人教版初二上数学培优精编讲义教师版

1、优秀学习资料欢迎下载未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名 :_ _学校 :_班级 :_优秀学习资料欢迎下载第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法： 若 ABC和 A B C是全等的三角形， 记作 “ ABC A BC其中，“”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（ 1）根据对应顶点找

2、如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（ 2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（ 3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（ 1），BOC EOD， BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的；旋转如图（ 2），COD BOA ， COD 可以看成是

3、由BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的；平移如图（ 3），DEFACB ， DEF 可以看成是由ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。优秀学习资料欢迎下载5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是， a: 三个角对应相等，即 AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位

4、置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】 全等三角形知识的应用（ 1） 证明线段（或角）相等【例 1】如图，已知 AD=AE,AB=AC. 求证： BF=FC分析：由已知条件可证出ACD ABE ，而 BF 和 FC 分别位于DBF 和EFC 中，因此先证明ACD ABE ，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.证明：在ACD 和ABE 中，AE=AD A= AAB=AC. ACD ABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. AB AD=AC AE即 BD=CE在DBF 和ECF 中 B= C BFD= CFE （对顶角相等）BD=CE DBFEC

5、F （ AAS）优秀学习资料欢迎下载 BF=FC （全等三角形对应边相等）（ 2）证明线段平行【例 2】已知：如图， DEAC ，BFAC ，垂足分别为 E、 F， DE=BF，AF=CE.求证：ABCDDCEFAB分析：要证AB CD，需证 C A ，而要证 C A ，又需证ABF CDE.由已知 BFAC ， DE AC ，知 DEC BFA=90°，且已知 DE=BF， AF=CE.显然证明 ABFCDE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证证明：DEAC，BFAC（已知）DEC BFA=90°（垂直的定义）C A, 进一步证明 AB CD.在 ABF 与 CDE

6、 中，AF=CE（已知） DEC BFA（已证）DE=BF（已知） ABF CDE（SAS） C A (全等三角形对应角相等 ) AB CD （内错角相等，两直线平行）（ 3）证明线段的倍半关系 ，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例 3】如图，在 ABC 中， AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB ，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE分析：()折半法： 取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD优秀学习资料欢迎下载证明：取 CD 中点 F，连接 BF1 BF= 2 AC,且 BF AC （三角形中位线定理）

7、ACB 2(两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB 3（等边对等角） 3 2在 CEB 与 CFB 中，BF=BE 3 2CB=CB CEB CFB (SAS)1 CE=CF=2 CD （全等三角形对应边相等）即 CD=2CE（）加倍法证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连 BF.C41AE23BDF在 AEC 与 BEF 中，AE=BE 1 2 （对顶角相等）CE=FEAECBEF (SAS) AC=BF, 4 3 (全等三角形对应边、对应角相等 ) BFAC (内错角相等两直线平行 )o ACB+ CBF=180 ,oABC+ CBD=180 ,又 AB=AC ACB= ABC

8、 CBF=CBD（等角的补角相等）在CFB 与CDB 中，优秀学习资料欢迎下载CB=CB CBF= CBDBF=BD CFB CDB (SAS) CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取 AC 中点 F，连 BF(如图 )（B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提），然后证 CE=BF.(4)证明线段相互垂直【例 4】已知：如图， A 、D、 B 三点在同一条直线上， ADC 、 BDO 为等腰三角形， AO 、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。COEADB分析：本题没有直接给

9、出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测： AO=BC ，AO BC.证明：延长 AO 交 BC 于 E,在ADO 和CDB 中AD=DC ADO= CDB=90 oOD=DB ADO CDB (SAS) AO=BC, OAD= BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AOD COE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考点拨：【例 1】如图，在 ABC 中，ABAC，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心， EB 为半径画弧，交BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DF DE，连结 FC求证： F

10、A优秀学习资料欢迎下载分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF AC，因此把 A 通过同位角转到 BDE中的 BED，只要证 EBD FCD 即可证明： ABAC， ACB B，EBED， ACB EDBEDAC BED ABEEABDCD又 DEDF ， BDE CDF BDE CDF ， BED F FA说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。【例 2】如图，已知 ABC 为

11、等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE=BD ，连接 CE、 DE.求证： EC=EDEFABCD分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC 全等的三角形，因此过D 点作 DFAC优秀学习资料欢迎下载交 BE 于 F 点，证明 AEC FED 即可。证明：过 D 点作 DFAC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AE AF=BF AF即 EF=AB EF=AC在 ACE 和 DFE 中，EF=AC （已证） EAC EDF ( 两直线平行，同位角相等)AE=FD ( 已证 ) AEC FE

12、D（ SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例 1】如图， ABC 中， C 2 B， 1 2。求证： ABACCD分析：在 AB 上截取 AEAC，构造全等三角形， AED ACD，得 DEDC，只需证DE BE 问题便可以解决证明：在 AB 上截取 AEAC，连结 DE AEAC， 1 2， AD AD， AED ACD， DEDC， AED C AED B EDB ， C2B， 2B B EDB 即 B EDB EBED，即 EDDC， ABACDC 剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下

13、的部分等于另一条短线段） ；如作 AE AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段， 再证明延长的部分与另一条短线段相等） ，其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容优秀学习资料欢迎下载【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A ）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图， CD

14、 AB 于点 D，BEAC 于点 E，BE、CD交 于 点O，且 AO 平分 BAC求证： OBOC3. 如图，已知 C 为线段 AB 上的一点， ACM 和 CBN 都是等边三角形， AN 和 CM 相交于 F点，BM 和 CN 交于 E点。N求证：CEF 是等边三角形。M1FE2ACB4.如图，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线。1求证： AD< 2 (AB+AC)5. 如图，在等腰 RtABC 中， C90°，D 是斜边上 AB 上任一点， AE CD 于 E， BFCD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G求证： BDCG优秀学习资

15、料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载【试题答案】1. D2.证明： AO 平分 ODB，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，BE、CE 交于点 O， ODOE， ODB OEC 90°, BOD COE。 BOD COE（ASA） OB OC3. 分析 由ACM=BCN=60 ，知ECF=60 ，欲证CEF 是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN MCB ，得1=2.再证CFN CEB，即可推得CEF 是等边三角形的结论。证明：在CAN 和 MCB ，AC=MC ，CN=CB ，CAN=MCB=120 ， ACN MCB 中， FCB 和 CEB 中， FCN= ECB=

16、60 ， 1= 2，CN=CB ， CFN CEB， CF=CE，又 ECF=60 ， CEF 是等边三角形 .4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB 、AC 、AD 不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD 是 BC 边上的中线，延长 AD至 E，使 DEAD ，即可得到 ACD EBD 证明：延长AD 到 E，使 DE AD ，连结 BE在ACD与EBD中优秀学习资料欢迎下载 ACD EBD （ SAS） AC EB （全等三角形对应边相等）在 ABE 中，

17、AB EB AE （三角形两边之和大于第三边） AB AC 2AD （等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5.分析：由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中，欲证 BD 与 CG 相等，设法证 CGE BDF 。由于全等条件不充分，可先证 AEC CFB证明：在 Rt AEC 与 Rt CFB 中，ACCB，AECD 于 E， BF C 交 CD 的延长线于 F AEC CFB90°又 ACB90° CAE 90° ACE BCF RtAECRtCFBCEBF在 RtBFD 与 Rt CEG 中， F GEC 90°， C

18、E BF，由 FBD 90° FDB 90° CDH ECG， Rt BFD RtCEG BDCG第十二章轴对称1. 如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称， 这条直线就是对称轴。 两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。注意：优秀学习资料欢迎下载1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提

19、不一样，前者是两个图形， 后者是一个图形。3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。题型一 :轴对称图形的判断【例 1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是()A BCD分析：图形沿一条直线折叠- 相互重合 - 轴对称图形-判断举一反三：1、下列图形中，不是轴对称图形的是A 角B等边三角形2、下列图形中，不是轴对称图形的是（A. 两条相交直线C.有公共端点的两条相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是（A、NB、S()C线段D不等边三角形）B. 线段D.有公共端点的两条不相等线段）C、LD、E4、下列说法中，

20、正确的是()A 两个全等三角形组成一个轴对称图形B直角三角形一定是轴对称图形C轴对称图形是由两个图形组成的D等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形题型二：找轴对称图形的对称轴【例 2】等腰三角形的对称轴 _条.举一反三：1、下列说法中，正确的个数是（）优秀学习资料欢迎下载（1）轴对称图形只有一条对称轴， （2）轴对称图形的对称轴是一条线段， （ 3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形， （ 4）全等的两个图形一定成轴对称， （ 5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。（A）1 个（B）2 个（C）3 个2、轴对称图形的对称轴的条数（）（A）只有一条（B）2 条（C）3 条3、正

21、五角星的对称轴的条数是()A1 条B2 条C5 条（D）4 个（D）至少一条D10 条4、下列图形中有4 条对称轴的是 (A 平行四边形B矩形)C正方形D菱形常见图形及其对称轴：名称线段角长方形正方形圆平行四边形是否是轴对称图形是是是是是不是对称轴有几条条条条条无数条条对称轴的位置垂直平分线或线段所在的直线角平分线所在的直线对边中线所在的直线对边中线所在的直线和对角线所在的直线直径所在的直线小结：轴对称区指两个图形而言；别指两个图形的一种形状与位置关系。轴对称图形对一个图形而言；指一个图形的特殊形状。联都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；系把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形

22、；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。1、线段垂直平分线的概念：（）垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；（）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意 :（）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；（2“到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；（3）“如果到

23、两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂优秀学习资料欢迎下载直平分线。”的作用是：垂直平分线的判定。题型一 :线段垂直平分线的性质【例 3】 如图 1，在 ABC 中，已知 AC=27， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点AE， BCE 的周长等于 50，求 BC 的长 .DEBC图-1点评： 此题是 ABC 中一边 AB 的垂直平分线 AC 相交 ;那么当 AB 的垂直平分线与 BC 相交时， (如图 2),对应的是 ACE 的周长，它的周长也等于 AC+BC. 图形变化，但结论不变 .ADBEC图-2举一反三：1、如图 1, 在ABC 中, A

24、B 的垂直平分线交AB 于点 D, 交 AC 于点 E, 若BEC=70 °，则A=？点评：此题变式求角的计算方法， 应用了两个定理 .按照同样的方法 ,图 2 中也能得出相应的结论：AEC=2 B.【例 4】如图 3，在ABC 中， AB=AC, BC=12, BAC =120 °,AB 的垂直平分线交 BC 边于点AE, AC 的垂直平分线交BC 边于点 N.DM(1) 求AEN 的周长 .BENC(2) 求EAN 的度数 .图-3(3) 判断AEN 的形状 .优秀学习资料欢迎下载举一反三：1. 如图 4，在ABC 中，AB=AC, BC=12,BAC =130

25、76;,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, ACA的垂直平分线交 BC 边于点 N.DM(1)求AEN 的周长 .BCEN(2)求EAN 的度数 .(3)判断AEN 的形状 .图 -42. 如图，己知 AB=AC ，DE 垂直平分 AB 交 AC 、AB 于 D、E 两点，若 AB=12cm ，BC=10cm,AA=49 o，求BCE 的周长和EBC 的度数 .DEBCA【例 5】如图， D 是线段 AB、BC的垂直平分线的交点，若 ABC50°求 ADCDCB举一反三：1. 如图，ABC 中， DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E，A=30 °，ACB=80 &#

26、176;，求CBECDAEB优秀学习资料欢迎下载A2. 如图，ABC 内有一点 D，且 D 为直线 AB 、 AC 垂直平分线的交点，D若DAB=20 °，DAC=30 °，则BDC 的大小是（）A 100°B80°C70°D50°B题型二 :线段垂直平分线的判定【例 6】如图所示， RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC ，过 D 作 AB 的垂线交CCD 交 BE 于点 F。求证： BE 垂直平分 CD 。(用定义法和判定定理法两种方法)EFADB【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？【例 7】 如图，在AB

27、C 中， D 为 BC 边上的一点， AD 平分BAC ，且 DE ABAAC 于点 F，连接 EF 交 AD 于点 G，求证： AD 垂直平分 EF 。CAC 于点 E，于点 E，DFGFEBDC举一反三：如图所示， AB>AC ，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于D，自 D 作DE AB于 E，DF AC于F ，求证： BF=CG 。AFBDCEG优秀学习资料欢迎下载1、轴对称的性质：（）关于某条直线对称的图形是全等形；（）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（）如果两

28、个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。2、轴对称作（画）图：（）画图形的对称轴（）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。（）画某点关于某直线的对称点的方法（）画已知图形关于某直线的对称图形注意：（）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。（）性质（）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。【例 8】 如图，ABC 和ABC关于直线对称，下列结论中：ABC ABC； BAC BAC ； l 垂直平分CC ；直线 BC 和 B C的交点不一定在 l 上，正确的有 ()A4 个B3

29、个C2 个D1 个举一反三：1、如图， ABC 与 A/B/C/关于直线 l 对称，则B 的度数为（）A50°B30°C100°D90°lAFEAA'50BB'30CC'BDC优秀学习资料欢迎下载2、如图六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴， 若AFC+ BCF=150 °，则AFE+ BCD 的大小是（） 150 ° 300 ° 210 ° 330 °【例 9】如图，点 P 在AOB 内，点 M 、N 分别是点 P 关于 AO 的对称点、 BO 的对称

30、点，M若 PEF 的周长为 15，求 MN 的长AEOPFBN等腰三角形专题讲解【知识精读】（）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依

31、据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对优秀学习资料欢迎下载等边”。）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，

32、也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】【例 1】如图，已知在等边三角形 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且 CE CD ，DM BC，垂足为 M 。求证： M 是 BE

33、 的中点。AD1BMCE分析： 欲证 M 是 BE 的中点，已知DM BC，所以想到连结BD，证 BDED。因为ABC 是等边三角形， DBE 1 ABC ，而由 CECD，又可证 E 1 ACB ，所以 122 E，从而问题得证。证明： 因为三角形 ABC 是等边三角形， D 是 AC 的中点所以 1 1 ABC2又因为 CE CD，所以 CDE E所以 ACB 2E优秀学习资料欢迎下载即 1 E所以 BDBE，又 DM BC，垂足为 M所以 M 是 BE 的中点（等腰三角形三线合一定理）【例 2】如图，已知：ABC 中， ABAC ，D 是 BC 上一点，且ADDB，DCCA，求BAC的度

34、数。ABCD分析： 题中所要求的BAC 在ABC 中，但仅靠 ABAC 是无法求出来的。因此需要考虑 AD DB 和 DC CA 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形， 构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为 ABAC ，所以BC因为 ADDB ，所以BDABC ；因为 CACD ，所以CADCDA （等边对等角）而ADCBDAB所以ADC2B， DAC2B所以BAC3B又因为BCBAC180即BC3B 180所以B 36即求得BAC108说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。 把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质

35、的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。【例 3】已知：如图，ABC 中， ABAC， CDAB 于 D。求证：BAC2DCB 。优秀学习资料欢迎下载A1 2D3BCE分析： 欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB 的关系。证明：过点 A 作AEBC于E， AB AC所以 121BAC （等腰三角形的三线合一性质）2因为 1B90又 CDAB ，所以CDB 90所以

36、3B90 （直角三角形两锐角互余）所以 13 （同角的余角相等）即 BAC 2 DCB说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半” ，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出 DCB 的等角等。4、中考题型：1.如图， ABC 中， AB AC ，A 36°，BD 、CE 分别为 ABC 与 ACB 的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C.8个D

37、. 9个A36°EDFBC优秀学习资料欢迎下载分析： 由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择 C。2.）已知：如图，在 ABC 中，AB AC ，D 是 BC 的中点， DE AB， DF AC ，E、F 分别是垂足。求证： AE AF 。AEFBDC证明： 因为 ABAC ，所以B又因为 DEAB， DFAC所以BEDCFD90又 D 是 BC 的中点，所以 DB所以DEBCFD (AAS )所以 BECF，所以 AEAF说明： 证法二：连结 AD ，通过CDCAEDAFD 证明即可5、题形展示：【例 1】如图，ABC 中， ABAC， A

38、100 ，BD 平分ABC 。求证： ADBD BC。AD1B2EFC分析一： 从要证明的结论出发，在BC 上截取 BFBD ，只需证明 CFAD ，考虑到12 ，想到在 BC 上截取 BEBA ，连结 DE，易得，则有 ADFD ，只需证明 DE CF ，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出CF DFDE 。证明一： 在 BC 上截取 BEBA，BFBD ，连结 DE、DF在 ABD 和 EBD 中， BABE， 12，BDBDABDEBD (SAS)AD DE， BEDA100DEF 80优秀学习资料欢迎下载又ABAC，A1001ABCC(180100 )40212120402而BD B

39、FBFDBDF1 (1802)1 (18020 )8022DEFDFE80DEDFDFE80 ，C 40FDCDFEC804040FDCCDFFCADDEDF FCBC BFFCBDAD即AD BD BC分析二： 如图，可以考虑延长BD 到 E，使 DEAD ，这样 BD AD=BD+DE=BE ，只需证明 BE BC，由于 220 ，只需证明 EBCE80A3DE6415B2FC易证EDCADB1801002060 ，BDC120 ，故作BDC 的角平分线，则有 ABDFBD ，进而证明DECDFC ，从而可证出E80 。证明二： 延长 BD 到 E，使 DEAD ，连结 CE，作 DF 平分BDC交 BC于 F。由证明一知：1220， A100则有31801002060 ，63 60， BDC180 60120DF 平分BDC