2020年山东省青岛市高考数学一模试卷含解析

1、2020 年高考数学一模试卷、选择题1已知 i 是虚数单位，复数 ?= 1-2?，则 z 的共轭复数 ?的虚部为（）AiB1CiD 12已知集合 AxR|log 2x<2，集合 BxR|x1|<2，则 AB（）A （ 0， 3）B（ 1，3）C（0，4）D（， 3）3已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 （单位：元）服从正态分布 N（2000，1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900， 2200）内的概率为（）附：随机变量 服从正态分布 N（， 2），则 P（<<+） 0.6826，P（ 2< < +2） 0.9544， P（ 3

2、< < +3） 0.9974A 0.9759B 0.84C0.8185D 0.47724设 a20.2，bsin2，clog20.2，则 a，b，c 的大小关系正确的是（）Aa>b>cBb>a>cCb>c>aDc>a> b?- ?， ? ?5已知函数 f（x）= （ e 2.718 为自然对数的底数），若f （x）的零?，?<?点为 ，极值点为 ，则 + （）A 1B0C1D26已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF 底 面 ABCD ，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小

3、为（ ）A 30°B 45°C60°D 90°?2 ?27在同一直角坐标系下，已知双曲线C ： 2 - 2 = ?（?>? ?，?> ?）的离心率为 ?，双曲? ?线 C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 ?= ?（?+?） 的图象向右平移 单位63 后得到曲线 D，点 A，B分别在双曲线 C 的下支和曲线 D上，则线段 AB 长度的最小值 为（ ）A 2B ?C?D 18某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新 题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的4概率均为 4

4、 ，且各次答对与否相互独立， 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率5（）11280113124A BCD125125125125? 多项选择题 :本题共 4小题,每小题 5分,共20分? 在每小题给出的四个选项中 ,有多项符合题目要求 ? 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3分,有选错的得 0 分?9已知向量 ?+ ?= （?，?），?- ?= （-? ，?）， ?= （?，?，）设 ?，?的夹角为 ，则（ ）A|?|?|B? ?C? ?D 135°10已知函数 ?（?）= ?+ ?-? ?，xR，则（）A 2 f（x） 2Bf（x）在区间（ 0， ）上只有 1 个零点Cf（

5、x）的最小正周期为 Dx= ?为f（ x ）图象的一条对称轴2?11已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列 2 的前 n 项和为 ?+1? ?，? ，则下列选项正确的为（）A 数列 an+1是等差数列B数列 an+1 是等比数列C数列 an的通项公式为 ? ?= ?- ?DTn<112 已知四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上下底面均为正方形，其中AB 2 ?， A 1B1 =?，?= ?= ?= 2，则下述正确的是（）A 该四棱合的高为 ?B AA1CC1C 该四棱台的表面积为 26D该四棱合外接球的表面积为16三、填空题：本题共 4 个小题，

6、每小题 5 分，共 20 分13若 ?x（0，+）， 4x+x1a 恒成立，则实数 a的取值范围为14已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数， f（0） 1，则 f（2）15已知 aN，二项式 （?+ ?+?1） ?展开式中含有 x 2项的系数不大于 240，记 a 的取值集合为A ，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有个16 2020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： Q（ 0， 3）是圆 Q的圆心，圆 Q过坐标原点 O；点 L、S均在 x轴上，圆 L 与圆 S的半 径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l

7、过点 O（1）若直线 l 与圆 L、圆 S均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为 ；（2）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn已知 a1b12，S26， 4S312，? ?= 3，nN* （1）求an，bn的通项公式； （ 2）是否存在正整数 k，使得 Sk<6k 且? ?> 13 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请9 说明理由18在 ABC 中， a，b，c分别为内角 A，B，C 的对边，

8、2b2（b2+c2a2）（1tanA） （ 1）求角 C；（ 2）若?= ?，? D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度条件 ： ABC 的面积 S4 且 B> A；条件 ： ?=?255 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分19在如图所示的四棱锥 E ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BCE 为边长为 2 的等边三角形， ABAE，点 F，O 分别为 AB，BE 的中点， OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线1）证明：平面 ABE 平面 BCE；2）记 OCDE 的重心为 G ，求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值?(?-?

9、)(?-?)a= ?-? ?-? ?= ?=1 ? ? = ?2?-?2 ?=1 ?20某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受 广大消费者喜爱（1）已知该网络购物平台近5 年“双十”购物节当天成交额如表：年份201520162017 2018 2019成交额（百亿元）91217 21 27求成交额 y（百亿元）与时间变量x（记 2015 年为 x 1， 2016 年为 x2，依此类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一” 购物节当天的成交额 （百亿元） ；（ 2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台

10、上 分别参加 A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、 B 两店订单“秒杀” 成功的概率分别为 p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为Xi）求 X 的分布列及 E （ X）；ii ）已知每个订单由 k（k2，kN*）件商品 W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为Y，假设 ?= 7?4?-? ?2?，?= ?4?，?求 E （ Y）取最大值时正整数的值附：回归方程 ?= ? ?+ ?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：?2 ?221已知 O 为坐标原点，椭圆 C： ?2 + 2 = ?（?>? ?>?）的左，右焦点分别为点 F

11、1，F2， F 2又恰为抛物线 D：y24x 的焦点，以 F 1F 2为直径的圆与椭圆 C仅有两个公共点1）求椭圆 C 的标准方程；2）若直线 l 与 D 相交于 A，B 两点，记点 A，B 到直线 x1 的距离分别为 d1，d2，|AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E，F 两点，记 OAB ，OEF 的面积分别为 S1，S2 （i）证明： EFF 1 的周长为定值；（ ii ）求?2的最大值?122已知函数 f（x） axlnx x2+2 的图象在点（ 1， 1）处的切线方程为 y1（1）当 x （ 0， 2）时，证明： 0<f（x）< 2；（2）设函数 g（x） xf

12、（ x ），当 x（ 0， 1）时，证明： 0<g（x）<1；（ 3）若数列 an满足： ?+?= ?（?），?<?<?，?证明： ?=? ?<?参考答案、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，复数 ?= 1-2?，则 z 的共轭复数 ?的虚部为（）AiB1CiD 1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出解：?= 1-2? = -?-（?1?-2?） = - 2i，则 z的共轭复数 ?= - 2+i的虚部为 1故选： B 2已知集合 AxR|log 2x

13、<2，集合 BxR|x1|<2，则 AB（）A （ 0， 3）B（ 1，3）C（0，4）D（， 3）【分析】先求出集合 A，集合 B ，由此能求出 A B 解：集合 AxR|log 2x<2x|0<x<4，集合 BxR|x1|<2x| 1<x<3，ABx|0<x< 3（ 0，3）故选： A 3已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 （单位：元）服从正态分布 N（2000， 1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900， 2200）内的概率为（）附：随机变量 服从正态分布 N（， 2），则 P（<<+）

14、 0.6826，P（ 2< < +2） 0.9544， P（ 3< < +3） 0.9974A 0.9759B 0.84C0.8185D 0.4772【分析】由已知可得 2000， 100，然后结合与 2原则求解解： 服从正态分布 N（ 2000，1002）， 2000， 100 ，则 P（ 1900< < 2200） P（ < < +） + 21 P（ 2< < +2 ） P（ < < + ） 0.6826+ 12 （0.9544 0.6826） 0.8185故选： C4设 a20.2，bsin2，clog20.2，则

15、a，b，c 的大小关系正确的是（）Aa>b>cBb>a>cCb>c>aDc>a> b【分析】把它们和 0，1 比较，可得出结果解： a 20.2> 1， 0< b sin2 < 1， clog20.2< 0，则 a>b> c，故选： A 5已知函数 f（x） =?- ?，?， ? ?，? ?( e2.718 ?<?为自然对数的底数），若f （ x）的零点为 ，极值点为，则+（）A1B0C1D 2【分析】令 f（x） 0可求得其零点，即 的值，再利用导数可求得其极值点，即 的 值，从而可得答案?- ?，?

16、?解： f（x）= ? ?-? ?，?，?，?<?当 x0时，f（x） 0，即 3x90，解得 x2；当 x<0时，f（x） xex< 0恒成立， f（x）的零点为 2又当 x0时，f（x） 3x 9为增函数，故在 0，+）上无极值点；当 x<0时，f（x） xex， f（ x）（ 1+x）ex，当 x< 1时， f（ x）< 0，当 x> 1时， f（ x）> 0，x1时，f（x）取到极小值，即 f（ x ）的极值点 1， + 2 1 1故选： C6已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF 底

17、面 ABCD ，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为（ ）A 30°B 45°C60°D 90°【分析】连接 AC，BD ，设 ACBD O，由线面平行的性质定理推得 EF AC，运用线 面垂直的判定定理可得 AC平面 PBD ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角解：连接 AC，BD ，设 ACBD O，则 EF? 平面 PAC ，平面 PAC 平面 ABCD AC， 由 EF 底面 ABCD ，可得 EF AC ， 由四边形 ABCD 为菱形，可得 ACBD ， 由 O为 AC 的中点， PAPC，可得 POAC，ACPB，又

18、BD OP O，可得 AC 平面 PBD，则又 EF AC，可得 EF PB，即异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为90°C：?2?2?2= ?（?>? ?，?> ?）的离心率为 ?，双曲线 C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 ?= ?（?+?6?） 的图象向右平移 ?单位后得到曲线 D，点 A，B 分别在双曲线C 的下支和曲线 D 上，则线段 AB 长度的最小值为（ ）A2B?C?D1a，b再画出曲分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数 线 D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解?2 ?2 解：因为离心率为 ?，所以该双曲线是等轴双曲

19、线，可设C 方程为 ? - ? = ?（?>? ?）?2 ?2所以 c= ?，?故焦点为（ ?， ±?）?，渐近线 y±x，取（ 0， ?）?到 xy 0 的距离为2，得 2?12+1 2?，解得 a b 2?2 ?2 所以双曲线方程为 ? - ? = ?44?函数 ?= ?（?+?）的图象向右平移 单位后得到曲线 D 的方程为：63?= ?-?同一坐标系做出曲线 C、 D 的图象：由图可知，当 B 点为 y cos2x 与 y轴的交点（ 0， 1），A 点为双曲线的下顶点（ 0，2）时， |AB |最小为 1故选： D 8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“

20、保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的4概率均为 4 ，且各次答对与否相互独立，5则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112 A12580B125113 C125124 D125分析】利用 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出该参赛者答升级题型”、 “创完三道题后至少答对两道题的概率解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、新题型”三类题型，4每类题型均指定一道题让参赛者回答 某位参赛者答对每道题的概率均为 4，且各次答对5 与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的

21、概率：1121254P（5故选： A ? 多项选择题 :本题共 4小题,每小题 5分,共20分? 在每小题给出的四个选项中 ,有多项符 合题目要求 ? 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3分,有选错的得 0 分?A|?|?|B? ?C?D 135°分析】根据题意，求出 ?、 ?的坐标，据此分析选项，综合即可得答案解：根据题意， ?+ ?=（ 1，1），?- ?=（ 3，1），则?=（ 1，1），?=（2，0），依次分析选项：对于A，|?|= ?，|?|2，则|?|?|不成立， A 错误；对于 B， ?= （ 1， 1）， ?= （ 1， 1），则 ? ?= 0，即? ?，B 正确；

22、对于C， ?= （2，0）， ?= （1，1）， ? ?不成立， C 错误；对于 D，?=（ 1，1），?=（ 2，0），则? ?= - 2，|?|= ?，| ?| 2，则 cos=-22222，则 135°， D 正确；故选： BD 10已知函数 ?（?）= ?+ ?-? ?，xR，则（A 2 f（x） 2Bf（x） 在区间（ 0， ）上只有 1 个零点Cf（ x） 的最小正周期为 Dx= 为 f（ x）图象的一条对称轴分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可?6?），解：已知函数 ?（?）= ?+ ?-? ?= ?sin2x cos2x2sin（2x-xR，则

23、 A、2f（x）2 正确，B、当 2x- ?6?= k，kZ，即 x= ?2?+? 1?2?，kZ，f（x） 在区间（ 0，）上只有 2个零点，则 f（ x） 在区间（ 0， ）上只有 1 个零点错误，C、f（x） 的最小正周期为 ，正确D、当 x= ?3?时，函数 ?（?）= ?+ ?-?= ?sin2x cos2x 2sin2x- 6?） 2，xR，所以 x= ?3?为为 f（ x）图象的一条对称轴，正确故选： ACD 11已知数列 an的前 n 项和为Sn ， a1 1 ，Sn+1 Sn +2an+1，?数列 ?2?+1的前 n 项和为? ?，?，则下列选项正确的为（）A 数列 an+1

24、是等差数列B数列 an+1 是等比数列C数列 an的通项公式为 ? ?= ?- ?DTn<1分析】由数列的递推式可得an+1 Sn+1 Sn 2an+1，两边加1 后，运用等比数列的定2 ?2?义和通项公式可得an，?2?+1 = (2?-1)(22 ?+1-1)12?-112?+1-1，由数列的裂项相消求和可得 T n解：由 Sn+1 Sn +2 an+1 即为 an+1Sn+1Sn 2an +1 ， 可化为 an +1+1 2（an+1 ），由 S1 a1 1，可得数列 an+1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 an+1 2n，即 an2n 1，2?又 2 =?+1 (2 ?

25、-1)(211? + 2?-1 - 2 ?+1-12?+1-1)1 = 1- ?+12 -112?-1<1，故 A 错误， B， C，D 正确12?+1-1 ，可得 Tn 1-122-1 +122-11231-1 +12故选： BCD 已知四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上下底面均为正方形，其中?，?= ?= ?= 2，则下述正确的是（）AB 2 ?， A 1B1 =A 该四棱合的高为 ?B AA1CC1C 该四棱台的表面积为 26 D该四棱合外接球的表面积为 16 【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于 AB2?

26、，A1B1= ?，可知 SA1B1 与SAB 相似比为 1：2；则 SA2AA14，AO2，则 SO2?，则 OO1= ?，该四棱合的高为 ?，A 对； 因为 SA SC AC 4，则 AA1与 CC1夹角为 60°，不垂直， B 错； 该四棱台的表面积为 S S上底+ S下底+ S侧 8+4+4 ×（ 2+2 2） ×14 = 12+6?， C 错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1 上，在平面 B1BOO1上中，由于 OO1= ?，B1O11，则 OB12OB，即点 O到点 B与点B 1的距离相等，则 r OB 2，该四棱合外接球的表面积为16，

27、D 对，故选： AD 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13若 ?x（0，+）， 4x+x1a 恒成立，则实数 a的取值范围为 （， 4解：因为 ?x（ 0， +），【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论4x+x14x+ ?1?2?1?= 4 a恒成立； a 4；故答案为：（， 4 14已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数， f（0） 1，则 f（2） 1分析】根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于点（ 1， 0）对称，据此可得 f（ 2） f（ 0），即可得答案解：根据题意，函数 f （x+1）为奇函数，则函数 f（ x）的图象关于点（

28、1， 0）对称， 则有 f（x） f（2 x），又由 f（0） 1，则 f（ 2） f（0） 1； 故答案为： 115已知 aN，二项式 （?+ ?+?1） ?展开式中含有 x 2项的系数不大于 240，记 a 的取值集合为 A ，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 18 个【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，根据题意求得 r 的值，可 得 A ，再利用排列组合的知识求出结果解：二项式 （?+ ?+?1） ?展开式的通项公式为 Tr+1= ? （ a+1） r? x62r，令 62r2，求得 r2，可得展开式中含有 x2项的系数为 ? （a+1）215（a

29、+1） 2 再根据含有 x2 项的系数不大于 240，可得 15（a+1）2240，求得 41a41再根据 aN，可得 a0，1，2，3，即 A0，1，2，3 ， 则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共? ? ?=3×3×218，故答案为： 1816 2020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： Q（ 0， 3）是圆 Q的圆心，圆 Q过坐标原点 O；点 L、S均在 x轴上，圆 L与圆 S的半径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O1）若直线 l 与圆 L、圆 S均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为 32

30、）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于d，则 d125分析】（ 1）设出共切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可；|-4?+?|2）设出方程， 分别表示出圆心到直线的距离d1=21+?2= |4?+?| = |3+?|，d2=2 ，d3=2 ，1+?1+?结合弦长公式求得 k，m 即可解：（ 1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（4， 0），4，0），|-4?+?| 1+?2 设公切线方程为 ykx+m（ k0）且 k 存在，则1+?|4?+?| = ? 1+?2?，解得 k± 3，m0，3故公切线方程为 y± 3x ，则 Q 到直线 l 的

31、距离 d= 3 3 ，32故 l 截圆 Q 的弦长 2?- ( 33) ?= 3；2）设方程为 ykx +m（k 0）且 k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：1+?2= |-4?+?| = |4?+?| = |3+?| d1= 1+?2 ，d2= 1+?2 ，d3=则 d24（4d12）4（4d22） 4（9d32），即有（ |-4?+?| ）2（ |4?+?|）2， 4（|4?+?|）29（ |3+?| ）2， 1+?2 1+?2 1+?2 1+?2解 得 m0，代入 得 k2= 4 ，214则 d24（4- 116+×4241）= 12454，即 d= 152，12故答案为

32、： 3；12 5四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn已知 a1b12，S26， 4*S312，? ?= 3，nN*（1）求an，bn的通项公式；（ 2）是否存在正整数 k，使得 Sk<6k 且? ?> 193 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【分析】（ 1）设等差数列 an 的公差为 d，在等差数列 an中，由已知求解公差 d，进一 步求得首项，可得等差数列的通项公式；由a1b1 2 求得 b1，结合已知求得 b2，可得等比数列的公比，则等比数

33、列的通项公式可求；（2）由（1）知，?= ?（?1?+?） = ?（?+ ?），由 Sk< 6k解得 k 范围，再由?= 23-1? 2 2 2 ×3> 193 ，解得 k 范围，即可判断出结论解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d，在等差数列 an 中， S2 6 ， S3 12， a3 S3 S2 6，又 S2 a1+ a2 a3 2d+ a3 d 12 3d 6， d2从而 a1 a3 2d 2，则 an2+2（n 1） 2n；由 a1b12，得 b1 T11?= ?- ? ?= 43 - ?= 31，设数列 bn的公比为 q，?2?=q2）由 Sk kk+1）&

34、lt; 6k，整理得 k25k< 0，解得 0< k<513，则?= ?×(13) ?-?= (31)?-?； 1)知， ? ?= ?(?1?2+?) = ?(?+ ?)，1 × (1-又?= 1- 13?= 32- 2×13?-1 92 2 ×3?-1 93 1 3 12(?- 3?)= 2- 2×3?-1 13 1 1> 9 ，即3?-1<9，解得 k>3存在正整数 k4，使得 Sk<6k 且?> 193 18在 ABC 中， a，b，c分别为内角 A，B，C的对边， 2b2（b2+c2a2）

35、（1tanA）1）求角 C；2）若?= ?，? D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度条件 ： ABC 的面积 S4 且 B> A；条件 ： ?=?255注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】（ 1）2b2（ b2+c2 a2）（ 1 tan A）利用余弦定理可得； 2b22bccosA? （1tan A）化为 b c（ cosA sin A），再利用正弦定理、和差公式即可得出2）选择条件 ，cosB= 25，可得 sinB= 5利用核查公司可得 sinAsin（ B+C），55由正弦定理可得： a= ?在? ABD 中，由余弦定理可得 AD ?解：(

36、 1)2b2( b2+ c2 a2)( 1 tan A ) 2b22bc cosA ? (1 tan A ) b c( cosA sinA )，由正弦定理可得： sinBsinC( cosA sinA )， sin(A+C) sinCcosAsinCsinA， sinA cosC sinCsinA0， tan C 1，解得 C= 34?( 2)选择条件 ， cosB= 25， sinB= 5 55sinAsin(B+C) sinBcosC+cosBsinC= 10 ，由正弦定理可得： a= ?=?2? 10 ?在 ABD 中，由余弦定理可得： AD2AB2+BD22AB? BD cosB，解得

37、 AD = ?19在如图所示的四棱锥 E ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BCE 为边长为 2的等边三角形， ABAE，点 F，O分别为 AB，BE 的中点， OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线1）证明：平面 ABE 平面 BCE；分析】（ 1）O 为 BE 的中点，AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值利用等边三角形的性质可得OCBE ，根据 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，可得OCOF可得 OC平面 ABE 进而得出：平面 ABE平面 BCE 2）根据 F ， O 为中点，可得OF AE ，又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，可得OFAB，A

38、EAB 可得： OA平面 BCE 建立如图所示的空间直角坐标系设平面ABCD 的一个法向量为 ?= （x， y，z），可得 ? ?= ? ?= 0，由 C，E ，D 的坐标可得 CED 的重心 G设直线 AG 与平面 ABCD 所成角为 ，则 sin|cos<?，? ?>|=|?| ?|?|?|?|?【解答】（ 1）证明： O 为 BE 的中点，等边 BCE 中， OCBE， 又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线， OCOF 又 OFBEO，OF，BE? 平面 ABE， OC平面 ABE OC? 平面 BCE ，平面 ABE 平面 BCE；（2）解： F，O 为中点， O

39、FAE，又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线， OF AB， AEAB ABE 是等腰直角三角形连接 AO，AB AE= ?，OA1OABE，OA? 平面 ABE ，平面 ABE 平面 BCE ；平面 ABE 平面 BCE BE OA平面 BCE 建立如图所示的空间直角坐标系 A（0，0，1），B（ 1，0，0）， C（ 0， ?， 0）， E（1，0，0）， 四边形 ABCD 为平行四边形，设 D（ a，b，c），设平面 ABCD 的一个法向量为?=（x，y，z），?=（ 1，0，1），?=（ 1，x+z0，x+ ?y0，取?=?， 1，?）由 C， E ，D 的坐标可得CED 的

40、重心 G（2，23，1 ）333?=（2，23，33- 23 ），设直线 AG 与平面 ABCD所成角为 ，则 sin |cos< ?，? ?>|= |?| ?= |?|?|?|?233105? ?= ? ? ?= 0，20某网络购物平台每年 1111 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受（ 1）已知该网络购物平台近5 年“双十”购物节当天成交额如表：年份201520162017 2018 2019成交额（百亿元）91217 21 27求成交额 y（百亿元）与时间变量x（记 2015 年为 x 1， 2016 年为 x推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”

41、 购物节当天的成交额广大消费者喜爱百亿元） ；2，依此类（ 2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上 分别参加 A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、 B 两店订单“秒杀” 成功的概率分别为 p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X（ i）求 X 的分布列及 E（X）；（ ii ）已知每个订单由 k（k2，k一、选择题 *）件商品 W 构成，记该同学的爸爸和妈 7? ?妈抢购到的商品 W 总数量为 Y，假设 ?= 7?4?-? ?2?，?= ?4?，?求 E（ Y）取最大值时 正整数 k 的值附：回归方程 ?= ?

42、 ?+ ?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：?=?-?=1 ? = ?2?-?2 ?=1 ?(?-?)(?-?)?=1 ? ； a?(? ?-?)2 ；a= ?- ?分析】 （1）计算?、?，求出系数 ?和 a，写出线性回归方程， 利用方程计算 x6时?的 值即可；（2）（ i）由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数 学期望值；（ii ）根据题意求出 E（ Y）的解析式，利用换元法和求导法计算E（Y）取最大值时正整数 k 的值11解：（ 1）由题意，计算 ?= 1 ×（1+2+3+4+5 ） 3，?= 1 ×（9+12+17+21+27）

43、17.2，55?=?xiyi1×9+2×12+3×17+4×21+5×27 303；?=?=12+22+32+42+5255，? ? -?=1?-? 303-5 × 3× 17.2 45所以 ?= ?2?-?2 = 55-5 ×32= 10 = 4.5；?=1a= ?- ?= 17.24.5×3 3.7， 所以 y与 x 的线性回归方程是 ?= 4.5x+3.7， 当 x6时，?= 4.5× 6+3.7 30.7，所以预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7 百亿元；（ 2

44、）（ i）由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2；计算 P（X0）（ 1p）（ 1q），P（X 1）（ 1p）q+（1q）p，P（ X 2） pq；所以 X 的分布列为：01p)( 1 q)11p)q+(1q)p2pq计算数学期望值为 E（X） 0×（1p）（1q）+1×（1p）q+（1q）p+2×pq p+q；ii）?；? ? 7? ? ?因为 Y kX ，所以 E（ Y） kE（ X） k（ p+ q） k（ 7? ? ?）? 2sin - - 2 + ?4? ?2 4? ?令 t=11?1?（ 0， ，设 f（t） 2sin t t，则 E（Y）

45、f（t）； ? 2因为 f （ t） 2cost1 ? 2（ cost- 2 ），且 t（0， ；所以当 t= 1（ 0，1）时，? 3当 t= 1?（1，1）时， f? 3 2ft）t）> 0， f（t）单调递增；< 0，f（ t）单调递减；所以当 t= ?1?= 13，即 k3 时，1 ? f（t）f（13）= ?- 3?；所以 E（ Y）取最大值时正整数k 的值为 3 ?2 ?221已知 O为坐标原点，椭圆 C： ?2 + ?2= ?（?>? ?>?）的左，右焦点分别为点 F1，F2，F 2又恰为抛物线 D：y24x 的焦点，以 F 1F 2为直径的圆与椭圆 C

46、仅有两个公共点1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l 与 D 相交于 A，B 两点，记点 A，B 到直线 x1 的距离分别为 d1，d2， |AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E，F 两点，记 OAB ，OEF 的面积分别为 S1，S2 （i）证明： EFF 1 的周长为定值；（ ii ）求 2 的最大值?1【分析】（ 1）由已知求得 F2（1，0），可得 c 1，又以 F 1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有 两个公共点，知 bc，从而求得 a与 b 的值，则答案可求；（2（）i）由题意，x 1为抛物线 D 的准线，由抛物线的定义知， |AB|d1+d2|AF2|+|BF2|， 结

47、合|AB |AF 2|+|BF 2|，可知等号当且仅当 A，B，F2三点共线时成立可得直线 l 过定 点 F2，根据椭圆定义即可证明 |EF |+|EF 1|+|FF 1|为定值；（ ii ）若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为 x 1，求出|AB |与|EF |可得?2? = |?|= 2；?1? |?| 4 若直线 l 的斜率存在， 可设直线方程为 y k（ x 1），A（ x 1，y1），B（ x 2，y2），E（ x3，y3）， F （x4， y4），方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长?2|?|?2212公式求得 |AB|，|EF |，可得 2 = = 2

48、 = ×（ 1）（0，2），由此可?1|?| 2（1+2? 2 ）212+24知， ?2 的最大值为 2 ?14【解答】（ 1）解： F 2为抛物线 D：y24x 的焦点的焦点，故 F 2（ 1， 0）， c 1，又以 F 1F 2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点，知 bc， a= ?，b 1椭圆 C的标准方程为 ?2 + ?= ?；2（ 2）（ i）证明：由题意， x 1为抛物线 D 的准线，由抛物线的定义知， |AB|d1+d2|AF 2|+|BF 2|， |AB | |AF 2|+|BF 2|，等号当且仅当 A，B，F2三点共线时成立直线 l 过定点 F 2，根据椭圆定义得：|EF|+|EF1|+|FF1|EF2|+|EF1|+|?|+ |?| = ?=? ?；ii ）解：若直线 l的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x1，