 1 4 2424 448 .11所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.48(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13分.uuuumrumr如图，以A为原点，分别以 AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 .依题意可A( 0，0，0)，B( 2，0，0)，C( 0，4，0)，P( 0，0，4)，D( 0，0，2)，E( 0，2，2)，M( 0，0，1)，N(1，2，0)(I)证明:muDE =:(0，2,LUL

14、T0)，DB =(2，0， 2uurn DE 则UUT0，即2y0.不妨设z 1，可得n DB02x2z0因为MN 平面BDE所以MN/平面BDE).设n (x,y,z)，为平面BDE的法向量，ujm一，口 uuiun (1,0,1).又 MN = ( 1，2，1)，可得 MN n 0.(n)解：易知厲(1,0,0)为平面CEM勺一个法向量设n2(x, y,z)为平面EMN勺法向量，则jjjjn2 EM 0ujinn2 MN 0ujun(0, 2, 1)， MN2y z 0(1, 1)，所以xy2y z 0.不妨设y 1，可得压(仆2).因此有cos m,n2nt n2|n 1| n2|于疋s

15、inn1, n210521所以，二面角 C- EM N的正弦值为10521（川）解：依题意，设 AH=h （ 0 hUJUD4),贝 y H( 0, 0, h),进而可得 NH ( 1,uuu2,h)，BE(2,2,2) 由已知，得I cosjjjj jjjJJJJ JJJ | NH BE |NH , BE | uun_jjj-|NH | BE |2h2|7h5 2*321，整理得10h221h 8所以，线段18.【解析】）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b22bs 12，得 “(q q ) 12，而 d 2 ,所以q2 q6 0.又因为0,解得q 2.所以，bn 2由

16、b3a42ai，可得 3d ai 8 .由 S11=11b4，可得 a1 5d 16 ,联立，解得a1 1, d 3，由此可得an 3n所以，数列an的通项公式为an 3n 2，数列bn的通项公式为bn 2n.(II)解：设数列22nb2n 1的前n项和为T，由a2n6n 2，b2n 12 4n 1，有 a2nb2n1(3n 1) 4n ,故Tn42843(3n1)4n，4Tn2 4254344(3n4)4nn 1(3n 1) 4,上述两式相减，得3Tn4243L 3 4n(3nn 11) 412 (1 4n) 41 4(3n 2) 4n 1(3n1)4n8.得Tn也上4n33n3c19. （

17、I）解：设F的坐标为（c,0）.依题意，-a所以，数列a2nbn 1的前n项和为4n83.P2-，解得a2是b1 2a2c2所以，椭圆的方程为 x所以，g (x)的单调递增区间是(,1),(,)，单调递减区间是(1,) 包-31，抛物线的方程为 y2 4x.(n)解：设直线AP的方程为x my 1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点2P( 1,)，故mQ( 1,?).将 xmmy 1 与 x2&1联立，消去x,整理得(3m2324)y 6my 0,解得y 0，或6m y矿-.由点42B异于点A，可得点B( ,).由Q(3m 4 3m 421,)，可得直线mBQ的方程为6m(3m72)(xm

18、3m 4 *1)(y-)0，令 y 0,m解得x2，故2c 23m3m2D,0).所以| AD | 12 3m23m2 26 m23 m22.又因为 APD的面积为626 m23m2 22| m| 6，整理得23m2 2、.6|m| 2解得|m|所以，直线AP的方程为3x6y、6y 30.20. (I)解：由 f(x)2x43x323x 6x a,可得g(x)3f (x) 8x329x2 6x 6 ,进而可得g (x)24 x218x6.令 g (x)0，解得 x 1，或 x -4当x变化时，g (x), g(x)的变化情况如下表:x(,1)(计(?)g(x)+-+g(x)/因此，当 x 1,

19、X0)U(X0,2时，Hx) Hx。)f(x。) 0,可得 Hjm) 0,即 h(m) 0.令函数 H2(x) g(Xo)(x X。) f (x)，则 H2(x) g(x) g(x).由(i)知，g(x)在1,2上单调递增，故当 x 1,xo)时，H2(x) 0, H2(x)单调递增；当 x (Xo,2时，H2(x) 0, H2(x)单调递减因此，当 X 1,X0)U(X0,2时，H2(x) H2(x。) 0，可得 H2(m) 0,即 h(x。) 0.所以，h(m)h(x0)0.(HI )证明：对于任意的正整数p，q，且卫1,x0)U(x0,2，q令 m ，函数 h(x) g (x)(m 沧)f (m).q由(II )知，