圆锥曲线专题复习与训练经典好

1、学习必备欢迎下载高考数学专题复圆锥曲线专题复习与训练 常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。一、圆锥曲线的常用性质x2y21a b 0的补充性质（ 常在解题中遇到）：1. 关于椭圆b2a2 经过焦点1 或2 的椭圆的

2、弦AB，当AB x轴时，AB最短，且 AB2b2FFminaxx轴时， MPQ 过焦点的直线交椭圆于 P、Q两点，点 M 是 轴上一定点，则当 PQ的面积最大。 设右（左）准线与x轴交于点 E，过 E 点的直线与椭圆交于P,Q两点，点 P 与，点 P 关于 x 轴对称，则直线 P Q 一定过椭圆的右（左）焦点 F。一般地，设 P、Q 是椭圆上两动点，直线PQ 交 x轴于点 E（x1 ,0) ，点 P 与点 P 关于 x 轴对称，直线 P Q 交 x 轴于点 F (x2,0) ，则 x1 x2a2 为定值。 设点 P 是椭圆右（左）准线上任一点（不在x 轴上）， A1 、A2 是椭圆的左、右顶点

3、，直线 A1 P , A2 P 与椭圆分别交于 M 、N 两点，则直线 MN 一定过椭圆的右学习必备欢迎下载（左）焦点。反之，过椭圆右（左）焦点F 的直线交椭圆于 M、N 两点，则直线 AM 、A N 的 交点 P 在椭圆的右（左）准线上。 。1 2 设 A1、 A2 是椭圆的左、右顶点， B1、 B2 是椭圆的上、下顶点， P 是椭圆上异于顶点的任一点，则 kkkkb2为定值。PA1PA2PB1PB2a2一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M、N 两点， P 是椭圆上异于 M、N的任一点，则 kPMkPNb2为定值。a2 存在以坐标原点 O 为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q 两点

4、，满足OP OQ ，且圆的方程为x2y2a2b22 ；反之，若 OPOQ ，则O 点到直线a2bPQ 的距离为定值abb2.当 kPQb 时，|PQ|取得最大值a2b2；当 kPQ 0a2a或 PQ x 轴时， |PQ| 取得最小值2ab。.a2b2 设 ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为 2ab . 已知点P 在椭圆上，设F1PF2，则焦点三角形PF1F2 的面积Sb2 tan2。2. 双曲线 x2y 2 1 a 0, b0 的补充性质 （在解双曲线问题时常遇到） ：a 2b 2b平行于渐近线（斜率为a ）的任一条直线与双曲线有唯一交点 .若斜率为 k 的直线与双曲线的两支

5、各交于一点，则 bkb ，若直线只与双曲aa线的同一支相交于两点， 则 kb或 kb （在0 的前提下，反之也成立）.aa 。双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值a 2 b 2a 2b 2. 当焦点弦 AB x 轴时， AB2b2是同一支上所有焦点弦中的最短者。a ， 在焦点三角形PF1F2 中，设 F1PF2，则焦点三角形PF1F2 的面积 S b2 cot2学习必备欢迎下载 设 P 是双曲线右（左）支上任一点，则PF1F2 的内切圆与 x 轴的切点为双曲线的右（左）顶点。 双曲线 x2y2 1 a0, b 0 和 y 2x 21 a0,b 0 称为共轭双曲线a2b2b 2a 2共轭

6、双曲线的性质： 渐近线相同 ； 111e12e223. 抛物线的常用性质（ 常在解题中遇到）：（1）抛物线的焦点性质： 已知抛物线 C ： y22 px，过焦点 Fp , 02的直线交 C 于两点 A(x1 , y1), B(x2 ,y2 ) ，分别过 A, B作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，设直线 AB 的倾斜角为，则：l x1x2 p2A1A， y1 y2p2 .4EOFABx1 x2p .B1BAB2 p，当时， AB 的最小值为 2 p。sin22112AFBFp . A, O, B1 三点共线； A1, O, B三点共线。 以 AB 为直径的圆与直线 l 相切。 以

7、A1B1 为直径的圆过焦点 F 。（2）抛物线的补充性质：设 A、B 是抛物线 y22 px( p0) 上两动点，且满足 OAOB ，（O 为坐标原点），则直线 AB 经过 x 轴上的定点 M (2 p,0) 。反之，也成立。 设抛物线 y2 2 px( p 0)lx交 轴于点 E，过 E 点的直线交抛物线于的准线A,B 两点， A 是点 A 关于 x 轴的对称点，则直线 A B 过抛物线的焦点 F. 过 x 轴上的定点 M (m , 0) 的直线 l 与抛物线 y22 px( p 0 ) 交于两点学习必备欢迎下载A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2m2 ,y

8、1 y22 pm （定值）。（抛物线的切线） 设 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) (x1x20) 是抛物线 x22py(p 0)上两动点，分别过 A、B 两点作抛物线的切线相交于点Mx0 , y0 ，则有： 切线 AM 、BM 的方程分别为： yx1xx12、 yx2xx22。p2 pp2 px0x1x2， 即 Mxxx x2。 切线的交点坐标为：12 ,12y 0x1 x 222 p2 p 直线 AB 的斜率为： k ABx0。p 若直线 AB 与 y 轴交于点 P(0 ， a)，则 M ( x0, a) 。二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。1. 求圆锥曲线的标准方程先

9、判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c 的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求a，b 时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察 猜想 验证，得出 a，b 的值。2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c 之间的等量关系，求出 c 的值。在椭圆中，有：ec1b2；在双曲线中，有：ec1b2。aaaaa能求出 b ，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。a求离心率的取值范围就是根据条件

10、和圆锥曲线的性质寻找a、b、c 之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线学习必备欢迎下载中 几个常用的不等关系： 圆锥曲线上点的坐标的范围； 在椭圆中，有F BF2F PF2，（其中 B 为短轴的端点，P 为椭圆上任一点）11a cPFiac (i 1 ,2) ；在双曲线中，有 PFAF （其中 F 为焦点，P 为双曲线上任一点， A 是同一支双曲线的顶点） 。解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系除常规方法外（比较点到圆心的距

11、离与半径的大小） ，通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B 两点，要判断点P 与以 AB 为直径的圆的位置关系，只需确定APB 的大小，通过计算 PA PB ，确定其符号。4. 证明定点，定值，定直线问题可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。证明直线过定点，有两种思路：求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点； 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x 轴交于点( m , 0) ），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有x1x2 ,x1x2 （或y1y2 ,y1 y2 ），用所求得的结果代入

12、，就可得出坐标为定值。证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题处理问题的基本方法有两种：（1）联立方程法 ：解题步骤是：先设交点A( x1, y1),B(x2 , y2 ) ，再设直线方学习必备欢迎下载程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求x1x2 ,x1 x2 ，（或y1y2 ,y1 y2 ），令0 （如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。

13、（ 2）点差法 ：设交点为 A(x1, y1), B(x2, y2) 及 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ，将 A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程， 作差变形，可得： y1y2f (x0, y0 ) ，即kABf (x0, y0)，x1x2再由题设条件，求中点坐标M (x0 , y0 ) ，根据问题的条件和要求列式。值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过x 轴上的定点 P(a, 0) ，则直线方程可设为kyxa （此直线不包括x 轴），联立方程，消去x ，得到关于y的方程，求出y1y2 ,y1 y2 备用。有时，还要根据y1y2 ,y1 y2

14、，求出x1x2 ,x1x2 。若直线过y 轴上的定点Q(0, b) ，则直线方程可设为ykxb （此直线不包括y轴），联立方程，消去 y。对于直线y = kx + m ，无特殊交代时，通常注意分两种情况：直线的斜率存在，消元后，注意0 ；直线的斜率不存在，即直线为xttR 。在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。6. 最值问题这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距） 、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：（ 1）利用基本不等式；（2）考察函数的单调性

15、；（3）利用导数法；（4）利用判别式法。在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到学习必备欢迎下载移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用0 。7. 求参数的取值范围问题这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。具体解法如下：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化

16、范围。不等式的来源常有以下途径： 已知不等式（含基本不等式） ； 直线与圆锥曲线相交时，有0 ； 点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系； 圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值

17、、范围等问题。（ 6）构造一个二次方程，利用判别式0。8. 求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条学习必备欢迎下载件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点条件立式坐标代换化简方程查漏除杂。此外还有定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件，先设动点坐标为 (x , y) ，再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点法；参数法是求

18、轨迹方程常用的方法，合理引入参数（通常是相关点的坐标）列式，消去参数得到关于x , y 的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个，才能消去所有参数。三. 圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用x1x2 ,x1 x2 或y1y2 ,y1 y2 来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：设斜率为 k 的直线l与圆锥曲线C交于两点A( x1, y1),B(x2 , y2 ) ，联立方程，可求出x1x2 ,x1x2 ，以及y1y2 ,y1

19、y2 。（1）弦 AB 的中点：弦 AB 的中点坐标可表示为 M ( x1x2 , y1y2 )22（2）弦 AB 的垂直平分线过定点 P(a ,b) 或 PAPB ：弦 AB的垂直平分线方程为： yy1 y21 xx1x2 。2k2弦 AB的垂直平分线过定点P(a , b) ，则有：by1 y21 ax1 x22k2学习必备欢迎下载（3）点 M ( x0 , y0 ) 与以 AB 为直径的圆的位置关系 ，判断 MA MB 的符号：MA MB0AMB为锐角点在圆外，MA MB =0AMB为直角点在圆上，MA MB0AMB 为钝角点在圆内。其中 MA MBx1x0 x2x0y1y0y2y0x x

20、x ( x x ) x 2y yy( yy) y2120120120120（4）垂直问题 ：如 MAMB，则有： MA MBx1x0x2x0y1y0y2y00（5）A、B 两点关于直线ymxn 对称：k m1y1y2mx1 x2，（其中 k 为直线 AB 的斜率）22n关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用 “点差法 ”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示方法：当圆锥曲线分别为椭圆x2y2x2y21、抛物线 y22 pxa2b21、双曲线b2a2时， k 的表示式有以下三种形式： ky1y2b2 x1x2（椭圆）； ky1 y2b2 x

21、1x2（双曲线）；x1 x2a2y1y2x1 x2a2 y1y2 ky1y22p（抛物线）x1x2y1 y2（6）弦长问题 ：当直线 AB : ykxb 时：AB1 k 2 x x1 k 2x x24x x121212当直线 AB : xkya 时： AB1k 2y1y21 k2y1 y224 y1 y2学习必备欢迎下载（7）三角形的面积 ： S1AB d ； （d 是点到直线 AB 的距离）A211MN Sx2 或 Sy2 ，BF1F2MN x1MN y122其中 M、N 为 x 轴上两定点， MN 为定长。（8）三点共线问题 ：遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。设 M ( x, y )

22、 ，若A, M , B 共线，则 kMAy1y0y2y00kMB00x1x0x2x0利用直线方程将 y1 , y2 换成 x1 ,x2 （或将 x1 , x2换成 y1,y2 ），通分后令分子为 0，可使所得方程中仅含有x1x2 ,x1x2 （或仅含有 y1y2 ,y1 y2 ）。（9） ABC 为正三角形 ：点 C 在 AB的垂直平分线上，且满足CM3 AB ，其中 M 为 AB 的中点。由点2C 在 AB的垂直平分线上可得：yCy1y21 xCx1x22k2222 4x1x2 ，又 CMxx1x2yCy1y2， AB 1 k2x1x2C22这样就把问题与韦达定理联系起来了。（10）A、B

23、与 C、D 四点共圆 ：当 A、C、B、D 四点共圆时，其圆心是线段 AB 的垂直平分线与线段 CD的垂直平分线的交点 G，且满足|GA|=|GC|。线段 AB 的垂直平分线方程为y1 y21x1x 2，yCkxC22若 CD垂直平分 AB， 则圆心 G 是 CD的中点，且有 GA1 CD .2学习必备欢迎下载【高考真题、模拟题解析】【例 1】（2010安徽） 椭圆 E 经过点 A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1, F2在 x 轴上，离心率 e = 12（ 1）求椭圆 E 的方程；（ 2）求 DF1AF2 的角平分线所在直线的方程。【解】（1）设椭圆 E 的方程为 x2y2（0)a2b21

24、 a b由e1 , 即 c 1 , a2c , 得: b2a2c23c2, ：2a 2椭圆方程形式 x2y214c23c2将 A（2131 , 解得 : c 2 ,，3）代入上式，得：c2c2椭 圆 E 的方程为 . x2y2116 12（ I2）由（ I）知 F1( 2 , 0) , F2(2 , 0)，设 F1 AF2 的角平分线所在直线的方向向量为 a ，则aAF1AF 2(0) 。易知 AF1(4, 3)23)，|AF1|，AF (0,|AF2|所以AF14 ,3 ，AF2(0 ,1)，|AF1|55|AF2|故 aAF 1AF248。|AF1|AF2|,55所以F1AF2 的角平分线

25、所在直线的斜率为k = 2，故所求直线为： y 32( x2) ， 即 2xy 10 。学习必备欢迎下载【注】若 OC平分OAOBAOB，则 OC0OAOB【例 2】（2010北京）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(-2 , 0) ，(2 , 0) ，离6心率是，直线 y =t 与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ，以线段 MN 为直径3作圆 P，圆心为 P。（1）求椭圆 C 的方程；（2）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；（3）设Q (x, y ) 是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值 .【解】（1）因为 c6 ，且 c2，所以 a3 , ba2c21a3所

26、以椭圆 C 的方程为 x2y21.3（2）由题意知 p(0 ,t) (1t1) .由ytx2y213得： x3(1t 2 )所以圆 P 的半径为3(1t 2 ) 。由已知得： 3(1- t 2 ) =t解得 t3 . 所以点 P 的坐标是（0 ,3 。22（3）由（ ）知，圆 P 的方程 x2( yt)23(1t 2 ) 。因为点 Q(x , y) 在圆 P 上， 所以 yt3(1 t 2 )x2t3(1t 2 )设 tcos ,(0 , ) ，则 t3(1t2 )cos3sin2sin()26当，即 t1 ，且 x0 ，y 取最大值 232【注】对于形如yx m 1x2(0x 1)的函数，可

27、采用三角代换法求最值，令学习必备欢迎下载xcos(0)，则yco sm si nm21 si n(，)于是有：2ymaxm21 。【例3】（2010江西） 如图，已知抛物线C1 ： x 2+ by =b2 经过椭圆C2 ：x 2a 2+y2b2= 1(ab0)的两个焦点（1）求椭圆C2 的离心率；（2）设点 Q(3, b )，又 M 、N为C1 与C2 不在y轴上的两个交点，若D QMN的重心在抛物线 C1 上，求 C1 和 C2 的方程【解】（1）因为抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1(- c , 0) , F2 (c , 0) ，所以 c2 + b ? 0b2 , 即 c 2

28、= b2 ，由 a2 = b2 + c2= 2c2 ， 所以椭圆 C 2的离心率 e =2 2（2）由（ 1）可知： a 2= 2b2 ，所以椭圆 C2 的方程为： x2+ y222 = 12bbì 22?+by=b? x22联立?y得 : 2yíx22- by - b = 0?2 += 1?2?b? 2b解得： y = - b或 y = b （舍去），所以 x = ?6 b ，22即 M6 b ,b, N6 b ,b2222所以 QMN 的重心坐标为（ 1，0），因为重心在 C1 上，所以 12 + b ? 0b2 , 得:b = 1, 所以 a2 = 2.所以抛物线 C

29、1 的方程为： x 2 + y = 1， 椭圆 C2 的方程为： x 2 + y2 = 1.2【注】联立椭圆方程与其它方程时，为方便运算起见，通常要简化椭圆方程。如已知学习必备欢迎下载离心率或者已知a、b、c 中的一个，则椭圆方程可化为只含一个参数的方程。【例 4】（2010 辽宁）设 F1 ，F2分别为椭圆 C: x2y22 +2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点，ab过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，F1 到直线 l 的距离为 2 3（1）求椭圆 C 的焦距；uuuruuur（2）如果 A F2 =2F2

30、B ，求椭圆 C 的方程【解】（1）设焦距为2c，直线 l 的方程为 y =3(x -c)由已知可得：F1 到直线 l 的距离为 d =3(- c - c)=23? c 2.2所以椭圆 C 的焦距为 4（2）设 A(x, y),B(x, y2)，112由（ 1）知：椭圆 C 的方程可化为x2y21，4 b2b2直线 l 的方程为 y =3(x - 2).y3( x2),联立x2y21 ，b24 b2消去 x，得： (4b212)y243b2 y3b40y1y23b2b23由韦达定理得：3b4y1y24b212uuuruuur, 所以 - y1 = 2y2因为 A F2 = 2F2B从 中消去

31、y1、 y2 ，求得： b2 =5 。学习必备欢迎下载22xy故椭圆 C 的方程为+= 1.95【注】题目中的向量条件往往转化为坐标之间的关系。【例 5】已知直线 xky30 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C的一个焦点，且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.（1） 求椭圆 C 的标准方程；（ 2）已知圆 O：x2y21，直线 l：m xn y1.试证明：当点 P(m，n)在椭圆 C 上运动时，直线 l 与圆 O 恒相交，并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长L 的取值范围【解】（1）由 xky30 得，（x3） ky0，所以直线过定点（ 3，0），x2y2即 F（3，0）设椭圆 C的方程

32、为 a2 b21( ab0) ，c3a 5，则ac8解得：b4，a2b2c2，c3.故所求椭圆 C 的方程为x2y21.2516m2n2（2） 因为点 P（m，n）在椭圆 C 上运动，所以 25 161.从而圆心 O 到直线 l 的距离d1111.19m2 n222)216m 16(125m25 m所以直线 l 与圆 O 恒相交直线 l 被圆 O 截得的弦长为L2r 2d2 2112119，m22n25m216由于 0m 2 25，而 L 关于 m 2 递增，所以15462L 5，学习必备欢迎下载15 4 6即L2，5，1546即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 2 ，5 【例 6】（湖北高考题） 已知 A(- 2 , 0) , B (2 , 0) 是椭圆 C的左右顶点， P 为椭圆上异于点 A、B 的动点，且 D APB 的最大面积为 2 3 。