数学建模--经典创新思维方法

1、几种创新思维方法几种创新思维方法数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，* * 数学建模没有普遍适用的方法与技巧数学建模没有普遍适用的方法与技巧. .* * 有一些普遍适用的思想方法与思维方式有一些普遍适用的思想方法与思维方式. . 整个数学建模过程由若干个有整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成明显差别的阶段性工作组成 怎样构架这座桥梁？怎样构架这座桥梁？求解数学模型求解数学模型 实际问题分析实际问题分析建立数学模型建立数学模型提交论文与报告提交论文与报告 模型与模型解的分析及检验模型与模型解的分析及检验 数学建模的各阶段工作数学建模的各阶

2、段工作此流程此流程 具有指导意义具有指导意义 ，应注意应注意 * * 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套流程应用是弹性的，切不能生搬硬套. . 本章基本上按照此流程来介绍数学建本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。模的方法。 * * 建模过程往往是一个反复循环的过程建模过程往往是一个反复循环的过程. . 数学建模过程是一种数学建模过程是一种创新过程创新过程，在思考，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。差别。数学创新思维数学创新思维.等等等等.类比思维类比思维归纳思维归纳思维逆向思维逆向思维发散思维发散思维猜测思维猜测思维 掌握几类方法掌握几类方

3、法：问题解决法、思想表问题解决法、思想表达法、创造发明法达法、创造发明法. .方法的共同特点：方法的共同特点： 不轻易否定别人的意见，不轻易否定别人的意见， 怀疑一般常识，怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等努力发现别人尚未察觉的事物等 以下介绍几种（个体和集体的）创造以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法性思维方法 对于创造能力对于创造能力的培养不可或的培养不可或缺缺一、打开思路的方法一、打开思路的方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：面对新问题，应尽量打开自己的思路： 发散性思维和猜测思维是创造性思维方发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分式的重要组成部分 1. 不

4、要轻易沿一条思路深入，不要轻易不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论做出结论. . 2. 尽量多一些想法，多一些猜测。尽量多一些想法，多一些猜测。思考、思考、再思考思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：帮助展开思路的方法： 关键词联想法关键词联想法提问题法提问题法1.提问题法提问题法 面临难题面临难题, 束手无策时通过提出一系列问束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案题来导出一些想法或一个好的方案.如：如： (l) 这个问题和什么问题相类似？这个问题和什么问题相类似？(2) 假如变动问题的某些条件将会怎样？假如变动问题的某些条件将会怎样？借助于一系列问题来展开思路借助于一

5、系列问题来展开思路. ( (4) 重新组合又会怎样？重新组合又会怎样？(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步为进一步打开思路打开思路可提以下问题：可提以下问题： (5) 我们还可以做什么工作？我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？有无需要进一步完善的内容？(7) 可否换一种数学工具来解决此问题？可否换一种数学工具来解决此问题？ 针对问题和初始方案可以先设计出类似的针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。问题清单，然后反复展开。 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售

6、，比如不惜血本大做取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等广告等等. .他们都希望对这种新产品的推销他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数速度做到心中有数, ,厂家用于组织生产，商厂家用于组织生产，商家便于安排进货家便于安排进货. .例例1 电饭煲销售问题电饭煲销售问题 怎样建立一个数学模型描述新产品怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭电饭煲煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产果以指导生产.想一想想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？相类似？分析分析 Logistic人口模型，人口模型，t 时

7、刻的人口数为时刻的人口数为,)1(1)1(000)(rtNKrtrteKeNKKeNtN t0 改写为改写为 0)(,1 ttNKStceK10 NKc,KrS 其其中中数学分析数学分析0)(tN t1. 若若 r0，则则S0，随着随着 ,则则2. 若若 r0，讨论讨论Logistic曲线特征曲线特征, 0)()1( tNN(t) 是单调上升函数是单调上升函数.KCeKtNtKStt 1lim)(lim)2( K是使得人口净增长率是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限理解为该地区能容纳的人口上限.0)1()1()()3(23 KStKStKStC

8、eCeeSCKtN令令,2)(0)(000KtxtNt 且且，使使存存在在单单调调上上升升；即即当当)(, 0)(,0tNtNtt 单调下降。单调下降。即即当当)(, 0)(,0tNtNtt t00N0kk/2 人口不会无限增长，存在一个转折时人口不会无限增长，存在一个转折时间点间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。，过此点以后增长速度会减缓。 (1) 一般每户只需用一般每户只需用12只电饭煲就足够只电饭煲就足够, ,一个地区的需求量是有限的；一个地区的需求量是有限的； 电饭煲的销售情况类似于人口增长情况电饭煲的销售情况类似于人口增长情况, ,可可利用类比方法建立模型利用类比方法建立模型. .

9、Logistic模型特点：模型特点：初期高速增长，过一个特初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制定时间点后增长速度减缓，且有上界控制. .对原问题的分析对原问题的分析： (2) 初期在广告之类推销作用下销售速度初期在广告之类推销作用下销售速度较快较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓商品趋于饱和时销售速度会减缓. 记记x(t)为为t 时刻已售出的电饭煲总数时刻已售出的电饭煲总数, ,市场市场的饱和量的饱和量( (最大需求量最大需求量) )为为M, ,利用利用Logistic模模型型0,1)( tcetXkMtM来描述电饭煲的销售速度变化情况来描述电饭煲的销售速度变化情况. .实

10、际情况与实际情况与Logistic销售曲线十分吻合销售曲线十分吻合 思考思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？模型进行描述？ 现代化都市里大楼林立现代化都市里大楼林立, ,这些拔地而起这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视的摩天大楼安全性不容忽视, ,我们经常耳闻我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况目睹大楼内发生意外情况, ,造成令人震惊的造成令人震惊的人员伤亡和财产损失人员伤亡和财产损失. . 大楼内居住人员的安全保障在于无论发生大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况什么情况, ,都能使人员有组织都能使人员有组织, ,有秩序地进行

11、有秩序地进行疏散撤离疏散撤离. .例例2 “9.11”事件的反思事件的反思 一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习人员的演习. . 问题分析问题分析 演习之前需要考虑许多方面演习之前需要考虑许多方面, ,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程较庞大的系统工程应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如* 一个房间内人员的撤离；一个房间内人员的撤离；* 一个通道的撤离；一个通道的撤离；* 一层楼人员的撤离

12、；一层楼人员的撤离；最后，将各个子问题重新组合起来最后，将各个子问题重新组合起来. 练习题：练习题： 2007年年MCM Problem B: The Airplane Seating Problem。2.关键词联想法关键词联想法主要步骤如下：主要步骤如下： (1) 抓住问题或方案的关键词抓住问题或方案的关键词, ,不受任何约束不受任何约束地进行联想；地进行联想； (2) 把联想到的内容用关键词的方式登记把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上在卡片上, ,进一步激发产生新的想法进一步激发产生新的想法, ,进一步进一步想出新的主意；想出新的主意； (3) 再把积攒的卡片相互搭配再把积攒的卡片相

13、互搭配, ,形成解决问题形成解决问题的初步思路与步骤的初步思路与步骤. .一种有效的发散思维方式一种有效的发散思维方式. 在约在约10,000米高空的某边长米高空的某边长160公里的公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行飞行. .区域内每架飞机的位置和速度均由计区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据算机记录其数据, ,以便进行飞行管理以便进行飞行管理. .当一当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, ,记录记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞域内的飞机发生

14、碰撞. .如果会碰撞如果会碰撞, ,则应则应例例4 飞行管理问题飞行管理问题请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型学模型, ,列出计算步骤列出计算步骤, ,对以下数据进行计算对以下数据进行计算( (方向角误差不超过方向角误差不超过0.01度度).).要求飞机飞行方要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小向角调整的幅度尽量小. .记录数据为：记录数据为： 试根据实际应用背景对你的模型进行评价试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广与推广. .计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞行方向角，以避免碰撞

15、.现假定条件如下：现假定条件如下： * 对问题仔细阅读对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键首先抓住题目中的关键词词“管理管理”进行联想进行联想. * * 抓住诸如抓住诸如“碰撞碰撞”、“调整调整”、“避免碰撞避免碰撞”、“立即立即”、“判断判断”等等词语等等词语. . * * 联系解决问题的方案联系解决问题的方案, ,不加约束继续联不加约束继续联想，再将关键词搭配起来想，再将关键词搭配起来. . 立即立即 判断判断 碰撞碰撞 条件条件 实时实时 算法算法 避免避免 碰撞碰撞 调整调整 方向角方向角 实时实时 幅度尽量小幅度尽量小 相对相对距离距离优化问题优化问题优化算法优化算法优化调整方案优

16、化调整方案问题的初步理解和想法问题的初步理解和想法: 飞行管理问题是飞行管理问题是优化优化问题问题,在调整方向角在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性案及算法的实时性.MCM1999A题：强烈的碰撞题：强烈的碰撞 美国国家航空和航天局美国国家航空和航天局( (NASA) )从过去某从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到考虑这种撞击的后果，假如

17、该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。 假如小行星的直径大约为假如小行星的直径大约为1000米，还假设它米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的估计，对南半球海洋的食物生产区

18、域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。估计。撞击撞击爆炸？爆炸？后果后果冲击波冲击波地震、海啸、飓风地震、海啸、飓风热能释放热能释放冰融冰融海岸线上升海岸线上升洪水洪水放射物放射物粉尘放射粉尘放射减少日照、减少日照、大气层变化大气层变化人员伤亡人员伤亡所在地区所在地区沿海沿海海啸、地震、洪水、放射物海啸、地震、洪水、放射物食物生产区的破坏食物生产区的破坏冰融冰融对地球运行轨迹的影响对地球运行轨迹的影响相关因素：小行星形状、成分与密度小行星形状、成分与密度撞击角度、速度、

19、位置（运行轨迹）撞击角度、速度、位置（运行轨迹）太阳、地球、月亮太阳、地球、月亮轨道轨道能量来源能量来源引力、动能引力、动能南极冰盖的成分（深度、密度、温度）南极冰盖的成分（深度、密度、温度）冰融的估算冰融的估算以及冰盖下的成分以及冰盖下的成分大气环流大气环流粉尘的传送粉尘的传送温室效应温室效应相关理论：Newton引力模型引力模型轨迹轨迹碰撞的动力学碰撞的动力学冰的热力学（冰融、汽化）、热传导冰的热力学（冰融、汽化）、热传导生态系统（磷虾生态系统（磷虾.krill.krill）水温水温后期工作：预测与预警预测与预警二、整体把握问题的方法二、整体把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：

20、有两种把握住问题的全貌的有效方法： (1) 层次结构法层次结构法 (2) 问题分解法问题分解法 有专著介有专著介绍绍 问题分解法是一种简单而有效的把握问问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法题整体的方法.将问题分解为将问题分解为“三要素三要素”的三个部分的三个部分. . 问题分解三要素问题分解三要素 初态初态 目标态目标态 过程过程 觉察到的现在状态觉察到的现在状态( (目前目前“有什有什么么”，如条件、数据等，如条件、数据等).). 觉察到的希望目标觉察到的希望目标( (想要什么、想要什么、希望达到什么等希望达到什么等).). 能在能在“初态初态”和和“目标态目标态”之间发之间发生生

21、作用的行动作用的行动( (能做什么能做什么).).例例5 常见数学题目模式常见数学题目模式 已知已知求（证求（证）解题解题初态初态目标态目标态过程过程教师的主要教师的主要教学目标教学目标 * * 解决实际问题时，分析出问题的初态和解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难目标态很困难. . * * 未清晰地描述出问题的未清晰地描述出问题的“初态初态”和和“目目标态标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明会条件不清、目标不明. . 尽量拓展思路的基础上尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析再进行充分分析得到的问题分解结果：得到的问题分解结果：

22、例例6飞行管理问题飞行管理问题 初态初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件撞条件 过程过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法案及相应算法. . 目标态目标态：实时调整，避免碰撞。：实时调整，避免碰撞。 课后练习题目课后练习题目：“气象观察站调整问气象观察站调整问题题”前期问题分析与问题分解。前期问题分析与问题分解。气象观察站调整问题气象观察站调整问题 某地区内有某地区内有12个气象观察站（位置如图个气象观察站（位置如图),),有有10年各观察站的年降水量数据年各观察站的年降水量数据. .为了节省为了节省开支，想要适当

23、减少气象站开支，想要适当减少气象站. . 问题问题：减少哪些观察站可以使得到的降水：减少哪些观察站可以使得到的降水量的量的信息量信息量仍然足够大？仍然足够大？ 如何利用熵的概念解决此问题，给出解决如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。问题的思路。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 问题：问题：怎样比较信息的大小？怎样比较信息的大小？ 信息的多少能不能度量信息的多少能不能度量？ 降水量的降水量的信息量信息量仍然足够大？仍然足够大？1. 问题分析问题分析首先找出问题中的关键词，进行联想首先找出问题中的关键词，进行联想.减少减少 站数站数 删除删除原则原则各站各站关系关系降水降水数据数据保持保持 信息量信息量 足够大足够大衡量衡量指标指标衡量衡量指标指标熵熵降水降水数据数据2. 问题的分解问题的分解初态：初态：12个气象站的年降水数据个气象站的年降水数据。（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件它条件.） 目标态：目标态：减少气象站数，并保持降水量足够减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量大的信息量.过程过程：（