2020版第8章第7节抛物线

1、第七节抛物线考纲传真1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 （范 围、对称性、顶点、离心率）2理解数形结合思想 3了解抛物线的实际背景及抛 物线的简单应用.1. 抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线1（1不经过点f）的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点f叫做抛物线的焦点，直线i叫做抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2 = 2px(p>0)y2= 2px(p>0)x2= 2py(p>0)x2= 2py(p>0)p的几何意义：焦点f到准线i的距离图 形顶占 八、坐标0(0,0)对称轴x轴y轴隹 八、 占 八、 坐标f p, 0f

2、-p, 0f 0,号f 0, p离心率e= 1准线方程x= px= pypy-p范围x>0, y rx< 0, y ry>0, x ry<0, x r开口 方 向向右向左向上向下常用结论与抛物线有关的结论抛物线y2 = 2px(p>0)上一点p(xo, yo)到焦点卩号，0的距离|pf匸xo+p 也称为抛物线的焦半径.aa(2) y2= ax(a 0)的焦点坐标为4，0 ,准线方程为x= 4.(3) 设ab是过抛物线/ = 2px(p>0)焦点f的弦，p22若 a(xi, yi), b(x2, y2)，贝u xix2 = , yiy2= p . 弦长ab|

3、= xi + x2+ p = sina为弦ab的倾斜角). 以弦ab为直径的圆与准线相切. 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“v”，错误的打“x” )(1) 平面内与一个定点f和一条定直线i的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2) 方程y= ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a，°,准线方程是xa()(3) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4) 若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案(1)x (2)x (3)x x2 .抛物线y=

4、jx2的准线方程是()a. y= 1b. y= 2c. x= 1d . x= 21ay=4x2, x2= 4y, 准线方程为 y= 1.3. (教材改编)若抛物线y=4x2上的一点m到焦点的距离为1,则点m的纵 坐标是()17o 15j小门a.屁b帀c.8d . 0一 1b m到准线的距离等于 m到焦点的距离，又准线方程为y=花,设m(x,115y),则 y+屁=1, y=存4. (教材改编)过抛物线y2 = 4x的焦点的直线l交抛物线于p(x1, y1), q(x2, y2)两点，如果x1 + x2= 6,则|pq|等于()a. 9b. 8c . 7 d . 6b 抛物线=4x的焦点为f(1

5、,0)，准线方程为x= 1.根据题意可得，|pq|=|pf|+ |qf| = x1 + 1 + x2+ 1 = x1 + x2 + 2 = 8.5 .(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2, 4),则该抛物线的标准方程为 .y2 = 8x 或 x2= y 设抛物线方程为 y2 = 2px(pm0)或 x2 = 2py(p0).将p( 2, 4)代入，分别得方程为y2= 8x或x2= y.抛物线的定义与应用【例1】 设p是抛物线y2= 4x上的一个动点，若b(3,2),则|pb|+ |pf|的最 小值为.4 如图，过点b作bq垂直准线于点q，交抛物线于点pi,则|p

6、iq|=|pif|.则有 |pb|+ |pf|> |pib|+ |piq|=|bq|= 4,即 |pb| + |pf|的最小值为 4.拓展探究i (i)若将本例中的b点坐标改为(3,4),试求|pb|+ |pf|的最小值.(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y2 = 4x,直线l的方程为x y+ 5 = 0,在抛物线上有一动点p到y轴的距离为di,到直线i的距离为d2,求 di+ d2的最小值.解由题意可知点b(3,4)在抛物线的外部.|pb|+ |pf|的最小值即为b, f两点间的距离，f(1,0),|pb|+ |pf|> |bf|= '42+ 22= 2 5,

7、即|pb|+ |pf|的最小值为2 5.(2)由题意知，抛物线的焦点为f(1,0).点p到y轴的距离di = |pf| 1,所以 di + d2= d2 + |pf| 1.易知d2 + |pf|的最小值为点f到直线i的距离，|1+ 5|厂故d2 + |pf|的最小值为 =3 2,寸12+ 1 2所以d1 + d2的最小值为3 2 1.规律方法与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关 问题的重要途径.已知p是抛物线y2= 4x上的一 个动点，q是圆(x 3)2 + (y 1)2= 1上的一个动点，n(1,0)是一个

8、定点，贝pq| + |pn|的最小值为( )a. 3b . 4c. 5d. 2+ 1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x二一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为(1)a (2)y2= 4x 由抛物线方程 / = 4x,可得抛物线的焦点 f(1,0),又n(1,0)，所以n与f重合.过圆(x 3)2+ (y 1)2= 1的圆心m作抛物线准线的垂线mh，交圆于q,交抛物线于p,则|pq|+ |pn|的最小值等于|mh| 1 = 3.(2)设动圆的圆心坐标为(x, y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x= 1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为/= 4x.抛物线的标准方程与几何性质

9、【例2】点m(5,3)到抛物线y= ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是()丄36yc x2=-36yd . x2= 12y 或 x2= 36y(2) (2016全国卷i )以抛物线c的顶点为圆心的圆交 c于a, b两点，交c 的准线于d, e两点.已知|ab| = 4.2, |de|= 2 5,则c的焦点到准线的距离为()a. 2b. 4c. 6 d. 8(3) 如图所示，过抛物线 / = 2px(p>0)的焦点f的直线交抛物线于点 a, b,交其准线i于点c,若|bc|= 2|bf|, 且 |af匸3,则此抛物线的方程为()b . y2= 9xa. y2 = fx2 2 1

10、 1(1) d b (3)d 将y= ax2化为 宀y当 a>0时，准线y= 石，则311 111 +鬲=6,二a= 12当a<0时，准线y=亦，则3+石=6,：a= 丽抛物线方程为x2= 12y或x2= 36y.(2) 设抛物线的方程为y2= 2px(p>0)，圆的方程为x2+ y2 = r2.- ab匸 4,2, |deu 2 5，抛物线的准线方程为x= p，不妨设 a 4，2 2，d p，5 .p厶点 a 4，2 2，d 2， .5 在圆 x2 + y2= r2上,16 2p6 + * r，p!4+ 5=r2 p+ 8= 4 + 5, p = 4(负值舍去).又 aa1

11、匸 af匸 3,所以 ac|= 2|aa1|= 6,所以|cf| = ac| af匸6-3 = 3,所以f为线段ac的中点.13故点f到准线的距离为p=尹人1匸3,故抛物线的方程为y2 = 3x.规律方法1求抛物线的标准方程的方法(1) 求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.(2) 因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再2.确定及应用抛物线性质的技巧(1) 利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方 程化为标准方程.(2) 要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解直线与抛物线的位置关系?考法1直线与抛

12、物线的交点问题x2【例3】(2017全国卷i )设a, b为曲线c: y=4上两点，a与b的横坐 标之和为4.(1)求直线ab的斜率；设m为曲线c上一点，c在m处的切线与直线 ab平行，且am丄bm , 求直线ab的方程.解(1)设 a(xi, yi), b(x2, y2),则xi工x2,yi=x2,x2y2= 4,xi + x2 = 4,yi y2 xi + x2于是直线ab的斜率k= = i.xi x24x2x(2)由 y= 4，得 y'二 2.x3 设m(x3, y3)，由题设知=i,解得x3 = 2,于是m(2,i).设直线ab的方程为y= x+ m,故线段ab的中点为n(2,

13、2+ m), |mn匸|m+ i|.x22将 y= x+ m 代入 y= 得 x2 4x 4m= 0.当= i6(m+ i)>0, 即卩 m> i 时，xi,2= 2 ± '' m+ i.从而 ab|= . 2|xi x2|= 4 2 m+ i .由题设知 ab匸2|mn|,即 4 ：2m+ i = 2(m+ i),解得 m= 7.所以直线ab的方程为y=x+ 7.?考法2与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】已知抛物线c: x2= 2py(p>0),过焦点f的直线交c于a, b两点，d是抛物线的准线i与y轴的交点.(1) 若 ab/i，且 abd的面

14、积为1,求抛物线的方程；(2) 设m为ab的中点，过m作i的垂线，垂足为n.证明：直线an与抛物 线相切.解：ab/i, |fd|= p, ab匸2p.saabd= p2, i p= 1,故抛物线c的方程为x2 = 2y.(2)设直线ab的方程为y= kx+ p,y = kx+ 2,由2x = 2py其中ax1, 2p2x2,b x2, 2p 二 m kp,p- 2+n kp, p .得x2 2kpx p2 = 0, xi + x2 = 2kp, xix2= p2.xi kpx2 xlx22pxixi x2 px1px1 + p+p 十 2_ 2pxi + x2xi x2xi xxi又x22p

15、y, y' = -. 抛物线x2= 2py在点a处的切线斜率k=-p.pp直线an与抛物线相切.规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法i直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般 要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过 抛物线的焦点，可直接使用公式 ab|=xi|+ |x2| + p,若不过焦点，则必须用一般 弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关 系采用“设而不求” “整体代入”等解法已知抛物线 c: y2= 2px(p>0)的 焦点为f,抛物线c与直线li： y= x的

16、一个交点的横坐标为8.(1) 求抛物线c的方程；(2) 不过原点的直线12与li垂直，且与抛物线交于不同的两点 a，b,若线段 ab的中点为p,且op|=|pb|，求 fab的面积.解易知直线与抛物线的交点坐标为(8, 8),' ( 8)2 = 2px 8,二 2p = 8,抛物线方程为y2= 8x.(2)直线12与li垂直，故可设直线12： x= y+ m, a(xi, yi), b(x2, y2),且直线12与x轴的交点为m.y2=8x,/ 2由得 y 8y 8m= 0, = 64+ 32m>0,二 m> 2.x= y+ m,yi + y2= 8, yiy2= 8m,y

17、2y2-xix2= 64 =m2.由题意可知 oa丄ob, 即卩 xix2 + yiy2= m2 8m= 0,m= 8 或 m= 0(舍),二直线 12： x= y+ 8, m(8,0).故 s fab =s fmb + sfma =12 |fm | - y2|3 ' yi + y2 y= 3 x+2 ,2x= 1 ,x=4,得x 5x+ 4= 0,解得x= 1或x = 4,所以或 y2= 4x,y =2y=4,不妨设 m(1,2), n(4,4)，易知 f(1,0),所以 fm = (0,2), fn = (3,4)，所以fm fn =8.故选d. 4yiy2 = 24 5.2 21

18、. (2018全国卷i )设抛物线c: y2 = 4x的焦点为f，过点(2,0)且斜率为-的直线与c交于m， n两点，则fm fn =()a. 5b . 6c. 7d . 82 22 y= 3 x+ 2，y2 = 4x,d 法一：过点(一2,0)且斜率为3的直线的方程为y = 3(x + 2),由 所以 fm fn = (xi 1)(x2 1) + yiy2 = xix2 (xi + xz)+ 1 + 4 xix2= 4 5+ 1 + 8= 8.故选d.k2. (2016全国卷u)设f为抛物线c: y2 = 4x的焦点，曲线y=(k>0)与c入交于点p,pf丄x轴,则 k=()13aqb

19、.1%d. 2d -y2=4x, /f(1,0).k又曲线 y=x(k>0)与 c 交于点 p, pf丄x 轴， p(1,2).k将点p(1,2)的坐标代入y=x(k>0)得k= 2.故选d.入3. (2018全国卷川)已知点m( 1,1)和抛物线c: y2= 4x,过c的焦点且斜 率为k的直线与c交于a, b两点.若/ amb= 90°则k=.2 法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过c的焦点且斜率为k的直线y= k x 1 ,方程为 y= k(x 1)(km 0),由 2消去 y 得 k2(x1)2= 4x,即 fx2 (2k2y = 4x2k2+ 4y= kx

20、 1 ,+ 4)x+ k2 = 0.设 a(x1, y1), b(x2, y2),贝u x1 + x2=2 , x1x2= 1.由k2 ay = 4x212 44消去 x 得 y2=4 y+1，即 y2 ky4=0,贝u y1 + y2=© yy2= 4.由/amb= 90° 得ma mb = (x1 + 1, y1 1)(x2+ 1, y2 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 + y1y2 (y1 + y2)2k2 + 44+ 1 = 0, 将 x1 + x2 =, x1x2= 1 与 y1 + y2= q y1y2= 4 代入，得 k= 2.y2 = 4x1 法二：设抛物线的焦点为f, a(x1, y1), b(x2, y2),贝u2y2= 4x2,yi y24所以 yi -y2= 4(xi x2),则 k=.取 ab 的中点 m ' (xo, yo),分xi x2 yi + y2别过点a, b作准线x= 1的垂线，垂足