圆幂与根轴PPT课件

1、与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。首先我们有幂的定义幂的定义：从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于圆周的幂点对于圆周的幂。若A点在圆外，A点的幂等于从A点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线定理，知道点A的幂为定值。根轴根轴第1页/共26页不难证明，幂有下列两个性质（1 1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。（2 2）：点）：点A A对于以对于以O O为圆心的圆周的幂，等

2、于为圆心的圆周的幂，等于OAOA及其半径的平方差。及其半径的平方差。由此，我们有由此，我们有定理定理1 1：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。是一条垂直于连心线的直线。第2页/共26页不不存存在在；，所所以以，同同心心圆圆的的根根轴轴若若两两圆圆同同心心，则则由由此此可可以以看看出出：0. 121 OO与与一一定定点点的的根根轴轴。一一圆圆时时，直直线线（轨轨迹迹）称称为为上上面面的的论论述述均均成成立立。这这的的幂幂即即是是点点对对圆圆，这这时时缩缩成成一一点点，圆圆若若.0. 2222222MOOMOOR 定义：两圆等幂点的轨迹，称为两

3、圆的根轴或等幂轴。定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。定理定理2 2：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆的幂都是的幂都是O O，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线定理定理3 3：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线. .这由幂的定义，可立即推出这由幂的定义，可立即推出：定理定理4 4：若三个圆两两不同心，则其两两的根轴相交于一点，或互：若三个圆两两不同心，则其两两

4、的根轴相交于一点，或互相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。第3页/共26页的的垂垂心心。根根轴轴必必通通过过为为直直径径的的两两圆圆的的、上上的的点点，求求证证：以以、中中是是、设设ABCCDBEACABABCED第4页/共26页三三点

5、点共共线线。、的的充充分分必必要要条条件件是是两两点点，求求证证：、内内切切于于圆圆分分别别与与与与圆圆两两点点，且且圆圆、相相交交于于与与圆圆圆圆已已知知两两个个半半径径不不相相等等的的TNSMNOMTSOOONMOO 2121第5页/共26页.MNOIQFPENMQABDEPCAFDFEDABCABCABCABCIO 的的中中点点，求求证证：，分分别别为为线线段段、点点，相相交交于于点点与与，直直线线相相交交于于点点和和，直直线线、相相切切于于点点分分别别、的的内内切切圆圆与与边边的的外外心心和和内内心心，分分别别为为和和设设第6页/共26页第7页/共26页在在两两圆圆的的连连心心线线上上

6、。的的交交点点和和，求求证证：直直线线于于，切切圆圆于于切切圆圆引引它它们们的的一一条条内内公公切切线线，于于，切切圆圆于于公公切切线线切切圆圆相相离离，引引它它们们的的一一条条外外和和圆圆如如图图，设设圆圆CDABDOBOCOAOOO212121第8页/共26页是定值。是定值。求证：求证：的延长线于点的延长线于点，交，交的延长线于点的延长线于点的垂线交的垂线交作作，过，过或或的割线的割线引圆引圆点，过点，过上或其延长线上任一定上或其延长线上任一定的直径的直径是圆是圆设设.ANANNBMNBMBBAAMMMAMOABBOA .ABABANANAOMMNNMM 在在根根轴轴上上，则则的的根根轴轴

7、，又又和和圆圆是是圆圆。于于是是，四四点点共共圆圆，记记此此圆圆为为、提提示示：可可证证? ?M M ? ?A A? ?M M? ?N N? ?B B ? ?B B N第9页/共26页.OHAPHOPMNEFBNCMACABFEABC 垂心。求证：垂心。求证：分别为三角形的外心和分别为三角形的外心和、，于于交交为高，为高，、中点，中点，、分别为分别为、中，中，? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H? ?H H ? ?o o ? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H第

8、10页/共26页.2121MNHHCODAOBHHBCADNMOABCD 的垂心，求证：的垂心，求证：与与（不重合）分别是（不重合）分别是、的中点，点的中点，点、分别是分别是、，点，点的对角线交于点的对角线交于点设四边形设四边形? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 1? ?E E? ?F F? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 1第11页/共26页根轴及其应用根轴及其应用根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴和共轴圆根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴和

9、共轴圆系易于构造和计算，不少涉及圆的解析几何问题，若运用根轴系易于构造和计算，不少涉及圆的解析几何问题，若运用根轴知识来解决，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易知识来解决，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易掌握。掌握。第12页/共26页第13页/共26页第14页/共26页第15页/共26页.)(0. 10022的的切切线线方方程程，求求经经过过圆圆上上一一点点的的方方程程是是已已知知圆圆例例yxPFEyDxyxC 第16页/共26页.)0()()()(. 222200所所在在的的直直线线方方程程，求求弦弦，的的两两条条切切线线，切切点点为为引引圆圆，过过点点例例ABBArrby

10、axyxM 第17页/共26页.7052204:0284:. 3222221相相切切的的圆圆的的方方程程之之交交点点且且与与直直线线与与圆圆求求经经过过圆圆例例 xyxyxCxyxC第18页/共26页.0622:01062:. 4222221为为直直径径的的圆圆的的方方程程两两点点，求求以以弦弦，交交于于与与圆圆若若圆圆例例ABBAyxyxCyxyxC 第19页/共26页.0622:01062:. 4222221为为直直径径的的圆圆的的方方程程两两点点，求求以以弦弦，交交于于与与圆圆若若圆圆例例ABBAyxyxCyxyxC 第20页/共26页.0622:01062:. 4222221为为直直径径的的圆圆的的方方程程两两点点，求求以以弦弦，交交于于与与圆圆若若圆圆例例ABBAyxyxCyxyxC 第21页/共26页.)21(03:)41(. 5的的方方程程的的圆圆，相相切切于于点点，并并且且与与直直线线，求求经经过过点点例例Myxl