大学物理版课件n第一册第五章

1、1（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）第五章第五章 刚体定轴转动刚体定轴转动陀螺仪陀螺仪25.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5.7 旋进旋进本章目录本章目录3CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动刚体的运动一一. 刚体刚体（rigid body）的概

2、念的概念t t + t 才才感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度k v（k劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ，此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。4 显然，刚体是个理想化的模型，显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体，质点系的

3、规律都可用于刚体，般的般的质点质点系有所简化。系有所简化。通常通常v固体固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。就可把固体视为刚体。实际的意义。实际的意义。但是它有但是它有5的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二 . 刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）： 刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。 2.转动转动（rotation）：）： 转动也是

4、刚体的基本运动形式之一，转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。6 定轴转动：定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动：定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3.平面运动：平面运动： 刚体上各点的运动都平行于某一刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的

5、基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运动： 随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。固定平面的运动。7O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同， 动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三 . 刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation

6、 about a fixed point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢转动却相同，转动却相同，或或。 和转向，引入和转向，引入角速度矢量角速度矢量8tdd 与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。tdd （不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴） 基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体 dv 的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，为反映为反映 的变化情况，引入的变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。 转向转向 9（2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O瞬时轴瞬时轴刚体刚体rr vtrrttadddddd vv r旋

7、转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。 和和 和和 退化为退化为代数量代数量10 O刚体刚体vPrr定轴定轴参考方向参考方向z , rv2 ran rtrtat vdddd )(221)(0202200 ttt .const 若若115.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外 OtLM )(2iiirm)(dd轴轴对对外外 ztLMzz iiiiiizzrmLLv iiizrmJ2令令转动惯量转动惯量

8、（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O, , ri定轴定轴zmiriFi12vi刚体刚体 O, ,ri定轴定轴zFiimiri zzJL则则tJtLMzzzdddd 外外 zzJM 外外即即转动定律转动定律其中其中 iiiizrFM sin外外定轴情况下，可不写下标定轴情况下，可不写下标 z ，记作：，记作： JM 与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F ，J 相应相应 m ， 相应相应 a 。135.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 2iirmJ质质点点系系 mmrJd2连连续续体体dmrm转轴转轴 J 由质量对轴的分布决定。由质量

9、对轴的分布决定。演示演示 质量分布改变对转动惯量的影响质量分布改变对转动惯量的影响(KL013)一一. 常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 RmO细圆环：细圆环：2mRJO 14RmC均匀圆盘：均匀圆盘：221mRJC CAm2l2l均匀细杆：均匀细杆：2121mlJC 231mlJA 二二. 计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性 iJJ15 2.平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行2mdJJC minJJC 3.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO 2iizrmJ 22i

10、iiiymxmyxzJJJ 即即（证明见书（证明见书P260P262）如图如图16 例例 求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知已知圆盘圆盘。 221mRJz yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：221mRJJJzyx 241mRJJyx 思考思考下图中的下图中的 Jz 如何求？如何求？zlDmCaazm175.4 转动定律应用举例转动定律应用举例定轴定轴 ORthmv0= 0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）已知：已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m，滑动，滑动， 下落时间下落时间 t =3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J =？

11、解：解： 动力学关系：动力学关系：对轮：对轮： JRTT = TmgmaRGTN对对m：maTmg 运动学运动学关系：关系：Ra (3)221ath (4)(1)(2)绳轮间无相对绳轮间无相对18(1)(4)联立解得：联立解得：22)12(mRhgtJ 分析结果：分析结果： 量纲对；量纲对； h、m 一定，一定，J t， 若若J = 0，得，得 ，221gth 代入数据：代入数据：2mkg14. 1 正确。正确。合理；合理；222 . 01)15 . 1238 . 9( J此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。195.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一.

12、 力矩的功力矩的功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW d)cos( rF dM 力矩的功：力矩的功： 21 dMW d zx 轴轴rF 20二二. 定轴转动动能定理定轴转动动能定理 21d MW 21ddd tJ 21d J21222121 JJ 221 JEk 令令转动动能：转动动能：）（可可证证： 222121iimJv 刚体定轴转刚体定轴转动动能定理：动动能定理：12kkEEW ）（kE （飞轮储能）（飞轮储能）21三三. 刚体的重力势能刚体的重力势能 iipghmEmhmmgii Cmgh 四四. 应用举例应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于

13、包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp= 0mi守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。22例例已知：已知：如图示，如图示，4/ lAO 。轴轴OCABl , ml /4求：求： 杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（杆（杆+地球）系统，地球）系统，0sin4212 lmgJO (1)222487)4(121mllmmlJO (2)(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。? 角速度角速度? N轴对杆作用力轴对杆作用力均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为，长为l，初始水平静止。初始水平静止。轴光滑，轴光滑，23 应用质心运动应用质心运动CamgmN

14、 CllmaNmgl sin ： (3)CttmaNmgt cos ： (4)24 laCl sin76g (5)OlCtJmglla cos444 7cos3 g (6)BCOAl , mNlNtNmgaCtaCllt 定理求轴力：定理求轴力：24 由由(3)(4)(5)(6)解得：解得：,sin713 mgNl cos74mgNt tlemgemgN cos74sin71316sin15372 mgN)ctg134(tg|tg11 ltNNCOABl , mNlNtNlt255.6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效

15、应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴：对轴：zttzzLLtM1221d 外外刚体：刚体： zzJL 1221d zzttzJJtM 外外刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理26.const0 zzJM ，则，则外外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系， M外外z = 0 时，时， ，.const iizJ 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴

16、的总角动量不变。茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪陀螺仪（KL029）转台车轮转台车轮 (KL017)演示演示 角动量守恒：角动量守恒：27克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消 TV 角动量守恒定律角动量守恒定律 (注注3)28滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）29m (黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例 如图

17、示，如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘？ 0 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 ? ，解：解： m下落：下落：221vmmgh gh2 v(1) mPhv对对（m +盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，0cos JRm v(2) 已知：已知：h，R，M=2m， =60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：30222221mRmRMRJ (3) 对对（m + M +地球）系统，地球）系统，mmgOMR , 令令P、x 重合时重合时 EP = 0，则：，则：2202121sin JJmgR (5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得： co

18、s220Rgh (4) sincos222RgRgh RgmRmgRJM222 )34(2.21RhgR )60( 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。（m +盘）角动量盘）角动量31旋进：旋进： 5.7 旋进旋进 （进动，（进动，precession）如玩具陀螺的运动：如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个32 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz点的点的 不平行于不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，若质量对转轴分布对称，轴轴 L zzJkLL （对对轴轴）（对对点点） 下面我们就讨论这种下面

19、我们就讨论这种质量对转轴分布对称质量对转轴分布对称对转轴不对称，对转轴不对称，的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：例如，图示的情形：质量质量则：则：则对轴上则对轴上O33MdLmgOLtLMdd 。 MtMLdd LM LL d从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。L玩具陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，34 sinsinJMLM JM ，时时当当90 sinLd LOLd 旋进角速度：旋进角速度：tdd tMLLddsind ， 1 演示演示 车轮旋进车轮旋进

20、（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转旋进防止炮弹翻转（注（注2）35 回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt =dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L36 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴随着地球自转轴的旋进，北天极方的旋进，北天极方向不断改变。向不断改变。北极星北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T = 25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面7223o 地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量