信号分析_第3章一些常用的变换

1、1第第3章章 一些常用的变换一些常用的变换2主要内容主要内容uHilbert变换变换u匹配滤波器和相关器匹配滤波器和相关器uWalsh-Hadamand变换变换uK-L变换变换3)()()()(jIRSts设设s(t)是因函数，即是因函数，即s(t)=s(t)U(t)，且有，且有有：有：dRIdIR)(1)()(1)(即：因函数的即：因函数的Fourier变换得到实部与虚部存在一变换得到实部与虚部存在一定的对应关系，这一对应关系称为定的对应关系，这一对应关系称为Hilbert变换变换引言引言4对于信号对于信号 m(t)，其，其Hilbert变化为变化为dtmtmtm)(1)()(Hdtmtmt

2、m)(1)()(1 -H逆变换逆变换)()()(thtmtm)()()(thtmtm1 Hilbert 变换的定义变换的定义用途用途: 已知一个函数或信号，求其正交函数或信已知一个函数或信号，求其正交函数或信号，这在工程中是常见的。号，这在工程中是常见的。wheretth1)(5uHibert变换滤波器是一个全通滤波器变换滤波器是一个全通滤波器uHilbert变换的本质是一个相移滤波器，相移变换的本质是一个相移滤波器，相移-90)sgn( 0 0 -)(fjfjfjfH2. Hilbert 变换系统变换系统Hilbert滤波器滤波器幅频响应幅频响应相频响应相频响应6dtetfHftj21)(

3、0 220 -22fjjfjjftx2fdtdx2Hilbert filterHilbert filter02sin2dttftj022sin22dtftftfj02sin12)(ftdttjfH0sin2dxxxjftdttjftdtt2sin12cos173. Hilbert的性质的性质性质性质1 Hilbert变换器是变换器是-90度相移的全通滤波器。度相移的全通滤波器。)( ts)( ns性质性质2 s(t)与与，s(n)与与分别是正交的。分别是正交的。0)(2)(2)()(21)( )(0202*dSjdSjdSSdttsts奇函数偶函数Hu1偶函数奇函数Hu283. Hilbert

4、的性质的性质)(*)()(*)()( 2121tststststs)()()(21tststs和、性质性质3 如果如果的的Hilbert变换分别为变换分别为)()()( 21tststs和、)(*)()(21tststs，且，且性质性质4 对于平稳随机信号对于平稳随机信号x(t)的的Hilbert变换也是变换也是平稳的，且有平稳的，且有( )( )xxRR( )( ) ( )( ) xxxxxxRRRR 94. 在通信中常用的在通信中常用的Hilbert变换的重要公式变换的重要公式)sin()cos(ttccHu1)cos()sin(ttccHu2)cos()()sin()()sin()()c

5、os()( m(t) .ttmttmttmttmifccccHH为基带信号u3)sgn()()()()()()( and )()( .jMtmtmMtmMtmMifHFF)0()0(11)sgn(u410SSB的复包络可表示为的复包络可表示为 )()()(tmjtmAtgc)()()(thtmtmwhereandtth1)(sin)(cos)()(ttmttmAtscccSSB带通信号可表示为带通信号可表示为5.Hilbert变换的应用变换的应用1).单边带调制单边带调制11dtmthtmtmHtm)()()(*)()()(dtmtmHtm)()()()(1)( fM)(fMj)()(fMjf

6、M)()()( tmjtmAtgUSBcUSB)0()0(0)()()(2)()()()()()()()( ffjfjMfMAfMAjfjMfMAfHfjMfMAtmjtmAFfGUSBcccccUSB12)( fM)(fMj)()()( tmjtmAtgLSBcLSB)()(fMjfM)0()0()(2)()(0)()()()()()()()( fffMAjfjMfMAjfjMfMAfHfjMfMAtmjtmAFfGLSBcccccLSB13sin)(cos)()(Re)( ttmttmAetgtsccctjLSBLSBc)()()( tmjtmAtgLSBcLSB)()()( tmjtmA

7、tgUSBcUSBsin)(cos)()(Re)( ttmttmAetgtsccctjUSBUSBc)( fSUSBcc)( fSLSBcc)()( 2/1)(*cUSBcUSBUSBffGffGfS)()( 2/1)(*cLSBcLSBLSBffGffGfS142)SSB信号的数字解调信号的数字解调)(nsNCOn0cosn0sin)(nAQ)(nAI解调输出解调输出SSB的一种数字解调的一种数字解调Hilbert 变换变换sin)(cos)()( nnmnnmAnscccLSBcos)(sin)()(nnmnnmAnscccLSBHnnmnnmnnmnnmccccsin)(sin)(sin

8、)(cos)(HH)()(sin)()(cos)()()(22nmnnmnnmnAnAccQI153).带通信号的包络、瞬时相位和瞬时频率带通信号的包络、瞬时相位和瞬时频率带通信号带通信号s(t)的解析信号可以表示为的解析信号可以表示为)( )()(ts jtstz变换的是其中，Hilbert)()( tsts对于窄带雷达信号对于窄带雷达信号)(cos)()(0tttats，描述振荡幅度的变化是幅度，是缓慢变化的其中，)(ta其瞬时相位为其瞬时相位为)()(0ttt其瞬时频率为其瞬时频率为dttddttdti)()()(016其解析信号可以表示为其解析信号可以表示为)( )()(ts jtst

9、g)(sin)()(cos)(00tttjattta其其Hilbert变换为变换为)(sin)()( 0tttatss(t)的包络可表示为的包络可表示为)()()()(22tststatg其瞬时相位为其瞬时相位为)()()( arctan)(0tttstst其瞬时频率为其瞬时频率为dttdtstsdtddttdti)()()( arctan)()(0173)AM信号的解调信号的解调对于对于AM信号信号( )( )cos( )cs ta ttt)sin()()cos()()( ttattatsccHLPFLPF)cos(1t)sin(1t)(tsAMv2(t)v1(t)I(t)Q(t)18主要内

10、容主要内容uHilbert变换变换u匹配滤波器和相关器匹配滤波器和相关器uWalsh-Hadamand变换变换uK-L变换变换19频谱频谱自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度)()()(ssRSP输入信号描述输入信号描述 )()()(yyRYP输出信号描述输出信号描述 线性系统或滤波器线性系统或滤波器)()(Hth1.线性时不变系统线性时不变系统输入波形输入波形)(ts输出波形输出波形)(ty)(*)()()()(thtsdthsty时域时域)()()(HSY频域频域)(*)(*)()()()()(211221ssyRhhddRhhR 相关域相关域)(| )(|)(2syP PH谱域谱域2

11、02.线性系统的最大输出响应线性系统的最大输出响应线性系统或滤波器线性系统或滤波器)()(Hth输入波形输入波形)(ts输出波形输出波形)(ty研究在规定的约束条件下研究在规定的约束条件下,使输出在使输出在t0时刻时刻|y(t0)| 最大的条件最大的条件应用应用 ： 通信、雷达信号的最佳接收通信、雷达信号的最佳接收 , 信号检测信号检测.0T求满足要求的求满足要求的 h(t)0T)(tyt判决点判决点)(ty)(ts)(th例如例如1)基本问题基本问题注意注意:这里的输入波形这里的输入波形s(t)是一个时限确知波形。是一个时限确知波形。212) Schwrz 施瓦尔兹不等式施瓦尔兹不等式dxx

12、BdxxAdxxBxAbababa222)()()()(时时 , 上式取等号上式取等号当当 , 且仅当且仅当)()(xkAxB3) Cauchy 柯西不等式柯西不等式222111222nnnnnnnnnnnnna bab时时 , 上式取等号上式取等号当当 , 且仅当且仅当*nnakb223 匹配滤波器匹配滤波器线性系统或滤波器线性系统或滤波器)()(Hth输入波形输入波形)(ts输出波形输出波形)(tyEdSdtts22)(21)(约束条件约束条件: (1)输入时限确知实信号输入时限确知实信号s(t)，并且是能量信号，并且是能量信号，即：即：(2)输出信号输出信号y(t)在在t0时刻时刻|y(

13、t0)|取最大值取最大值求解求解:满足上述要求的满足上述要求的h(t)和和y(t0)或或| y(t0) |2deHStytj0)()(21)(0解解:利用利用Fourier变换变换2322200)()(41)(deHStytj令令)()(HA0)()(tjeSB利用利用Schwrz 施瓦尔兹不等式施瓦尔兹不等式22200)()(41)(deHStytjdHdS222)()(41dHE2)(2 E2 dHEty220)(2)(因此：因此：24dHEty220)(2)(要：要：|y(t0)|2最大，需要满足下面的条件：最大，需要满足下面的条件：00)()()(tjtjekSekSH)()()(00

14、ttksttksth由由Fourier逆变换可得：逆变换可得：求求 k ，将，将 H()代入代入dSEk2)(212220)(2)(EdSEty有：有：25物理意义：物理意义： 信号与系统匹配信号与系统匹配(或系统与信号匹配或系统与信号匹配)可使系统响可使系统响应在给定时刻应在给定时刻t0最大。最大。图解说明图解说明 ：令：令 k=1)()()(thtsty0t)(th0t)(ts1tt 1t0tdttss)()(00tt 0t0t)(tyt应用应用 ： 信号检测信号检测 从噪声中提取信号从噪声中提取信号 实现最佳接收实现最佳接收dssty)()()(0264 匹配滤波器应用实例匹配滤波器应用

15、实例数字通信信号的检测：在数字通信信号的检测：在噪声噪声中探测中探测某确知、时限能某确知、时限能量信号量信号是否存在是否存在匹配滤波器匹配滤波器)()(Hth)()()(tntstr)()()(tntstrooo)(*)()( )(*)()( )(*)()(thtntnthtststhtrtrooo )(*)()(fHfSfSo)(| )(|)(2ffHfnnoPPdfffHRtnnnoo)(| )(|)0()(22P匹配滤波器的匹配滤波器的设计准则设计准则：使输出信噪比在特定时刻最大：使输出信噪比在特定时刻最大还有别的约束条件吗？还有别的约束条件吗？27dfefSfHtstj0)()()(0

16、0输出噪声的平均功率输出噪声的平均功率dfffHRtnnnoo)(| )(|)0()(202P有有:022022( ) ( )( ) ( )|( )|( )j tooutonH f S f edfSs tNE n tH ff dfP令令 )()()( and )()()(0fefSfBffHfAntjnPP利用利用 Schwarz不等式不等式dffBdffAdffBfA222)()( )()( 28有有 )(| )(|)()()()(222dfffHdfffSdfffHNSnnnoutPPP当当A(f)=KB*(f)等号成立有：等号成立有：)()( )()(0*fefKSffHntjnPP-2

17、)()(dfffSnP)()()(0*fefKSfHntjP对于白噪声来说，对于白噪声来说， P Pn(f)=n0/2, 00)()(2)(*0tjtjefCSefSnKfH 2 )(22/)(0-20-02nEdttsndfnfSNSsout)()(0ttCsth29tTs1tTs2tTsN5 相关器相关器)()(0ttCsthii对匹配滤波器来说对匹配滤波器来说通信系统中使用的匹配滤波器通信系统中使用的匹配滤波器)(*)()(thtrtrii匹配滤波器输出匹配滤波器输出dthri)()(000)()(tidttsrdttsrttri)()()(00000)()(tidsrwhere个符号波

18、形之一进制通信系统中的是NN)(tsi( ),1,2,.,is t iN是有限个波形30主要内容主要内容uHilbert变换变换u匹配滤波器和相关器匹配滤波器和相关器uWalsh-Hadamand变换变换uK-L变换变换311. 正交函分类正交函分类在非正弦类函数中，除拉德马赫在非正弦类函数中，除拉德马赫(Rademacher)函数函数集不完备外，其它三种函数集均是完备正交集。集不完备外，其它三种函数集均是完备正交集。321)勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式,.2 , 1 , 0,1!21)(2ntdtdntPnnnnnttP)(12123)(22ttPtttP2325)(33一组

19、勒让德多项式在一组勒让德多项式在 区间区间-1t1内构成一个完备正交函数集内构成一个完备正交函数集,.2 , 1 , 0,)(ntPn1)(0tP因此可得：因此可得：选作选作3-1(3-1(选作选作) )：证明：证明：勒让德多项式在勒让德多项式在 区间区间-1t1内构成一个正交函数集内构成一个正交函数集,.2 , 1 , 0,)(ntPn332) Walsh函数函数10t1wal(0,t)10t1wal(1,t)t1wal(2,t)10t1wal(4,t)10t1wal(3,t)1010t1wal(7,t)1010t1wal(5,t)t110wal(6,t)Walsh编号的编号的Walsh函数

20、函数N=8选作选作3-2：证明：证明N=8的的Walsh函数是两两正交的函数，即函数是两两正交的函数，即7, 1 , 0m, km 0km ),(),(10kKdttkaltmalmk34),( tialkf的列频率为的列频率为定义：定义：列频率列频率为奇数为偶数kkkkkfk0 2/ ) 1(2/0100 1/4 1/2 3/4 1频率 列频率001112 222333 34 410101010101010Walsh函数与函数与Fourier谐波谐波 35在在) 1 , 0t上绝对可积的信号上绝对可积的信号s(t)都能展开成级数形式都能展开成级数形式 0),()(kktkaldtswhere

21、, 2 , 1 , 0 ),()(10kdttkaltsdkWalsh采样函数可用采样函数可用Handmad矩阵来表示。矩阵矩阵来表示。矩阵)(nhH可用如下的递归关系生成可用如下的递归关系生成 nkkkkkkhhhhh, 1 ) 1() 1() 1() 1()(HHHHH3). Hadamard矩阵矩阵 1)0(hH362. Walsh-Hadamard变换变换)1(),1 (),0()(NsssnTs的的Walsh-Hadamard变换变换)()(1)(nnNnhsHb逆变换逆变换)()()(nnnhbHsNn2logwhere例题例题：s(m)= 1, 2,-1, 3，求序列的，求序列的

22、Walsh-Handmad变换变换 )2()2(41)2(sHbh373121111111111111111141)3()2() 1 ()0(bbbb43,41,45,45)(nTb(0)11115/ 41(1)11115/ 42(2)11111/ 41(3)11113/ 43ssss38主要内容主要内容uHilbert变换变换u匹配滤波器和相关器匹配滤波器和相关器uWalsh-Hadamand变换变换uK-L变换变换39K-L变换是一种特殊的正交变换，是在最小均方意变换是一种特殊的正交变换，是在最小均方意义下对信号的最佳近似。因此，义下对信号的最佳近似。因此，K-L变换又称为最变换又称为最佳

23、变换，主要用于一维和二维信号的数据压缩佳变换，主要用于一维和二维信号的数据压缩 1. 连续连续K-L变换变换对于实随机过程对于实随机过程有,),(btats NmmmNtsts1)(lim)(dtttsttssmbamm)()()(),(是不相关的是不相关的 , 2 , 1),(mtm为为 正交归一基。其系数为正交归一基。其系数为where,2baLPCA(主分量分析主分量分析) ICA(独立分量分析独立分量分析) MUSIC 算法算法40 ( ),( )( ),( ) m nmmE s sEs tts ttduuusdtttsEnbamba)()()()(banbamdtduuustsEt)

24、()()()(nmm,)()(),(ustsEutRss令：nmmbanbassmdtduuutRt,)(),()( 则有：)()(),(tduuutRnnnbass, 2 , 1,mm为本征值为本征值 , 2 , 1),(mtm本征函数本征函数where412. 离散离散K-L变换变换TNssss)1(,),2(),1 (),0(s一个平稳实随机向量一个平稳实随机向量其协方差矩阵其协方差矩阵 ）（）（）（1(11101111110100100)(NNNNNNTssscccccccccmmEssC通过将数据序列中的相关性去除来达到压缩数据的目的通过将数据序列中的相关性去除来达到压缩数据的目的s

25、EmswherewherejiTssijcmjsmisEc)()()(0sEmswhenwhenijijrjsisEc)()(ssRC 1).基本思想基本思想42进行变换，得到另一个矢量进行变换，得到另一个矢量Us对矢量对矢量，即，即zUsz U离散离散K-L变换的基本思想变换的基本思想是，寻求正交矩阵是，寻求正交矩阵 ，如果用，如果用zCsR则则z的协方差矩阵的协方差矩阵或相关矩阵或相关矩阵是一个对角矩阵。是一个对角矩阵。 2).实现步骤实现步骤0|sCI110,NsC求出矩阵求出矩阵的特征值的特征值求出信号求出信号的协方差矩阵，由多项式的协方差矩阵，由多项式s，其中，其中，I为单位矩阵为单位矩阵1, 1 , 0NiiiisuuCsC1, 1 , 0,Niiu利用利用求出矩阵求出矩阵的的N个特征向量个特征向量43将将 作归一化，即令作归一化，即令1, 1 , 0,Ni