大学物理课件：电磁学I静电学C-电势与静电场的能量

1、 5月月3日日电磁学电磁学I 静电学静电学C电势与静电场的能量电势与静电场的能量Electromagnetism I - Electrostatics BGuasss Law and Circuital Theorem 电势电势 电势差电势差 “场强的线积分只与始、场强的线积分只与始、 末位置有关，与路径无关末位置有关，与路径无关” 意味着静电场存在一个由意味着静电场存在一个由位置位置决定的、反映电场中各点决定的、反映电场中各点 性质的标量性质的标量函数函数V（电势）（电势） 。 )11(400baabrrqqA rq140 1. 电势差（电压）电势差（电压）电场中电场中a、b 两点的两点的电

2、势差电势差 定义为：定义为：将单位正电荷从将单位正电荷从 a 移到移到 b 电场力所做的功。电场力所做的功。 babalEVVd令令V b = 0 ，则，则0qAVVabba balEd 0dVaalEV9 balEqqd100lEqAbaabd 0 )11(400barrqq 电场中任意一点电场中任意一点 a 的的电势定义为：电势定义为： 将单位正电荷从将单位正电荷从 a 点移到电势为零的参考点，电场力点移到电势为零的参考点，电场力所做的功。所做的功。10 电场中某点的电场中某点的 “V” 由场源电荷及场点位置决定，与由场源电荷及场点位置决定，与 q0 无关。（类似于无关。（类似于E与与q0

3、无关）它描述的是电场无关）它描述的是电场“能的性质能的性质”。20 电势是标量，有正、负电势是标量，有正、负正电荷的场，各点正电荷的场，各点“V”为正。为正。负电荷的场，各点负电荷的场，各点“V”为负。为负。30 电势是相对量，相对于电势是相对量，相对于 V=0 处而言。处而言。 原则上可选电场中任意一点的电势为零，原则上可选电场中任意一点的电势为零，但对有限电荷分但对有限电荷分布的场，理论上选布的场，理论上选 V = 0 ；无限电荷分布的场，选有限无限电荷分布的场，选有限远处的远处的V= 0 ，实际工程中取接地点的实际工程中取接地点的V地地 =0。).V ( , ) CJ(单位：单位：40

4、由定义式由定义式0qAVVabba )(0baabVVqA 有有102. 电势电势 0dVaalEVrq140 注意注意3. 电势的计算电势的计算定义法定义法迭加法迭加法（1）点电荷点电荷电场中任意一点电场中任意一点 p 的电势的电势由定义：由定义： pplEVdqpprErldrd沿电场线移到无穷远去最方便：沿电场线移到无穷远去最方便：rrqprd1420 )11(40 rrqpprq04 q为正时，为正时，V p 为正，为正，r V ， r 处处 V = 0 minq为负时，为负时，V p 为负，为负，r V ， r 处处 V = 0 max11符号含在符号含在 q 内内rEVpd p （

5、2）点电荷系点电荷系的电场中任意一点的电场中任意一点 p 的电势的电势1q2qqqnqp1r2r10114rqV 20224rqV nnnrqV04 代数和！代数和！（3）电荷连续分布的）电荷连续分布的任意带电体任意带电体的电场中的电势的电场中的电势rqpdq迭加法：迭加法：rqVp04dd 标量积分！标量积分！12迭加法：迭加法：iiniprqV014 qprqV04d电势的叠加原理电势的叠加原理例例1. 长为长为L 的均匀带电导线，电荷线密度为的均匀带电导线，电荷线密度为+ ;求延长线上任意一点求延长线上任意一点 p 的电势。的电势。解：解：用迭加法用迭加法取电荷元取电荷元)(4d0 xR

6、Lx VVpdRRLxRLL ln4)ln(4000 xxdxpoRL Vdxqdd r13)(4d00 xRLxL rqV140 rq04d 例例2. 半径为半径为R无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为 ;求：电势分布？求：电势分布？R rE解：解：先求先求 分布分布E柱外柱外 r R：柱内柱内 r R：r R：rrrRE022 注意注意例例3. 如图，计算均匀带电球面电场中任一点如图，计算均匀带电球面电场中任一点 p 的电势。的电势。R q0rp 解解 r R： 定义法：定义法： 选选V =0 pprEVdrrqVrpd 420 rq04 ?0 pprEVd

7、rErERRrdd21 0Rq04 与点的位置无关，与点的位置无关，无场区是等势区。无场区是等势区。Ur0R14r R：r = R：RqVR04 204rq注意：注意：E = 0 的区域的区域 ， “V” 不见得为零。不见得为零。pr0例例4. 已知：两球壳的半径分别为已知：两球壳的半径分别为 R1、R2 ，求：（求：（1）电势分布）电势分布 （2）两球壳间电势差）两球壳间电势差解：（解：（1）先由高斯定理求）先由高斯定理求E ：0 CE再求电势分布：再求电势分布： 选选 V =0 BE2014rQ20214rQQEA AAlEVdrrQQArd42021 ArQQ0214 17 BBlEVd

8、rrQRrBd42201 rrQQRd422021 20212014)11(4RQQRrQB Q1 Q2 R1R2BACE球壳分别带电球壳分别带电 Q1、 Q2 ; CClEVd 1d0RrCrrrQRRd421201 rrQQRd422021 202121014)11(4RQQRRQ 2121d )2(lEVVrrQRRd421201 )11(42101RRQ （无场区为等势区）（无场区为等势区）18UrBACE Q1 Q2 R1R21R2R问：问：若内壳带负电呢？若内壳带负电呢？0,4, 020 ABCE rqE E V三、等势面三、等势面a.电场线与等势面处处正交电场线与等势面处处正交;

9、b.电场线方向指向电势降低方向电场线方向指向电势降低方向; 电场中电势相等的点构成的曲面电场中电势相等的点构成的曲面叫叫等势面等势面（可由实验测定）（可由实验测定）2. 等势面的性质等势面的性质a, b为等势面上两点，移动电荷从为等势面上两点，移动电荷从a到到b, 4oqVr 1.1.定义：定义：c.在同一等势面上移动电荷在同一等势面上移动电荷,电场电场力作功力作功恒为零。恒为零。abVV aboabAq VV()ab 0d.等势面密的地方场强较高。等势面密的地方场强较高。3.3.电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系VVdV 1P2PEn dl 把单位正电荷从把单位正电荷从P1移到

10、移到P2，电场力作功为：，电场力作功为： E dlEcos dl V(VdV )Ecos dldV E在在 dl 方向上的分量方向上的分量： lE dldV ldVEdl 电场强度沿某个电场强度沿某个方向的分量方向的分量沿该方向电势的空沿该方向电势的空间变化率的负值间变化率的负值讨讨论论dl不同方向不同方向,P1点空间变化率不同：点空间变化率不同：(a ) dln 电势空间变化率为零，场强为零。电势空间变化率为零，场强为零。(b) dln 电势空间变化率最大，电势空间变化率最大，nVE ddlddVEnn 电势梯度电势梯度 ddVnn xyzEE iE jE k 直角坐标系中场强与电势梯度关系

11、直角坐标系中场强与电势梯度关系V VVVijkxyz () 2.电势的梯度电势的梯度Egrad VV 电势梯度是一个矢量，它的电势梯度是一个矢量，它的大小大小为电势沿等势为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法线方向法线方向且指向电且指向电势增大的方向。势增大的方向。 一般一般 VV( x, y,z ) xVEx yVEy zVEz 场强与该点的电势梯度大小相等，方向相反场强与该点的电势梯度大小相等，方向相反求场强的方法：求场强的方法：1.先求电势先求电势ddVnn zkyjxi 例例5. 求均匀带电求均匀带电Q，半径为，半径为R的圆环轴线上任意一

12、点的场强。的圆环轴线上任意一点的场强。 x.PoRxr解：解：根据点电荷电势叠加，根据点电荷电势叠加， P点的电势点的电势d4PoQqVr 224oQRx P点的电场：点的电场：00VVyz PxVEEx 32224()oQxRx 方向沿方向沿x轴轴 !例例6. 求电偶极子的在较远空间产生的求电偶极子的在较远空间产生的: (1)电势分布电势分布; (2)场强分布。场强分布。P r rrr r+解：解： VVVP44ooqqrr ()4oq rrr r P点在离电偶极子较远的位置点在离电偶极子较远的位置:q q l qp lr 2rrr rr2cos4PoqlVr 2cos4opr 24rop

13、er cosl (1) 电势分布电势分布 (2) 场强分布场强分布 222rxy 22cosxxy 32224()PopxVxy 225222(2)4()xopxyVExxy 522234()yopxyVEyxy P r rrr - r +q q l qp xy02cos4PopVr 24rop er 讨论讨论1o 若若P点在点在 x 轴上轴上, y = 0324xopEEx 2o 若若P点在点在 y 轴上轴上, x = 034xopEEy 沿沿 x 正向正向沿沿 x 负向负向VgradE 决定于决定于V 在该点的空间变化率在该点的空间变化率,而与该点而与该点V 值大小无关。值大小无关。（2）

14、电场强度）电场强度E 的又一单位：的又一单位：V/m= N/C（3）求）求E 的三种方法：的三种方法：点电荷电场叠加：点电荷电场叠加：用高斯定理求对称场用高斯定理求对称场:电势梯度法电势梯度法:d24roqEer VdVV 1P2PE dn n（1）gradEV 小结小结d01iSSESq 内内 静电势能静电势能一一.电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势能电荷与场源电荷电荷与场源电荷的相互作用能的相互作用能1. 点电荷在外电场中的静电势能点电荷在外电场中的静电势能 设设q 在静电场中在静电场中a、b 两点的静电势能分别为两点的静电势能分别为Wa、Wb，将将q 由由 a b 电场力（保

15、守力）所作的功为：电场力（保守力）所作的功为：baababWWWWA )(又：又：babaabqVqVVVqA )(两式两式相比较相比较qVW 即：即： 点电荷在外电场中某点的点电荷在外电场中某点的 静电势能，静电势能， 等于它的电量与该点电势的乘积。等于它的电量与该点电势的乘积。2. 点电荷系在外电场中点电荷系在外电场中的静电势能的静电势能iniiVqW 112代数和代数和结论结论3. 连续带电体在外电场中的静电势能连续带电体在外电场中的静电势能VqW dd WWd qqVd标量积分。标量积分。10 W有正、负，符号含在有正、负，符号含在q、V内，若内，若 V=0 则则 W=0 。20 点电

16、荷在外电场中的静电势能是属于该电荷与场源电点电荷在外电场中的静电势能是属于该电荷与场源电荷这个电荷系所共有的。（是相对量）荷这个电荷系所共有的。（是相对量）30 W的单位：的单位：J（常用单位还有（常用单位还有“eV”）JeV191060. 11 例例25. 求电子在原子核电场中的电势能。求电子在原子核电场中的电势能。解：解：电子处在电势为电子处在电势为 的位置，的位置， rZeV04 eVW 130 V令令Eq注意注意rZee04 rZe024 dqVZeer l qp例例26. 求电偶极子的静电势能求电偶极子的静电势能 VqqVW)( cosqElE V V解：解：qq)( VVq llE

17、q0dlEqld)180cos(00 EpW cospE初初末末WWW pEpE pE2 0, 电电势势能的改变量为：能的改变量为：E p pEW o2cos02 0 WWpE 0 Wo3cos1 o34cos02 能量最低能量最低能量最高能量最高pE pE 稳定平衡态稳定平衡态非稳定平衡态非稳定平衡态EpM 00 MF00FM00 MF00FM 非平衡态非平衡态非平衡态非平衡态Wp E 讨论讨论o10 cos1 E ppE 例例27. 球面带电球面带电Q ，沿直径方向有一均匀带电棒，沿直径方向有一均匀带电棒，求：（求：（1）相互作用力？）相互作用力？ （2）相互作用能？）相互作用能？解：（解

18、：（1）204xQE 沿沿 方向方向x球在球在 处场强处场强x棒上棒上 qdqEFdd 受力为受力为（沿（沿 方向）方向）xxxQqEFd4dd20 qlaaF（2）球在球在 处电势处电势x棒上所有电荷的电势能棒上所有电荷的电势能xQV04 qVWdd xxQWlaad40 棒上棒上 的电势能的电势能qd已知：已知：Q， a ， ，l RQla0 xxdqalaQ ln4015)(40laalQ xxQd40 xd 二二.电荷系的静电能电荷系的静电能电荷间的相互作用能的总和电荷间的相互作用能的总和定义定义:电荷系的静电能电荷系的静电能,等于将系统中各电荷从现有的位等于将系统中各电荷从现有的位置

19、彼此分散到无限远的过程中置彼此分散到无限远的过程中,它们之间的静电力所做它们之间的静电力所做的功的功.1.两个点电荷组成的系统的静电能两个点电荷组成的系统的静电能)(212211VqVqW2.点电荷系组成的系统的静电能点电荷系组成的系统的静电能iniiVqW1213. 连续带电体的静电能连续带电体的静电能 qqVWd21161q2qr)(11 VVqArqq0214 )(22 VVqA1q2qrrqq0214 rqqAW0214 )(212211VqVq 推导推导:1q3q2q12r23r13r)(11 VVqA)44(130312021rqrqq 130311202144rqqrqq )(2

20、2 VVqA230324rqq 21AAW 230321303112021444rqqrqqrqq )44()44()44(21230213013230312012130312021rqrqqrqrqqrqrqq1q3q2q12r23r13r)(21332211VqVqVq iniiVq：W 121即即设设n个点电荷组成的电荷系个点电荷组成的电荷系,第第i个电荷的电量为个电荷的电量为qi , 其它点电其它点电荷在荷在qi所在处的电势为所在处的电势为Vi, 则此电荷系的静电能为则此电荷系的静电能为112ni iiWqV 如果系统是一个电荷连续分布的带电体如果系统是一个电荷连续分布的带电体, ,可

21、将其看成由无限可将其看成由无限多个电荷元组成多个电荷元组成, , 则系统的静电能则系统的静电能12qWVdq 注意注意：1oV可以用可以用包括包括dq的所有电荷的所有电荷在在dq处处的电势代替的电势代替 2o积分是对该带电体上所有电荷积分。积分是对该带电体上所有电荷积分。2q1qnqdq例例27. 求一均匀带电球面的静电能。求一均匀带电球面的静电能。 已知球面半径为已知球面半径为R，总电量为，总电量为Q。该带电球面的静电能为该带电球面的静电能为解：解： 已知带电球面是一等势面，其电势为已知带电球面是一等势面，其电势为04QVR d12QWV q d0124QQqR d08QQqR 208QR

22、12qWVdq 例例28. 求一均匀带电球体的静电能。求一均匀带电球体的静电能。 已知球面半径为已知球面半径为R，总电量为，总电量为Q。球体内离球心为球体内离球心为r处的电势为处的电势为解解: 均匀带电球体的场强分布为均匀带电球体的场强分布为304rqrEeR 204rqEer drVEr dd320044RrrrRqrqererRr 2230(3)8QRrR （r R）（r R） 该均匀带电球体的静电能为该均匀带电球体的静电能为2230(3)8QVRrR d22301(3)28QQRrR d12QWV q d22230301(3)42483RQQRrr rRR 20320QR rdr电学第三

23、周作业电学第三周作业 周二周二 T1 ， T2 ， T3 ， T4周四周四 独立完成独立完成 图和公式要有必要的标注和文字说明图和公式要有必要的标注和文字说明 作业纸每次都要写学号作业纸每次都要写学号 课代表收作业后按学号排序，并装入透明塑料袋课代表收作业后按学号排序，并装入透明塑料袋 每周二交上周作业，迟交不改每周二交上周作业，迟交不改 作业缺交作业缺交1/3以上综合成绩按照以上综合成绩按照0分计算分计算今日笑话今日笑话(一一) A Princeton plasma physicist is at the beach when he discovers an ancient looking

24、oil lantern sticking out of the sand. He rubs the sand off with a towel and a genie pops out. The genie offers to grant him one wish. The physicist retrieves a map of the world from his car an circles the Middle East and tells the genie, I wish you to bring peace in this region. After 10 long minutes of deliberation, the genie replies, Gee, there are lots of problems there with Lebanon, Iraq, Israel, and all those other places. This is awfully embarrassing. Ive never