第20节：对数函数

第20讲：对数函数

【知识梳理】

知识点一对数函数的概念

一般地，函数y=logdm>0,且存1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+oo).

知识点二对数函数的图象和性质

对数函数y=k)gaE(4>0,且W1)的图象和性质如下表：

y=logar(a>0,且—

底数a>\

P'广：)=logj(“>l)

图象\jP，o)一

0\Zpi.o)°

：y=log^

|/点1j(O<a<l)

定义域(0,+8)

值域R

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

共点性图象过定点(1,0)，即1时，y=0

x€(0,l)时，)W(-8,0);在(0,1)时，y€(0,+00);

函数值特点

xG[l,+oo)时,vG[0,+oo)AG[1,+00)时，yG(-00,0]

对称性函数y=logd与y二log,x的图象关于x轴对称

a

知识点三不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数。>1的对数函数，在区间(1,+00)内，底数越大越靠近X轴；

对于底数的对数函数，在区间(1,+8)内，底数越小越靠近工轴.

知识点四反函数的概念

一般地，指数函数广。修>0,且在1）与对数函数产logdso,且W1）互为反函数.

（1）y二出的定义域R就是），=loga-的值域；而y=的值域（0,+8）就是），=logo的定义域.

（2）互为反函数的两个函数》二出（心0,且存1）与y=logd（a>0,且存1）的图象关于直线），二x对称.

（3）互为反函数的两个函数尸翅〃>0,且在1）与y=logH〃>0,且分1）的单调性相同.但单调区间不

一定相同.

【例题详解】

题型一、对数函数的概念及应用

1.（25-26高一上•全国•课前预习）函数/&）=（/-。+1）1。瓦“产是对数函数，则实数”（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】需要满足对数函数的系数为1,同时对数函数的底数要满足大于。且不等于I,真数大于。等

条件，然后据此逐步求出。的值.

【详解】由/_々+1=1解得4=1或〃=。，又白+1>0,且"+1H1,所以

故选：B.

2.（25-26高一上•全国•课后作业）已知函数y=log“（4r）（a>0,且awl）的图象过点（0,2）,则函数

的解析式为.

【答案】y=log2（4-x）

【分析】把己知点坐标代入解析式，可求出。=2,即可求解.

【详解】由题可得1。&（4-0）=2，即/=4,

因为。>0,且。工1,所以。=2,

故函数解析式为），=1窕2（4-6.

故答案为：y=log2（4-.r）.

3.（25-26高一上•全国・周测）（1）若函数丁=1。及2“川工是对数函数，求实数〃的取值范围；

（2）如果对数式l%s（f+6.x+5）有意义，求实数•的取值范围.

【答案】（1）{al且。=0};（2）“1x>-l或—7vxv-6或-6<x<-5}

【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于〃的不等式组，即可求解；

（2）根据对数函数的定义及定义域列出关于x的不等式组，即可求解.

【详解】（1）因为），=1。&九.*是对数函数，所以］；：：；：；,解得；且〃工0,

即实数〃的取值范围是同且”0}.

x2+6x+5>0

（2）要使对数式有意义，则3+7>。，解得x>-l或-7<%v-6或-6VXV-5,

工+7工1

故实数x的取值范围是{Rx>-1或-7vx<Y或-6<x<-5}.

题型二、与对数函数有关的定义域

4.（25-26高二下•北京通州•期末）函数”文）=岩的定义域是.

【答案】（0,田）

【分析】根据对数函数的定义域及根式有意义列式得出定义域即可.

【详解】函数温有意义得出工〉0且“T,所以x>0

函数/（'）=售的定义域是（0，位）.

故答案为：（0,也）.

21

5.（25-26高二下•江西赣州•期末）函数,='（2工-8）°-1呜胃-3）的定义域为

【答案】，4）U（4,+8）

2工一8工0

【分析】根据题意得卜-3>。解出即可.

（2x-8）n-logj（x-3）>0

2x—8w0x*4

7

【详解】由题意有、x-3>0x>3=5<x<4或x>4,

(2x-8)"-log](x-3)>07

x>-

2

<7A

所以-,4j1z(4.-Ko),

故答案为：（如）（4收）.

6.（25-26高一上•全国・周测）已知=l唱三

⑴求/（刈的定义域；

（2）判断了⑶的奇偶性.

【答案】（1）（7』）；

（2）奇函数.

【分析】（1）根据对数的真数大于0列不等式可得解；

（2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据函数奇偶性的定义计算判断即可.

【详解】(1)由题意，/(x)=log21^,贝1]口>。,即二<0,(x+l)(x-l)<0,解得T<x<l,

I-X1-XX—1

故，3的定义域为（Tl）.

（2）由（］）可知，Ax）的定义域关于原点对称,

又/1）=晦总=7%学〜⑶，

••函数是奇函数.

题型三、对数函数的图象问题

7.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）函数）'=l°g；W的图象大致是（）

【答案】D

【分析】先求得函数/（X）为偶函数，图象关于丁轴对称，当X〉。时，/'（x）=log/,结合对数函数的性

3

质，结合选项，即可求解.

【详解】由函数/（力=1。用N，可得函数/（X）的定义域为（y，o）u（o，E）,

又由f（r）=logjT|=log；|H=〃x）,所以函数为偶函数，图象关于了轴对称，

当x＞0时，/（"=1。父，由对数函数的性质得了（x）在（0,+8）单调递减，且〃1）=0,

所以选项D符合题意.

故选：D.

8（25-26高二上•贵州六盘水•期末）如图，①②③④不可能是函数y="或y=logj（其中。＞0且"1）

C.③D.©

【答案】B

【分析】分析指数函数和对数函数的特征，得到答案.

【详解】指数函数），=/（其中。＞0且。工1）恒过点（。，1）,且与x轴无交点，

当时，单调递增，当（）＜avl时，单调递减；

对数函数y=iog4（其中。＞0且叱1）恒过点（1,（））,与）‘轴无交点，

当。＞1时，单调递增，当Ovavl时，单调递减；

可以看出②过点（0,1）,与X轴有交点，不合要求，其他均满足要求.

故选：B

9.（2025・湖南长沙•一模）已知1即+怆。=。（O0,。＞。，且awl.〃工1）,贝IJ函数/（力二厂与g（x）=log/的

【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.

a

【详解】由lga+lg〃=O可知，,

故/（刈=。-'=",故函数/（力=小与函数g（x）=bg〃x的单调性相同，

故选：B.

题型四：对数函数的复合单调性问题

1（）.（2025高一上•全国・专题练习）（多选）关于函数），=1。氏（丁-2》+3）,下列选项中正确的有（）

A.定义域为（ro,-3）U（l,y）B.增区间为［1,田0

C.最小值为1D.图象恒在x轴上方

【答案】BCD

【分析】本题已知函数＞'=log2（x2-2.r+3），得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质.

【详解】由题，令f-2x+3＞0,解得xeR,故A错误；函数，=/一21+3在工叩,找）上单调递增，丁印吗，

在飞口”）单调递增所以函数尸1叫（丁-2»3）的增区间是［l,+oo）,故B正确而选项B的分析可得，

当X=1时，函数取到最小值，然而=log2（『-2xl+3）=l,故c正确；因为％,”=1,所以）>0恒成立，即函

数图象恒在工轴上方.故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

11.（25-26高一下♦上海金山阶段练习）函数〃x）=hu+ln（4T）的单调增区间为.

【答案】（0,2］

【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解.

【详解】令4T>0且x>0,解得0<x<4,可知函数的定义域为（0,4）,

因为〃x）=lrw+ln（4-x）=ln（-'的力,且“=-丁+4x在（0,2］内单调递增,在（2,4）内单调递减，y=1n〃在

定义域内单调递增，

根据复合函数单调性知，函数在他可内单调递增，在（2,4）内单调递减，所以函数的单调递增区间为

（0，"

故答案为：（。，2］

12.（25-26高三下•四川雅安•开学考试）函数/（同=（联）2-219的单调递增区间是.

【答案】口0,田）（或（10,+”））

【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.

【详解】函数解》）的定义域为（0，口）,

令"Igx在定义域上为增函数，则、=产-2'=（-1）2-1在［1,+8）上单调递增，

由复合函数单调性的同增异减原则可得，当"电贮1,即x21（）时，函数/（”单调递增，

即函数/（x）单调递增区间为［10,也）.

故答案为：「。，E）（或00,小））

题型五：由对数函数的单调性求参数

13.（2025•山东泰安・模拟预测）已知函数/*）=怆卜2-•-5）在（5,*）上单调递增，贝心的取值范围是

A.（-8,4）B.（e,4]

C.（4,+功D,[4,-KO）

【答案】B

【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可

得。的取值范围.

【详解】由函数，*）=也卜2-公-5）在（5,+8）上单调递增，

可得“以）=/一磔_5在（5,+00）上单调递增，

[£<5

且〃*）>0在（5,+oo）上恒成立，故需满足2一，解得

[«（5）=25-5«-5>0

故选：B.

14.（25-26高一上•全国・周测）已知函数/。）=1叫。+1）,若/（，〃2+2）>/⑶〃）,则实数〃，的取值范围

是.

【答案】｛〃?1〃?>2或-；<〃?<1｝

【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可.

【详解】因为函数/（幻=陛23+1）的定义域且单调递增，

则12.2，

m+d2>3/n

解得〃>2或-;<tn<1.

故答案为：｛加1加>2或

15.（25-26高二下・江西・期末）已知函数/（x）=ln---2.

\x-i7

（1）证明："X）是奇函数；

⑵若/（”在区间e，〃+2）上单调递减，求〃的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(-cc,-3][1,+00)

【分析】(1)首先判断了(X)的定义域关于原点对称，然后再证明〃T)=-"x)；

(2)由y=l+2、)，=mx的单调性判断复合函数的单调性，(4〃+2)为函数/(X)单调减区间的子集，

X—1

列不等式求解即可.

【详解】(1)证明：由题得F(x)=ln("-2)=ln三|,

\人Ii人1

故二＞0,则的定义域为(。，-l)u(L"),关于原点对称，

X—1

又因为/(_x)=ln^^=lng=Tng=_/(力,

—X—1X+IX—1

所以“X)是奇函数.

v.|_i(2、

(2)因为/(x)=ln-=lnl+—,

9

当时，)，=1+小单调递减，且y=lnx在定义域上为增函数，

x-\

故/(X)在区间(1，内)上单调递减，

同理可得“X)在区间(-00,7)上单调递减.

因为〃灯在区间(。,。+2)上单调递减，

所以4+21或,解得或,

所以。的取值范围是(-00，-3]“*0).

题型六：由对数函数的单调性解不等式

16.(25-26高二下•海南海口•期末)已知嘀*弓，则实数。的取值范围为()

A.(0,fu(l,+8)B.

C.惇+8)D.

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性进行判断.

【详解】log.《＜；=log”右,

a>10<a<\

；②护士。

,22

所以实数a的取值范围为；。，；卜（1，+8）.

故选：A

17.（25-26高二下•安徽马鞍山•期末）已知/<i,且log*<】，则实数。的取值范围是

【答案】［ol）

【分析】分别分析两个不等式和1。及；<1,再取它们的交集.

【详解】分析）（I,

即&<1,根号下的数需非负：，

两边平方：”1,

结合对数函数的底数要求得：0<〃<1.

分析logjvl,

当。>1时，对数函数单调递增，此时1陶；<1可转化为1吗二<1。*，

因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：,

结合前提”1,此情况的解为：;

当Ova<l时，函数单调递减，此时，log*<1可转化为log1<唯",

因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：，

结合前提0<。<1,此情况的解为：0<«<1;

综合以上信息可知当时，同时满足两个不等式.

故答案为：（o,£.

18.（25-26高一上•全国•课前预习）已知bg°.72x<logo7（x-1）,则x的取值范围为

【答案】（1,-KO）

【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】函数y=1og°/在（。,+力）上为减函数，

2x>0,

二由logo/xvlogg/x-l）得彳-1>0,解得工>1,

2x>x-1.

即X的取值范围是（1，也）.

故答案为：（1,包）

题型七、比较大小

19.（2025・北京・三模）已知〃=1吗15。=jc，则下面结论正确的是（

A,b<c<aB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解.

【详解】根据题意，t/=log2l.5>log2V2==,

所以cvbva.

故选：C

20.（25-26高一下•云南・期末）已知函数/⑴呻同，若〃=/（；）,b=f[^],c=〃3），贝心，8,c的

大小关系为（）

A.a<b<cB,a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】先利用对数的运算法则，把。也。分别转化为In4/n2,ln3，再利用函数/（x）=hv；的单调性比较

【详解】因为〃=/

且/（x）=欣在（1,讨）单调递增，

所以In2<ln3<ln4,即b〈c、<a.

故选：D

2

21.（25-26高二下・江西•期末）已知。=18=1081］5,。=唾63,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】结合对数函数单调性得到为=2,3b>2,3c<2，从而比较出大小.

【详解】gjlx）3a=2,3Z?=31og115=log,,125>2,3c=31og63=log627<2，所以cvavb.

故选：A

题型八、对数函数的最值问题

22.（25-26高一上•全国•课后作业）函数/⑺="log。、（2x）在区间［2,4］内的最大值为（

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】先求/"）的定义域，再判断/"）在区间［2,4］上的单调性即可求最大值.

【详解】由已知可得k）g°$（2x）Q,解得x".25J（x）定义域为［0.25,收）,

又尸嘀,5（26在［0.25,+8）上单调澧减，则产log。#］）在［0.25,y）上单调递增，

所以函数“X）在［0.25,转）上单调递增，即函数在区间［2,4］内单调递增，

所以一（力在区间［2,4］内的最大值为"4）=2.

故选：B.

23.（2025高三・全国・专题练习）函数，=l°gj8十2入f2）的最小值为.

【答案】-2.

【分析】设“=8+2x4,利用好年:在（0,+向上的单调性来求解.

【详解】设M=8+2X-X2=-（X-1）2+9<9,当x=l时取等号.

vw>0,.,.0<«<9.

又...y=log；〃在（0,+纥）上为减函数，尸%〃之噢9=-2,

“鹏（8+27）的最小值为_2.

3

故答案为：一2.

24.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（力=1。&（产-奴+1）在区间（；,2］上有最大值或最小值，则实数，

的取值范围为（）

A.|j,2jB•|j』JU（l,2）C.［"I"'）D川川,2）

【答案】B

2）上有最小值，且），>0，从而得到不

【分析】根据>=/-0¥+1开口向上，故需'=』-3+1在区间；

等式，求出答案.

【详解】要使函数/W在区间（右2；|上有最大值或最小值，

由于尸丁-ar+l开口向上，

故需函数），=1-奴+1在区间了2］上有最小值，且.y>。.

a>0

awl

该函数图像的对称轴为直线1=5，所以:<S<2，

乙r乙

（。丫a.

—-a——+1>0n

\\2）2

a>0

a*1

解得一<a<4,

乙

-2<a<2

所以;<"2,且"1,即实数。的取值范围为（别（⑶.

故选：B.

题型九、对数函数的应用

25.（2025高三・全国・专题练习）若Iog〃（/+l）vlog“2av0,则,z的不可能取值是（）

23i

A.2B.-C.7D

34,5

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性得出不等式组，解之可得.

【详解】依题意。>0且awl,a?+1-2a=(々-1)2>(),所以/+]>2a,

0<a<1

由于噪“(/+1)<噫为<0,所以。?+1>1,解得g<a<l,

2«>1?

所以A选项符合，BCD选项不符合.

故选：A

26.(25-26高二下・河南新乡期末)若心+)广2>1"+/，则()

?<2l>，,v

A.e>e°>1B.e>e>1C.e>l>eD.l>e^>e

【答案】A

【分析】令函数f(x)=lnk/,则,根据函数〃函的单调性,结合不等式的性质以及指

数函数的单调性即可得到结论.

【详解】因为lnx+)，2>lny+x二，所以lnx-x2,

令函数/(xblnk-nhikJ，则/(x)>/(y).

.I

因为V=1n.%y=-L在(0,+8)上都是增函数

x

所以/(X)是定义在(。，+8)上的增函数，

所以木>)，>。，即孙>。，

从而e'*>>1.

故选：A.

27.(25-26高二下・北京平谷・期末)已知函数/(x)=Inx,gVxpx2e(0,+oo)fi.t.<x2,则以下塔送的是

()

A./&)</(£)B.〃中2)=/6)+/(毛)

C./e六=?(小2)D./(-Vi+x2)>^[/(x,)+/(x2)]

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性判断A;根据对数的运算法则可判断B;直接代入函数解析式判断是

否相等即可判断C;由玉+%＞而三及对数函数的单调性可判断D.

【详解】对A,因为/（x）=lnx在他+8）上单调递增，所以对Vx，we（。,”）且"修，均有

成立，A正确；

对B,/（内下）=lnx丙=1115+111马=/（%）+/（七），B正确；

"+工2

对C,f=ln号工中2）,C错误；

2

对D,因为对“，占武。,也）且再，现+w＞2正毛＞[%•4,

所以/（内+当）=皿（41+9）＞111后己=3[/（内）+/（*2）],D正确.

故选：C

题型十、对数函数综合问题

28.（23-24高二下•浙江绍兴•阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，

该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为"z,经检测现在的存量/，

据此推测该生物距今约为（）（参考数据：也2=03而）

A.2700年B.3100年

C.3500年D.3900年

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质即可求解.

【详解】由题意得£=，〃中点,

涧曰IZt,15001g51500（1-lg2）1500

两边取对数得比5=而（-怆2）=/=_^—=——一=忑-1500。3500.

故选：C

29.（23-24高三上•四川•阶段练习）函数/（幻=业吵三的图象大致为（）

2x2+1

A.B.

D.

【答案】A

【分析】研究函数的奇偶性及当x>0时，函数值的符号即可判断.

【详解】由题意知/*）的定义域为（r,y）,

ln(-x+7(-x)2+l

又/(--V)=二-----；------=-fM,所以八x）为奇函数，故排除C项，D项.

2(-x)2+12x2+1

又当0时，Jx?+1)>0,2犬+1>0,所以/⑶>0.故排除B项.

故选：A.

30.(25-26高一下•上海•阶段练习)已知函数)，=/(x)=log"("x)-log,(lT)(a>0且"1).

（1）讨论）F/（力的奇偶性与单调性；

11

⑵若不等式|/（刈<2的解集为——<x<—,求。的值.

22

【答案】（1）/（”是奇函数；单调性见解析

(2)a=£或a=

3

【分析】（1）先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断“X）的奇偶性；利用复合

函数的单调性判断/W的单调性，从而得解；

（2）利用（1）中结论，分类讨论并转化"。）1<2的等价条件，从而得解.

【详解】(1)对于y=/(x)=bg“(i+x)—iog〃(iT),

有，,解得T<x<l,故/⑴的定义域为（-口），

1—x>u

X/(-x)=logfl(l-x)-loga(l+x)

=-[1og“(l+x)Tog.(l-x)]=-/(x),故是奇函数;

因为fW=log,(l+x)-log„(1-x)=log“产=logj-l一一^―

I-x\x—\

2

易得产-1-上7在(Tl)上单调递增，

x-\

所以当时,所X)在(-U)上单调递增,

当Ovavl时,/⑶在(T1)上单调递减；

(2)由(1)知，当。＞1时，在上单调递增，且为奇函数,

1+1

则|/3|＜2等价于/(1=2,即1叫—二2,

1--

2

则log“3=2,得〃；

11

当。＜”1时，/(X)在「35,上单调递减，且为奇函数，

1--

则|〃刈＜2等价于/卜£|=2,即log。-f=2

6

贝ljlog“7=2，得。=3

6

百

综

或

上a

=fl=3一

【专项训练】

一、单选题

1.(25-26高二下♦湖南长沙•期中)在区间(0,+e)为增函数的是()

A.f(x)=-xB.f(x)=-C./(x)=lgxD.f(x)=

x

【答案】C

【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案.

【详解】f(x)=r在区间(0,+6为减函数；

在区间(0，+e)为减函数；

X

/(X)=lgX在区间(0,+8)为增函数；

fM=\^在区间(°，+8)为减函数.

故选：C.

【分析】根据题意，由函数/(工)=1«]+三]的奇偶性排除两个选项，再利用x=2时函数值为正即可

判断.

【详解】a/(x)=ln^|,由空>0可得田)，显然关于原点对称，

X—1X—1

且〃T)=Tng=-/(x),所以是奇函数，故C,D错误；

又因为/(2)=ln3>().故可排除B项，A项符合要求.

故选：A.

3.(25-26高一下•广东深圳•期末)若函数/。)=1。氏#-火)在区间。，2)上单调递增，则。的取值范围

是()

A.(■4]B.(-oo,2]C.(0,11D.(0,2]

【答案】A

【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数g(”=f-依的单调区间，结合对数函数的定义域可求

出答案.

【详解】因为函数〃力=1。82（/-奴）在区间（1,2）上单调递增，

所以g（x）=f-⑪在区间（1,2）上单调递增,且g（x）>0在区间（1,2）上恒成立.

--<1

所以j2-，解得心1.

g（l）=l-6/>0

故选：A.

4.（25-26高三上•福建福州阶段练习）已知a=lnO9A=VIc=W，贝lj（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数函数、幕函数性质比较大小.

【详解】依题意，«=ln0.9<lnl=0,8=2鼻=（25）正=32而>25而=&）5=5三=c>（），

所以avcvb.

故选：A

5.（25-26高二下•江西•期末）若。,则（）

A.（0,0.5）B.（0.5,1）C.。,2）D.（2,也）

【答案】D

【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出.

【详解】因函数y=log06X在（0,w）上是减函数，故4=1%6（）.3>1%6（）.36=2.

故选：D.

6.（25・26高一上•安徽铜陵•期末）已知1叫2"<1%。<0，则（）

A.B.\<M<NC.0<N<M<i

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案.

【详解】"1叫2%在（0，八）上单调递增,又logo,2M<1。勖'<0=1%21,

故

故选：A

7.(2024・甘肃张掖・一模)已知命题〃：Vxe(0⑼,log/<2;命题〃:*w(0.4)./<&-贝lj()

A.〃和“都是真命题B.〃和r都是真命题

C.r7和4都是真命题D,r7和f都是真命题

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性判断命题〃,再根据X€(()」)时，判断夕即可选择.

【详解】因为对数函数y=log/在(0.+oo)上单调递增，

所以当xe(0,9)时，Iog3“<log39=2,故命题P是真命题；

由指数函数>=/(0<”1)的性质可知/<一,所以当、£(0由时，/<)=五,

所以玉«0,4)/2<4.故命题4是真命题.

故选:A.

8.(2026高三・全国・专题练习)已知函数(2)则的解集为()

log4(x+l),-l<x<1,

A.(f。]B.(-L0]C.(-l,0]u[l,+x>)D.[IM)

【答案】C

【分析】作出函数y=〃x)与丁=；彳的图象，利用数形结合即可求解.

【详解】作出函数尸〃工)与的图象，如图，

由图象可知，当g时，出专恒成立，则小)亭的解集为问1,+8);

当一1=<1时，log/x+OK^x,

图象的交点坐标为(0,0)、[4]，结合图象知，的解集为xw(-l,0].

所以不等式小)《白的解集为(T0]D[1，E).

故选：C.

k+4—2axv]

9.(25-26高一上•河北石家庄•阶段练习)已知函数〃])=11+。噫；途]，若/(X)的值域为(—，虫°)，

则实数〃的范围是()

A.2B.(Y,2]C.(9,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】分析可知，函数/(力=1+。1。母]在。，内)上的值域包含[5-2a,y)，可知函数/(耳=1+。唾2才在

口,住)上单调递增，结合题意可得出关于实数〃的不等式组，解之即可.

【详解】当x<1时，f(x)=x+4-2a<5-2a,即函数""在(e/)上的值域为(f5-2a),

由题意可知，函数/(力=1+。1。82》在口,4"00)上的值域包含[5-2〃,y),

即函数/(力=1+。1%]在[1，”)上单调递增,所以，a>Q,

且〃%,=/(1)=区5-2,解得a«2,

因此，实数。的取值范围是(0,2].

故选：D.

1().(23-24高三上•福建莆田•阶段练习)若函数/(力=(/。即得为偶函数，贝心=()

A.-IB.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据函数是偶函数，则/(-3)=.〃3),解出后验证即可.

【详解】因为f(x)=(Aa)ln忙｛为偶函数,

/(-3)=(-3-a)In2,/(3)=(3-a)ln1,

则有(-3-a)ln2=(3-a)lng,

解得。=。,

经验证。=0时，符合条件,

故选：B.

11.(2025高二下•浙江•学业考试)对于函数y=log“17)+logs(l+x)，下列说法正确的是()

A.是偶函数，且在K£(T，0)上单调递增

B.是偶函数，且在上单调递减

C.是奇函数，且在xe(TO)上单调递增

D,是奇函数，且在上单调递减

【答案】A

【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案.

【详解】因)=1。&(1-力+1。氏(1+力，贝，即定义域关于原点对称，

又令/(%)=10g$(lT)+10g5(l+%),则/(T)=10gs(l+X)+10g5(I)为偶函数.

X/(X)=10g5(l-A)+10g5(l+X)=10g5(l-^),

当x«T,O),1-^£(0,1),

>=log/在(0,1)上单调递增，又)，=1-丁在(-1,0)上单调递增，则/(X)在(TO)上单调递增.

故选：A

12(23-24高二下.广东广州.阶段练习)已知函数/(上皿已，则/(£)+/仔)+呜>+/修卜)

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根据题意，求得一(力+/(2-力=2,即可求得目标式的结果.

【详解】/("=加r，则/(x)+/(2—x)=ln言+^^^=]/=2,/(1)=1；

;加停Mik唱一''

Y加・同+鹰帅加陪卜加⑴

=2x44-1=9.

故选：D.

二、多选题

13.(25-26高二下•山东烟台・期末)下列不等关系成立的有()

07J04

A.3>0.7-B.lg3<lnO,9C.log34>log56D.0.4°<O,3

【答案】AC

【分析】根据幕函数、指数函数和对数函数性质逐一分析判断即可

【详解】对于A,因为#>3°=1,0.73<0.7°=1,所以3。7>0.7,，故A正确；

对于B,a^lg3>lgl=0,ln0.9<lnl=0,所以lg3>ln0.9，故B错误；

46,、46

对于C,因为1吗4-1。氐6=喝］-叱"，又log3X>log5X(x>l)，］>w,

所以1呜4>1吗6,故C正确；

对于D,因为0.4。3>0.4。4>0.3°4,所以0.4°3>0.3°4,故D错误.

故选：AC

14.(25-26高一下.海南海口.期末)已知函数/")=lnF，则下列说法正确的是()

JI人

A.函数/(x)的定义域为(-3,3)

B.函数/(M是奇函数

C.函数/(x)是增函数

D.若/(〃)+/(加—1)<0,则:<"2

【答案】ABD

【分析】对于A求产>。即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单

调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解.

【详解】对于A：由F>0n(37)(3+”>0n-3c<3,所以/("的定义域为(-3,3)，故A正确；

对于B：由A得/(x)的定义域为(T3),又/(r)=ln磬…誓=-〃力,所以/(x)是奇函数,故

3—X3+X

B正确；

对于C：令/=泮，所以，=评=-1+二，由"泮在(一3,3)上单调递减，)，=hv在(0,+8)单调递

3+x3+xx+33+x

增，

根据复合函数单调性得/("在(-3,3)是减函数，故C错误；

对于D:由/(x)是奇函数且在(-3,3)是减函数，由/(〃)+/伽-1)<0得/⑷<-/伽-1)="1-2〃)，

1

.a>一

a>l-2a3

1

所以卜3<a<3n)-3<4<3=>]<"2，故D正确.

-3<1-2«<3-\<a<2

故选：ABD.

15(25-26高一下•广西桂林•开学考试)如图，这是函数y=|log〃H和)'=|1砥入1的大致图象，其中,

图象中在点(LO)处形成了4条曲线，从左至右分别记为A，4，&,4,则()

A.4,4是函数尸|1嗝4的图象B.A4是函数y=|log“H的图象

C.一，4是函数y=|iogbH的图象D.4,4是函数¥=魄词的图象

【答案】BC

【分析】y=|log"X中，令y=l,解得工=。或x,同理)Tog/H中，令)'=1,解得x=b或x=3,故

0<a<b<l<*<g,再图象中，画出y=l,确定4，4是函数了=|唠〃耳的图象，A，A是函数)，=|lo纵曰的

图象.

【详解】y=|】og“X中，令y=i,则I]砥M=i,

0<a<l,若0<xvl,则log“x>0,log“％=l,解得工=a,

若X>1,则log“xv°,log“x=-l,解得x,

a

同理尸110gz中，令y=i,则隧加i,

0</?<l,若0<x<l,则log〃x>0,log/,x=l,解得x=b,

若x>l,则唾尸<0,嘎r=-1,解得“J,

b

因为所以0<4V〃<1

ba'

作出直线N=1,如下：

显然，4，4是函数)，=|1。4可的图象，A2,4是函数)，=|1。瓦可的图象.

故选；BC

16.(2025•河北保定•二模)若函数/(#=1年十怆(2/),则()

A./(x)为减函数B.f(x)=l<^x=5

C./(x)的值域为RD./(x)<2oxv50

【答案】BC

【分析】根据对数的运算性质化简函数/(X)的解析式，即可判断选项A,；根据对数函数的性质解

方程与对数不等式，即可判断选项B,D.

【详解】因为/("=14+怆(2/)=怛令2/)=也(2力=怛2+馆工,x>0,

所以/*)为增函数，/*)的值域为R,故选项A错误，选项C正确；

/(x)=1<=>lg(2x)=1<=>2x=10<=>x=5,故选项B正确;

/a)<2=lg(2x)<2o0<2x<100=0<x<50,故选项D错误.

故选：BC.

三、填空题

541

17.(2023高一上•全国・专题练习)如图是对数函数了=1吗4的图象，已知〃的值取&,1f4,

J5

则相应于C.G'G,G的。的值依次是.

【答案】V5

【分析】

当底数大于1,当工＞1时底数大的图低（第一象限内），底数大于。小于1,当时底数大的图低（第

四象限内）；或者由y=iog“x=i,得l=。（即交点的横坐标等于底数），比较即可.

【详解】

方法一：GC的底数都大于1,当工＞1时底数大的图低（第一象限内）所以C，G对应的。值分别为石，

5

3，

G，G的底数都大于0小于1,当人＞1时底数大的图低（第四象限内），所以G，c,对应的。值分别为《,

1

8，

541

综合以上分析，可得CCCC对应的。值依次为石

3Jo

方法二：如图，作直线），二1与四条曲线交于四点，

由），=