王少卓调研报告

1、毕业(设计)论文调研报告 学生姓名 王少卓 专业班级 R计算111 所在院系 理学院 指导教师 郑成德 职称 讲师 所在单位 信息与计算科学教研室 完成日期 2016年4月28日推荐精选调研报告一 课题的来源及意义震荡函数作为一大类函数，在工程领域都有重要的应用。但由于这些函数的震荡性，使得对这类函数在某一区间上的数值积分积分变得异常困难。其主要是积分的误差的控制问题，或是收敛性的讨论。例如对于一简单的震荡函数f(x)=sin(1/x)，在任一包含原点附近的区间上的积分，经典的数值积分公式例如梯形公式、辛普森法则、牛顿科茨公式等，对它的收敛性难以保证，或是误差难以控制。这类函数的特点是函数值在

2、积分区间上急剧震荡，无法找到一个确且的点使得这类函数的函数值在这个值附近的波动都比较小，或是这个点太难找了，或是即就是找到了，最终的误差也难以把握，可能我的会得到一个不收敛的函数值。 因此，我们有必要对这类函数另行讨论，针对其中一部分找到较好的方法。二.国内外起源以及发展状况 目前，对振荡函数数值积分公式进行的研究已取得一些成果。对这一问题的解决最早要归功于Fillon，其后在此基础上出现了很多解决这一问题的方法。比如我国著名数学家徐利治先生提出了渐进展开的徐氏公式。另外还有Lobatto法和Price法等，但它们都或多或少存在一些弊端，有的方法需要计算大量的一阶或高阶导数，这样会使得问题更加

3、复杂化，而且高阶导数的计算会降低最终结果的精度；另外，有的需要大量复杂的计算，这就使得算法的时间效率和空间效率有所降低。因此在实际应用中，对于被积函数含有振荡的积分以及广义积分的计算中，需对被积函数作适当的处理再进行近似计算，才能提高计算结果的精度。三.本课题的研究目标，研究内容，研究方法，研究手段3.1 目的与内容 直观上，函数f(x)在某一区间上震荡，也就是说函数没有断点，在这个区间上函数多次回到y=b这条直线上，又多次远离y=b这条直线。但函数与y=b任意相邻的两交点距离不一定相同，同时函数和y=b的最远点的纵坐标也不一定相同。即我们可以看到所谓的震荡函数只是函数值在急剧波动，对函数本身

4、的要求较广。如f(x)=1/x*sin(x)这类函数，或是类似于f(x)=sin(k/x2)（k不等于0）这类。如此看来，任一连续的周期函数也是震荡函数，且任一震荡函数可以视为振幅和周期不断随位置变化的周期函数。又由魏尔斯特拉斯第二逼近定理，我们知道任一区间上的周期函数可以由一个三推荐精选角多项式函数进行逼近。由此我们在此只讨论三角性或是由其经过有限次的运算构成的函数，便可以解决一大类问题了。3.2 方法与手段积分运算是微积分学的一个重要的分支。在加速度已知的情况下，积分运算用来求它的速度；或者通过速度求出位移，计算图形面积，预测人口增长等其他许多重要的应用。在微积分课程中已经学过许多求函数f

5、(x)的不定积分的方法（给定函数f(x)，它的不定积分是满足条件F(x)=f(x)的函数F(x)）。在实际计算中常常遇到求定积分的问题，根据积分学的基本定理，只要求出原函数便可求出定积分的值。也学过定积分的计算方法：牛顿-莱布尼兹公式，可以利用不定积分计算定积分的值。然而有些被积函数的不定积分无法用普通的函数表示，求原函数往往是困难的，有时甚至是不可能的。当被积函数的不定积分未知时，我们就用到了数值积分方法。所以我们要讨论数值积分方法，即用数值方法求积分的近似值。（1） Newton-Cotes求积公式设(a,b)为有限或无穷区间，用被积函数f(x)的以a=x0<x1<x2<

6、<xn=b为节点的n次Lagrange插值多项式及其余项代替被积函数，当求积节点为等距节点Qnf= wk(n)*fk(k=0,n) (2.1)Qnf称为数值积分公式，其中wk(n)=lk(x)dx(ab),k=0,1,nlk(x)为n次差值基函数，x1,x2,xn称为求积积点。 设a,b为有限区间，步长h=(b-a)/n，则相应的公式（2.1）便称为n阶Newton-Cotes求积公式。 梯形公式式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数，即当Newton-Cotes求积公式中n=1时，得 Q1f=(b-a)/2*(f(a)+f(b)称为梯形公式。 我们可以使逼近函数的效果更好如果用二次

7、或三次插值多项式。辛普森公式建立的基础就是这种逼近。即Newton-Cotes求积公式中当n=2时，得 Q2f= (b-a)/6*(f(a)+4*f(a+b)/2)+f(b)称为抛物线公式，也叫Simpson公式。 (2) 复合求积公式应用高阶的Newton-Cotes型求积公式计算积分会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形和抛物线公式)又往往因积分区间步长过大使得离散误差大。然而，若积分区间愈小，则离散误差小。因此，为了提高求积公式的精确度，又使算法简单易行，往往使用复化方法。即把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来，这种公式称为复合求积公式。复合求积公式是一种

8、典型的求积方法，通过低阶的求积公式构造出收敛性极好的求积方法，主要有复合梯形公式和复合推荐精选Simpson公式。 记h=(b-a)/m，xk=a+k*h，k=0,1,m。在每个小区间xk, xk+1上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式： Q1(m)f=h/2*(f0+fm+2*fk(k=1,m-1) 如将a,b区间2*m等分，记h=(b-a)/(2*m)，xk=a+k*h，k=0,1,2*m。在每个小区间x2*i, x2*i+2上使用抛物线求积公式，则得复合抛物线公式： Q2(2*m)f=h/3*(f0+4*f2*i+1(i=0,m-1)+2*f2*i(i=1,m-1)+ f2*m)四

9、.完成本论文的进度安排第1周： 搜集整理径向基函数及其在图像处理中的应用相关文献资料（研究内容，研究目的，研究方法，手段等），经过与指导老师的讨论准备论文的调研（开题）报告。第2周： 撰写毕业论文调研报告，于周五前提交5000字的调研报告；填写进度计划与考核表第3周： 继续搜集径向基函数及在图像处理应用的相关资料，根据指导老师布置的外文文献开始进行翻译，同时准备毕业论文初稿。第4周： 继续进行翻译外文文献，列出毕业论文提纲，与指导老师讨论后撰写毕业论文初稿。第5周： 按照指导老师要求于周五前提交翻译好的外文文献，撰写毕业论文初稿。第6周： 撰写毕业论文初稿（第一部分）。外文翻译评阅定稿，准备期

10、中检查材料第7周： 整理毕业论文初稿，注意论点正确、论据充分，内容结构安排合理，合规范性要求，并有一定的现实意义和创新性。第8周： 经过整理，向指导教室提交毕业论文初稿。第9周： 按指导教师意见修改论文初稿。第10周：经过修改，完成毕业论文（12000字），并打印所有论文、外文翻译、调研报告等相关资料。第11周：周一提交毕业论文完成稿的电子稿和打印稿，准备毕业论文答辩。第12周：论文答辩。五.主要参考文献：1 林成森.数值计算方法（上）M.北京：科学出版社，2004:173-179.2 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法M.北京：科学出版社，2005:125-132.推荐精选3 Micheal

11、T.Heath. Scientific Computing: An Introductory SurveyM.(2nd edition). 北京：清华大学出版社，2002:186-199.4 马昌凤，林伟川. 现代数值计算方法M. 北京：科学出版社，2008:100-120. 5 Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical AnalysisM.(7th edition).北京：高等教育出版社，2003.4:221-264. 6 李毅夫.一种新型高效的振荡函数数值积分方法J.计算数学.1992,14（04）:506-512.7 熊华，杨国孝.一类振荡函数的数值积分方法J.北京理工大学学报.1999, 19（03）:280-284.